Dreieck

Grundidee und Einteilung

Ein Dreieck ist ein Polygon und eine geometrische Figur. In der euklidischen Geometrie ist es die einfachste ebene Figur, die von geraden Linien begrenzt wird. Diese Begrenzungslinien heißen Seiten. Im Inneren entstehen drei Innenwinkel, deren Scheitel die Eckpunkte des Dreiecks sind. Dreiecke sind besonders wichtig, weil alle Polygone in Dreiecke zerlegt und mit Methoden der Dreiecksgeometrie untersucht werden können. Außerdem beruht die Trigonometrie, ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik, auf Dreiecken.

Dreiecke werden nach Seitenlängen und nach Winkeln eingeteilt. Nach Seitenlängen unterscheidet man unregelmäßige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke. Nach Winkeln unterscheidet man spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke. Spitzwinklige und stumpfwinklige Dreiecke heißen zusammen auch schiefwinklige Dreiecke.

Bezeichnungen und Grundeigenschaften

Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen. Diese Punkte heißen Ecken, die Verbindungsstrecken zwischen je zwei Ecken heißen Seiten. Das Dreieck teilt die Ebene in ein Inneres und ein Äußeres. Der Winkel, den zwei an einem Eckpunkt zusammentreffende Seiten bilden, ist ein Innenwinkel.

Üblicherweise heißen die Eckpunkte A, B und C, meist gegen den Uhrzeigersinn. Die gegenüberliegenden Seiten heißen entsprechend a, b und c; so liegt die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber und verbindet B mit C. Häufig bezeichnen a, b und c auch die Längen dieser Seiten. Die Winkel heißen alpha, beta und gamma: alpha liegt bei A, beta bei B, gamma bei C.

In einem ebenen Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel immer 180°. Die Summe je eines Außenwinkels an jedem Eckpunkt beträgt 360°; nimmt man alle Außenwinkel, ergibt sich 2 · 360° = 720°. Außerdem gilt die Dreiecksungleichung: Die Gesamtlänge zweier Seiten ist mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite.

Dreiecke berechnen

Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Innenwinkel. Wenn drei Größen bekannt sind, kann man daraus meist die übrigen Seiten und Winkel berechnen. Eine Ausnahme ist der WWW-Fall: Sind nur die drei Winkel gegeben, ist zwar die Form festgelegt, aber nicht die Größe des Dreiecks.

Die Kongruenzsätze liefern eindeutig lösbare Grundfälle, zum Beispiel SSS, SWS und WSW. S steht für eine bekannte Seite, W für einen bekannten Winkel. Beim SSS-Fall ist das Dreieck eindeutig bestimmt, wenn die größte Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten ist; sonst gibt es kein solches Dreieck. Beim SSW- oder WSS-Fall hängt die Eindeutigkeit davon ab, welcher Seite der bekannte Winkel gegenüberliegt. Liegt er der größeren der beiden gegebenen Seiten gegenüber, ist der Fall eindeutig; liegt er der kleineren gegenüber, gibt es meist zwei mögliche Dreiecke. Beim WWS- oder SWW-Fall kann man entweder mit dem Sinussatz weiterrechnen oder zuerst über die Winkelsumme den dritten Winkel bestimmen.

Wichtige Werkzeuge sind die Winkelsumme, der Sinussatz und der Kosinussatz. Der Kosinussatz verbindet Seitenquadrate mit dem Kosinus eines Winkels: a² = b² + c² - 2bc · cos(alpha), b² = a² + c² - 2ac · cos(beta), c² = a² + b² - 2ab · cos(gamma). Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des Kosinussatzes, wenn der eingeschlossene Winkel 90° beträgt. Der Sinussatz lautet a/sin(alpha) = b/sin(beta) = c/sin(gamma) = 2 · r, wobei r der Umkreisradius ist. Er ist einfacher anzuwenden, setzt aber voraus, dass mindestens ein Innenwinkel bekannt ist.

Wichtige Formeln und besondere Punkte

Für das allgemeine Dreieck gelten zentrale Formeln für Umfang, Fläche, Höhen und Kreise. Der Umfang ist U = a + b + c, der Halbumfang s = U/2 = (a + b + c)/2. Der Flächeninhalt kann zum Beispiel mit einer Seite und der zugehörigen Höhe berechnet werden: A = a · h_a / 2 = b · h_b / 2 = c · h_c / 2. Mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel gilt A = b · c · sin(alpha)/2 = a · c · sin(beta)/2 = a · b · sin(gamma)/2. Nach dem Satz des Heron gilt A = sqrt(s · (s-a) · (s-b) · (s-c)). Für den Inkreisradius rho gilt rho = A/s = 2A/U; für den Umkreisradius gilt r = a/(2 sin(alpha)) = b/(2 sin(beta)) = c/(2 sin(gamma)) = abc/(4A).

Jedes Dreieck besitzt ausgezeichnete Kreise, Geraden und Punkte. Der Umkreis geht durch die drei Eckpunkte; sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten. Der Inkreis berührt die drei Seiten von innen; sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Die Ankreise berühren jeweils eine Seite von außen und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten.

Der Schwerpunkt ist der gemeinsame Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden, also der Strecken von einem Eckpunkt zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1. Die drei Höhen, also die Lote von den Eckpunkten auf die gegenüberliegenden Seiten, schneiden sich im Höhenschnittpunkt. Der Feuerbachkreis oder Neunpunktekreis verläuft durch die drei Seitenmittelpunkte, die drei Höhenfußpunkte und die drei Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte. Sein Mittelpunkt liegt mit Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt auf der eulerschen Geraden.

Spezielle Dreiecke

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten: a = b = c. Seine drei Innenwinkel sind gleich groß und betragen jeweils 60°, daher ist es spitzwinklig. Alle gleichseitigen Dreiecke sind ähnlich und genau dann kongruent, wenn ihre Seitenlängen gleich sind. Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Höhe und Winkelhalbierende fallen jeweils zusammen; ebenso fallen Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt in einem Mittelpunkt zusammen. Für Seitenlänge a gilt: A = (sqrt(3)/4) · a², U = 3a, rho = (sqrt(3)/6) · a, r = (sqrt(3)/3) · a und h = (sqrt(3)/2) · a = rho + r.

Ein gleichschenkliges Dreieck hat nach moderner Auffassung mindestens zwei gleich lange Seiten, die Schenkel. Die dritte Seite heißt Basis. Die Basiswinkel sind gleich groß; der gemeinsame Punkt der Schenkel heißt Spitze. In einem gleichschenkligen Dreieck fallen Mittelsenkrechte der Basis, Seitenhalbierende der Basis, Höhe auf der Basis und Winkelhalbierende des Spitzenwinkels zusammen. Für die Höhe auf der Basis gilt h_c = sqrt(a² - c²/4).

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90°-Winkel. Die gegenüberliegende längste Seite heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Der Satz des Pythagoras lautet c² = a² + b². Umgekehrt ist ein Dreieck mit a² + b² = c² rechtwinklig mit Hypotenuse c. Weitere Sätze sind der Kathetensatz a² = c · p und b² = c · q sowie der Höhensatz h² = p · q. Die trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck sind unter anderem sin(alpha) = a/c, cos(alpha) = b/c und tan(alpha) = a/b; ihre Kehrwerte sind cot(alpha) = b/a, sec(alpha) = c/b und csc(alpha) = c/a.

Ein unregelmäßiges Dreieck hat drei unterschiedlich lange Seiten und drei unterschiedlich große Winkel. Wenn eine dieser beiden Bedingungen erfüllt ist, ist die andere automatisch erfüllt.

Flächen und nichteuklidische Dreiecke

Besondere Flächengleichheiten entstehen zum Beispiel in der Vecten-Figur: Ersetzt man das rechtwinklige Dreieck in der Pythagoras-Figur durch ein beliebiges Dreieck und verbindet benachbarte Eckpunkte der Quadrate, entstehen drei Flankendreiecke. Zusammen mit dem inneren Dreieck sind alle vier Dreiecke flächengleich. Eine weitere wichtige Flächengleichheit lautet: In jedem Dreieck ist das Produkt aus Umfang und Inkreisradius doppelt so groß wie seine Fläche.

Der Dreiecksbegriff lässt sich auch auf nichteuklidische Geometrien übertragen. Dann müssen die Seiten Geodäten sein, also die entsprechenden „geradesten“ Linien der jeweiligen Geometrie. Auf einer Kugel heißen Dreiecke, deren Seiten Teile von Großkreisen sind, sphärische Dreiecke oder Kugeldreiecke. Ihre Seitenlängen werden als Winkel im Kugelmittelpunkt angegeben. Ihre Winkelsumme ist größer als 180°. Der Überschuss heißt sphärischer Exzess epsilon: alpha + beta + gamma = 180° + epsilon. Der Exzess hängt mit dem Flächeninhalt F zusammen: epsilon = F/R² beziehungsweise in Grad epsilon = 180° · F/(pi · R²).

Hyperbolische Dreiecke liegen zum Beispiel auf Sattelflächen. Dort gilt das Parallelenaxiom nicht, und das Krümmungsmaß ist negativ. Entsprechend ist der Exzess negativ: Die Winkelsumme eines Dreiecks auf einer Sattelfläche ist kleiner als 180°. Das Dreieck wird außerdem als Symbol verwendet, etwa in der Theologie, als ideologisches Symbol, als mathematisches Symbol und in Schildern.