Viereck

Grundidee und Einteilung

Ein Viereck ist eine Figur der euklidisch ebenen Geometrie: ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. Es besitzt zwei Diagonalen, also Verbindungsstrecken zwischen gegenüberliegenden Ecken. Je nach Lage dieser Diagonalen unterscheidet man wichtige Grundformen: Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, ist es konvex. Liegt genau eine Diagonale außerhalb, heißt es konkav. Das Viereck ist das einfachste Vieleck, das konkav sein kann. Bei einem überschlagenen Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb; solche überschlagenen Vierecke werden normalerweise nicht zu den Vierecken gerechnet. Entartete Vierecke, bei denen Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer Geraden liegen, werden ebenfalls ausgeschlossen.

Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°. Das gilt, weil sich jedes Viereck in zwei Dreiecke zerlegen lässt und jedes Dreieck eine Innenwinkelsumme von 180° hat.

Wichtige besondere Vierecke werden durch Seiten, Winkel, Diagonalen oder Kreiseigenschaften bestimmt. Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Sind je zwei gegenüberliegende Seiten parallel, nennt man es Parallelogramm. Ein Rechteck hat vier gleich große Innenwinkel von 90°. Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten und zugleich das regelmäßige Viereck. Beim Drachenviereck oder Deltoid stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, und eine Diagonale wird durch die andere halbiert; gleichbedeutend damit gibt es zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten. Eine Raute oder ein Rhombus hat vier gleich lange Seiten. Ein Quadrat ist eine Raute mit vier gleich großen Innenwinkeln. Bei einem Sehnenviereck liegen die vier Seiten als Sehnen auf einem Umkreis; bei einem Tangentenviereck sind die vier Seiten Tangenten eines Inkreises.

Beziehungen zwischen Vierecktypen

Zwischen den Vierecktypen bestehen Teilmengenbeziehungen. Besonders wichtig ist die Kette: Quadrate ⊂ Rechtecke ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke. Das bedeutet: Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck, jedes Rechteck auch ein Parallelogramm, jedes Parallelogramm auch ein Trapez, jedes Trapez ein konvexes Viereck und jedes konvexe Viereck ein Viereck.

Weitere Beziehungen entstehen als Schnittmengen: Quadrate = Rechtecke ∩ Rauten; Quadrate = Drachenvierecke ∩ gleichschenklige Trapeze; Rechtecke = Sehnenvierecke ∩ Parallelogramme; Rauten = Drachenvierecke ∩ Trapeze; Rauten = Tangentenvierecke ∩ Parallelogramme; gleichschenklige Trapeze = Sehnenvierecke ∩ Trapeze.

Die Einteilung kann nach mehreren Gesichtspunkten verfeinert werden. Nach dem Inneren unterscheidet man konvexe und konkave Vierecke. Nach Symmetrie unterscheidet man Achsensymmetrie und Drehsymmetrie: Eine Diagonale als Symmetrieachse kennzeichnet ein Drachenviereck; beide Diagonalen als Symmetrieachsen kennzeichnen eine Raute; die Mittelsenkrechte einer Seite als Symmetrieachse kennzeichnet ein gleichschenkliges Trapez; Mittelsenkrechten zweier Seiten als Symmetrieachsen kennzeichnen ein Rechteck; vier Symmetrieachsen kennzeichnen ein Quadrat. Zweizählige Drehsymmetrie, also Punktsymmetrie, kennzeichnet ein Parallelogramm; vierzählige Drehsymmetrie kennzeichnet ein Quadrat.

Auch Seiten und Winkel liefern Kriterien. Zwei Paare gleich langer gegenüberliegender Seiten gehören zum Parallelogramm, zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten zum Drachenviereck, vier gleich lange Seiten zur Raute. Ist die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten gleich, liegt ein Tangentenviereck vor. Mindestens ein Paar paralleler Seiten kennzeichnet ein Trapez, zwei Paare paralleler Seiten ein Parallelogramm. Zwei Paare gleich großer gegenüberliegender Winkel gehören zum Parallelogramm, zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel zum gleichschenkligen Trapez, ein gleichwinkliges Viereck ist ein Rechteck. Wenn die Summe gegenüberliegender Winkel 180° ergibt und die Ecken auf demselben Kreis liegen, handelt es sich um ein Sehnenviereck.

Wichtige Eigenschaften im Überblick

Die Tabelle des Artikels fasst besondere Vierecke nach Symmetrie, Seiten, Winkeln und Kreisbeziehungen zusammen. Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen, ist punktsymmetrisch, besitzt paarweise parallele gegenüberliegende Seiten, alle Seiten sind gleich lang, alle Winkel sind gleich groß, die Summe gegenüberliegender Seitenlängen ist gleich und die Summe gegenüberliegender Winkel ist gleich.

Ein Rechteck hat 2 Symmetrieachsen und ist punktsymmetrisch. Seine gegenüberliegenden Seiten sind paarweise parallel und gleich lang, alle Winkel sind gleich groß, und die Summe gegenüberliegender Winkel ist gleich. Eine Raute hat 2 Symmetrieachsen, ist punktsymmetrisch, hat paarweise parallele gegenüberliegende Seiten und alle Seiten sind gleich lang; ihre gegenüberliegenden Winkel sind paarweise gleich groß. Ein Parallelogramm hat keine Symmetrieachse, ist aber punktsymmetrisch; gegenüberliegende Seiten sind paarweise parallel und gleich lang, gegenüberliegende Winkel paarweise gleich groß.

Ein gleichschenkliges Trapez hat 1 Symmetrieachse, ist nicht punktsymmetrisch, besitzt ein Paar paralleler Seiten und gleich lange Schenkel; die gegenüberliegenden Winkelbeziehungen entsprechen denen eines Sehnenvierecks. Ein Drachenviereck hat 1 Symmetrieachse, ist nicht punktsymmetrisch und besitzt paarweise gleich lange benachbarte Seiten. Ein allgemeines Trapez hat mindestens ein Paar paralleler Seiten, aber keine der stärkeren Eigenschaften aus den spezielleren Klassen. Sehnenvierecke und Tangentenvierecke haben in der Tabelle keine Symmetrieachse und sind nicht punktsymmetrisch; beim Sehnenviereck ist die Winkelsumme gegenüberliegender Winkel charakteristisch, beim Tangentenviereck die Gleichheit der Summen gegenüberliegender Seitenlängen.

Formeln und Bestimmung

Für ein allgemeines Viereck verwendet der Artikel Seitenlängen a, b, c, d, Diagonalen e und f, Innenwinkel α, β, γ, δ, den Diagonalwinkel θ und den Flächeninhalt A. Für den Flächeninhalt werden mehrere Formeln angegeben, darunter eine Formel über Diagonalen und Seiten: A = 1/4 · √(4 · e² · f² − (b² + d² − a² − c²)²). Eine weitere Flächenformel lautet A = (a · d · sin(α) + b · c · sin(γ)) / 2 = (a · b · sin(β) + c · d · sin(δ)) / 2. Über die Diagonalen gilt A = e · f · sin(θ) / 2. Mit Koordinaten der Ecken A, B, C, D kann der Flächeninhalt auch berechnet werden durch A = 1/2 · |(x_A − x_C) · (y_B − y_D) + (x_D − x_B) · (y_A − y_C)|.

Die Diagonalen lassen sich mit dem Kosinussatz bestimmen: e = √(a² + b² − 2 · a · b · cos(β)) = √(c² + d² − 2 · c · d · cos(δ)) und f = √(a² + d² − 2 · a · d · cos(α)) = √(b² + c² − 2 · b · c · cos(γ)). Die Innenwinkel können ebenfalls mit dem Kosinussatz berechnet werden, zum Beispiel α = arccos((a² + d² − f²) / (2 · a · d)), β = arccos((a² + b² − e²) / (2 · a · b)), γ = arccos((b² + c² − f²) / (2 · b · c)) und δ = arccos((c² + d² − e²) / (2 · c · d)).

Ein konvexes Viereck kann durch fünf voneinander unabhängige Bestimmungsstücke beschrieben werden, etwa Seitenlängen, Diagonalen, Umfang, Innenwinkel oder Flächeninhalt. Nicht unabhängig sind zum Beispiel die vier Innenwinkel, weil sich der vierte aus den drei anderen und der Summe 360° ergibt. Bei besonderen Vierecken reichen weniger Angaben: vier bei Tangentenviereck, Sehnenviereck oder Trapez; drei bei Parallelogramm, Drachenviereck, rechtwinkligem Trapez oder gleichschenkligem Trapez; zwei bei Raute oder Rechteck; eine bei einem Quadrat.

Ungleichungen für konvexe Vierecke

Für ein konvexes Viereck mit Seitenlängen a, b, c, d, Diagonalen e, f und Flächeninhalt A gelten mehrere wichtige Abschätzungen. Sie geben obere Grenzen für den Flächeninhalt an und nennen jeweils den Fall, in dem Gleichheit eintritt.

Es gilt A ≤ ((a + c) · (b + d)) / 4, mit Gleichheit nur für Rechtecke. Außerdem gilt A ≤ (a² + b² + c² + d²) / 4, mit Gleichheit nur für Quadrate, und A ≤ ((a + b + c + d)²) / 16, ebenfalls mit Gleichheit nur für Quadrate. Eine weitere Abschätzung lautet A ≤ 1/2 · √((a² + c²) · (b² + d²)), mit Gleichheit nur für Rechtecke.

Über die Diagonalen erhält man A ≤ e · f / 2, mit Gleichheit nur dann, wenn die Diagonalen orthogonal sind, also senkrecht aufeinander stehen. Ebenso gilt A ≤ (e² + f²) / 4, mit Gleichheit nur dann, wenn die Diagonalen orthogonal und gleich lang sind. Aus der Formel von Bretschneider folgt mit s = (a + b + c + d) / 2 die Ungleichung A ≤ √((s − a) · (s − b) · (s − c) · (s − d)); Gleichheit gilt nur für Sehnenvierecke.

Schwerpunkte

Bei Vierecken muss man verschiedene Arten von Schwerpunkten unterscheiden. Der Flächenschwerpunkt setzt voraus, dass die Masse gleichmäßig über die Fläche verteilt ist. Der Eckenschwerpunkt setzt voraus, dass alle Masse in den vier Ecken sitzt und jede Ecke die gleiche Masse hat. Daneben gibt es den Kantenschwerpunkt, bei dem die Masse gleichmäßig auf die Kanten verteilt ist und die Masse jeder Kante proportional zu ihrer Länge ist; dieser wird selten betrachtet. Anders als beim Dreieck stimmen diese Schwerpunkte im Allgemeinen nicht überein.

Bei punktsymmetrischen Vierecken, also Parallelogrammen, ist der Schwerpunkt das Symmetriezentrum und damit der Schnittpunkt der Diagonalen. Für ein unregelmäßiges Viereck kann der Flächenschwerpunkt konstruiert werden, indem man das Viereck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt und jeweils den Dreiecksschwerpunkt als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden bestimmt. Verbindet man diese beiden Dreiecksschwerpunkte durch eine Gerade und wiederholt dasselbe mit der anderen Diagonale, dann ist der Schnittpunkt der beiden Verbindungsgeraden der Schwerpunkt des Vierecks.

Den Eckenschwerpunkt erhält man, indem man die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbindet. Der Schnittpunkt der beiden Verbindungslinien ist der Eckenschwerpunkt. In einem kartesischen Koordinatensystem mit A(x_A|y_A), B(x_B|y_B), C(x_C|y_C), D(x_D|y_D) berechnet man ihn durch x_S = 1/4 · (x_A + x_B + x_C + x_D) und y_S = 1/4 · (y_A + y_B + y_C + y_D).