Winkelsumme

Grundidee der Winkelsumme

Die Winkelsumme einer ebenen geometrischen Figur meint meistens die Summe aller Innenwinkel dieser Figur. Innenwinkel sind die Winkel, die innerhalb der Figur an ihren Ecken liegen.

In der euklidischen Geometrie, also der gewöhnlichen ebenen Geometrie, gibt es für nicht-überschlagende Polygone eine feste Formel. Ein Polygon ist ein Vieleck; nicht-überschlagend bedeutet, dass sich seine Seiten nicht kreuzen. Für ein Polygon mit n Ecken lautet die Winkelsumme:

(n · 180°) - 360° = (n - 2) · 180°

Dabei steht n für die Zahl der Ecken des Polygons. Die Formel ist wichtig, weil man mit ihr die Innenwinkelsumme jedes einfachen Vielecks berechnen kann, etwa bei Dreiecken, Vierecken oder Fünfecken.

Typische Beispiele

Aus der Formel (n - 2) · 180° ergeben sich die bekannten Winkelsummen für einfache Vielecke:

• Dreieck, n = 3: (3 - 2) · 180° = 180°
• Viereck, n = 4: (4 - 2) · 180° = 360°
• Fünfeck, n = 5: (5 - 2) · 180° = 540°

Für nicht notwendig regelmäßige Fünfsterne gilt außerdem eine besondere Aussage: Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°.

Dazu gibt es einen geometrischen und einen algebraischen Beweis. Geometrisch nutzt man Winkel an parallelen Geraden und setzt die fünf Spitzenwinkel zu einem gestreckten Winkel zusammen. Ein gestreckter Winkel hat die Weite 180°. Algebraisch betrachtet man unter anderem das Dreieck BDF mit der Innenwinkelsumme ε + β + φ₂ = 180° und das Viereck ACDE mit der Innenwinkelsumme α + γ + φ₁ + φ₂ + φ₃ + δ = 360°. Mithilfe von Nebenwinkelpaaren, für die φ₁ + φ₂ + φ₂ + φ₃ = 360° gilt, erhält man schließlich ε + β + α + γ + δ = 180°.

Warum Dreiecke 180° haben

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt in der euklidischen Geometrie 180°. Im Artikel wird dies mit parallelen Geraden erklärt: Bestimmte Winkel sind gleich groß, weil sie Stufenwinkel oder Wechselwinkel an Parallelen sind. Stufenwinkel und Wechselwinkel sind Winkelpaare, die bei parallelen Geraden durch eine schneidende Gerade entstehen und unter passenden Bedingungen gleich groß sind.

Die drei Winkel α, β und γ lassen sich so an einem Punkt zu einem gestreckten Winkel zusammensetzen. Deshalb gilt:

α + β + γ = 180°

Dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180° beträgt, folgt aus den Axiomen der euklidischen Geometrie. Die Aussage ist als Lehrsatz mit Beweis in den Elementen des Euklid überliefert. Der Mathematikhistoriker Thomas Heath hält es für möglich, dass sie bereits Thales von Milet bekannt war; auch Moritz Cantor nahm dies an.

Herleitung für Vielecke

Die Formel für die Winkelsumme eines n-Ecks kann man über Dreiecke herleiten. Bei einem konvexen n-Eck, also einem Vieleck ohne nach innen gerichtete Ecke, wählt man einen Punkt im Innern. Von dort aus kann man das n-Eck in n Teildreiecke zerlegen. Diese n Dreiecke haben zusammen die Winkelsumme n · 180°.

Um die Winkelsumme des ursprünglichen Vielecks zu erhalten, muss man aber den Vollwinkel um den inneren Punkt abziehen. Ein Vollwinkel beträgt 360°, also 2 · 180°. Damit ergibt sich:

n · 180° - 360° = n · 180° - 2 · 180° = (n - 2) · 180°

Eine zweite Herleitung geht von einer Ecke aus: Von einer Ecke eines n-Ecks gehen (n - 3) Diagonalen aus. Diese Diagonalen teilen das Polygon in (n - 2) Teildreiecke. Da jedes Dreieck 180° Winkelsumme hat, ergibt sich auch hier die gesamte Winkelsumme (n - 2) · 180°.

Für nicht-konvexe Polygone funktioniert der erste Ansatz mit einem inneren Punkt nicht allgemein. Für ein nicht-überschlagenes n-Eck, also ein einfaches Polygon, gilt die Formel trotzdem. Jedes solche n-Eck lässt sich in n - 2 Dreiecke zerlegen. Jeder Innenwinkel des Polygons ist entweder ein Dreieckswinkel oder eine Summe solcher Dreieckswinkel. Beim Aufsummieren tritt jeder Dreieckswinkel genau einmal auf. Deshalb gilt auch für nicht-überschlagene n-Ecke die Formel (n - 2) · 180°.

Nichteuklidische Geometrie

In der nichteuklidischen Geometrie gelten für Winkelsummen andere Regeln als in der euklidischen Ebene. Entscheidend ist die Krümmung der Fläche.

In einer nichteuklidischen Ebene mit positiver Krümmung, zum Beispiel auf der Oberfläche einer Kugel, ist die Winkelsumme stets größer als die entsprechenden Werte der euklidischen Geometrie. Je größer das Polygon ist, desto größer ist im Allgemeinen die Abweichung. Ein Beispiel ist ein Dreieck auf der Erde, das vom Äquator, vom Nullmeridian und vom 90. Längengrad gebildet wird. Dieses Dreieck hat die Winkelsumme 270°.

In einer nichteuklidischen Ebene mit negativer Krümmung, zum Beispiel auf einer Sattelfläche, ist die Winkelsumme stets kleiner als die entsprechenden euklidischen Werte. Sie kann sogar Werte annehmen, die beliebig nahe bei 0 liegen.