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Geometrische Figur
Eine Geometrische Figur ist ein Begriff aus der Geometrie, der uneinheitlich verwendet wird und häufig undefiniert bleibt. Oft versteht man darunter …
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Begriff und Definition
Der Begriff „geometrische Figur“ wird in der Geometrie uneinheitlich verwendet und häufig nicht ausdrücklich definiert. Meist bezeichnet er bestimmte Teilmengen einer Ebene oder eines dreidimensionalen Raums. Dazu gehören sowohl einfache Figuren aus Geraden und Kreisen als auch komplexe Teilmengen wie Fraktale. Geometrische Figuren werden in der euklidischen Geometrie des flachen Raums ebenso wie in nichteuklidischen Geometrien untersucht.
Da Räume heute meist als Punktmengen aufgefasst werden, ist eine geometrische Figur im grundlegenden Sinn eine Teilmenge eines solchen Raums, also eine Menge von Punkten. Diese Definition erfasst jedoch keine zusätzlichen Strukturen, etwa eine bestimmte Reihenfolge von Punkten: Die Mengen {A; B} und {B; A} sind gleich. Liegt beispielsweise auf einer Strecke AC ein Punkt B, können verschiedene Anordnungen von B zu derselben Teilmenge der Ebene führen, nämlich zur Strecke AC. Als reine Teilmengen betrachtet, sind diese Figuren daher identisch.
Figuren in der Ebene
Die einfachste geometrische Figur ist der Punkt, danach folgt die Gerade. In der affinen Geometrie heißen Punkte und Geraden affine Unterräume. Punkte sind nulldimensionale, Geraden eindimensionale Unterräume der zweidimensionalen affinen Ebene. Wichtige Teilmengen von Geraden sind Strecken zwischen zwei Punkten und Halbgeraden. Punkte von Figuren werden auch Knoten oder Ecken genannt.
Polygone entstehen, indem man mindestens drei Punkte durch Strecken verbindet. Diese Strecken heißen Kanten oder Seiten. Dreiecke sind besonders wichtig, weil sie zahlreiche geometrische Sätze ermöglichen und sich Polygone mit mehr als drei Ecken, etwa Vierecke, Fünfecke oder Sechsecke, in Dreiecke zerlegen lassen.
Durch Bedingungen an Längen und Winkel entstehen besondere Polygonarten. Bei regelmäßigen Vielecken sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel zwischen benachbarten Seiten gleich. Bei drei Ecken erhält man gleichseitige Dreiecke, bei vier Ecken Quadrate. Überschlagene regelmäßige Polygone wie das Pentagramm heißen Sterne. Gleichschenklige Dreiecke besitzen zwei gleichlange Seiten, rechtwinklige Dreiecke einen rechten Winkel. Ein Viereck mit vier gleichen und rechten Winkeln ist ein Rechteck. Ein Viereck mit vier gleichlangen, nicht rechtwinkligen Seiten heißt Raute. Bei einem Parallelogramm sind jeweils zwei gegenüberliegende Seiten parallel.
Ein Kreis ist die „Menge aller Punkte, die von einem vorgegebenen Punkt einen festen Abstand r haben“. Der Abstand r heißt Radius. Neben Geraden gehören Kreise zu den grundlegenden Figuren für Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Auch Kegelschnitte, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln lassen sich durch Abstandsbedingungen definieren. Bei einer Ellipse ist die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten gleich; bei einer Hyperbel ist die Differenz dieser Abstände gleich.
Kegelschnitte werden in Koordinaten durch polynomiale Gleichungen zweiten Grades beschrieben und heißen Quadriken. Kurven höheren Grades sind beispielsweise das kartesische Blatt, elliptische Kurven und cassinische Kurven. Kurven können außerdem parametrisch als Wege dargestellt werden, etwa zur Untersuchung verschiedener Spiralen oder Zykloiden.
Figuren im Raum
Im dreidimensionalen euklidischen Raum gehören Punkte, Geraden und Ebenen als affine Unterräume sowie Strecken und Halbgeraden zu den einfachsten Figuren. Ebenen Figuren können als Teilmengen von Ebenen im Raum aufgefasst werden. Strecken lassen sich zu geschlossenen oder offenen räumlichen Polygonzügen verbinden. Außerdem gibt es Raumkurven, also Kurven im dreidimensionalen Raum, beispielsweise die Helix oder Knoten.
Das räumliche Gegenstück zu Polygonen sind Polyeder. Diese geometrischen Körper werden ausschließlich von ebenen Seitenflächen begrenzt. Bei den platonischen Körpern sind alle Seitenflächen kongruente regelmäßige Vielecke. Es gibt genau fünf platonische Körper: Tetraeder, Hexaeder (Würfel), Oktaeder, Ikosaeder und Dodekaeder. Eine weitere Klasse regelmäßiger Polyeder mit hoher Symmetrie bilden die archimedischen Körper, beispielsweise das Kuboktaeder. Die vollständige Klassifizierung der streng konvexen Körper mit ausschließlich regelmäßigen Vielecken als Seitenflächen gelang im 20. Jahrhundert mit den Johnson-Körpern.
Weitere wichtige Polyeder sind Pyramiden und Prismen. Ein gerades Prisma mit rechteckiger Grundfläche heißt Quader. Ein schiefes Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche heißt Parallelepiped oder Spat. Werden Pyramiden und Prismen auf nichtpolygonale Grundflächen verallgemeinert, entstehen Kegel und Zylinder. Gerade Kreiskegel und gerade Kreiszylinder sind Rotationskörper. Zu diesen gehört auch der Torus, der durch die Rotation eines Kreises um eine in der Kreisebene liegende Achse entsteht.
Die Kugel ist im Raum die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt den gleichen Abstand haben. Sie kann durch die Rotation eines Kreises um einen Durchmesser erzeugt werden und ist der wichtigste Fall einer Quadrik im dreidimensionalen Raum. Weitere Quadriken sind Ellipsoide, Paraboloide und Hyperboloide; allgemein heißen sie Flächen zweiter Ordnung. Geometrische Eigenschaften von Flächen, insbesondere ihre Krümmungseigenschaften, werden in der (elementaren) Differentialgeometrie untersucht. Flächen können als Lösungsmenge von Gleichungen oder durch Parameterdarstellungen angegeben werden.
Nichteuklidische Figuren
In nichteuklidischen Geometrien gilt das Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie nicht. Diese Geometrien sind Spezialisierungen der absoluten Geometrie. Deshalb können sich insbesondere die metrischen Eigenschaften, also Abstand und Winkelmaß, von denen der euklidischen Geometrie unterscheiden.
Bei einem Kugeldreieck beträgt die Innenwinkelsumme mehr als 180°. Es kann sogar drei rechte Winkel enthalten, wenn die Ebenen der drei Großkreise senkrecht aufeinander stehen; ein solches Dreieck heißt „Oktant“. Ein „Quadrat“ auf einer Kugeloberfläche besteht aus vier gleich langen Abschnitten von Großkreisen. Seine Winkelsumme ist immer größer als 360°; ein Beispiel besitzt vier Winkel von jeweils 120°. Vielecke in der hyperbolischen Ebene oder im hyperbolischen Raum haben dagegen eine kleinere Winkelsumme als in der euklidischen Geometrie.
Hyperbolische Dreiecke
Ein hyperbolisches Dreieck liegt in der hyperbolischen Geometrie und besteht wie ein euklidisches Dreieck aus drei Geraden, genauer Geodäten, und ihren Schnittpunkten als Ecken. Seine Eigenschaften unterscheiden sich jedoch deutlich von denen euklidischer Dreiecke.
Die Winkelsumme ist stets kleiner als 180°. Die Differenz zwischen 180° und der tatsächlichen Winkelsumme heißt Winkeldefekt. Er steht in direktem Verhältnis zur Fläche:
Fläche = R² · (π − (α + β + γ))
Dabei ist R der Krümmungsradius des hyperbolischen Raumes; α, β und γ sind die Innenwinkel des Dreiecks.
Hyperbolische Dreiecke können sehr groß erscheinen, ohne eine unbegrenzte Fläche zu besitzen. Bei idealen Dreiecken liegen die Ecken im Unendlichen. Ihre Innenwinkel sind alle null, ihre Fläche ist innerhalb des jeweiligen Modells jedoch maximal. Je nach Modell, etwa dem Poincaré-Diskmodell oder dem Beltramischen Modell, erscheinen Geraden und Dreiecke beispielsweise als Kreisbögen oder gekrümmte Linien. Beide Modelle beschreiben dieselbe zugrunde liegende Geometrie.
Fraktale und verwandte Figuren
Fraktale geometrische Figuren entstehen häufig durch unendliche oder wiederholte Ersetzungs- und Konstruktionsprozesse. Bei der Koch-Kurve beginnt man mit einer Strecke und ersetzt sie durch eine aus vier Strecken zusammengesetzte Figur. Jeder kleinere Streckenteil wird anschließend wieder durch eine verkleinerte Kopie dieser Figur ersetzt. Bei unendlicher Fortsetzung entsteht die Koch-Kurve. Die Gosper-Kurve entsteht nach einem ähnlichen Verfahren, wobei die Ersetzung durch eine siebenseitige Figur erfolgt.
Die Drachenkurve beschreibt die Form eines langen Papierstreifens, der immer in derselben Richtung in der Mitte gefaltet wird. Beim Auseinanderfalten wird jeder Knick zu einem rechten Winkel gemacht. Auch sie kann durch wiederholtes Ersetzen erzeugt werden.
Für das Sierpinski-Dreieck teilt man ein gleichseitiges Dreieck durch die Verbindungen der Seitenmittelpunkte in vier kleinere gleichseitige Dreiecke. Das mittlere wird entfernt; mit den drei übrigen Dreiecken wird ebenso verfahren. Beim Menger-Schwamm wird ein Würfel in 27 kleinere Würfel geteilt. Die sechs mittleren Würfel der Seiten und der zentrale Würfel werden entfernt. Die 20 verbleibenden Würfel werden anschließend nach demselben Prinzip weiter bearbeitet.
Bei der Mandelbrot-Menge wird für viele Schritte eine rekursive Folge berechnet. Bleibt der Wert der komplexen Zahl dabei von einem Anwachsen gegen unendlich verschont, gehört die Zahl zum Fraktal; in praktischen Berechnungen wird dafür eine endliche Schranke verwendet.
Ein verwandtes Thema sind unmögliche Figuren. Sie sind grafisch zweidimensionale, scheinbar dreidimensionale Konstrukte, die als körperhafte Gegenstände nicht existieren können.
