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Polygon
Regelmäßiges Polygon ; 7, Siebeneck, Heptagon ; 8, Achteck, Oktogon ; 9, Neuneck, Nonagon ; 10, Zehneck, Dekagon …
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Grundbegriff und Aufbau
Ein Polygon oder Vieleck ist in der elementaren Geometrie eine ebene, zweidimensionale geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug entsteht. Es ist ein zweidimensionales Polytop. Dazu werden mindestens drei verschiedene, nicht kollineare Punkte durch Strecken verbunden; die Zahl der Punkte und Strecken ist gleich. Beispiele sind das Dreieck mit 3 Punkten und 3 Strecken sowie das Viereck mit 4 Punkten und 4 Strecken. Mit „Polygon“ ist häufig auch die von diesem Streckenzug eingeschlossene Fläche gemeint.
Formal wird ein Polygon durch das Tupel P := (P₁, P₂, …, Pₙ) mit Pᵢ ∈ ℝ² und 1 ≤ i ≤ n beschrieben. Die n Punkte heißen Eckpunkte oder Ecken; ein Polygon mit n Ecken heißt n-Eck oder n-Gon. Die Strecken PᵢPᵢ₊₁ für i = 1, …, n−1 sowie PₙP₁ heißen Seiten. Verbindungsstrecken zwischen zwei Eckpunkten, die keine Seiten sind, heißen Diagonalen.
Oft werden zusätzlich mindestens drei paarweise verschiedene Eckpunkte und die Bedingung verlangt, dass drei angrenzende Eckpunkte nicht auf einer Geraden liegen. Dadurch werden Zweiecke und Ecken mit gestrecktem Winkel ausgeschlossen. Diese Bedingungen sind formal nicht zwingend erforderlich.
Klassifikation und wichtige Typen
Polygone werden typischerweise nach ihrer Eckenzahl benannt. Ein regelmäßiges oder reguläres Polygon besitzt gleich lange Seiten und gleich große Innenwinkel. Viele regelmäßige Polygone sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Die Tabelle des Artikels nennt unter anderem: 3-Eck Dreieck (Trigon), 4-Eck Viereck (Tetragon), 5-Eck Fünfeck (Pentagon), 6-Eck Sechseck (Hexagon), 7-Eck Siebeneck (Heptagon), 8-Eck Achteck (Oktogon), 9-Eck Neuneck (Nonagon), 10-Eck Zehneck (Dekagon), 12-Eck Zwölfeck (Dodekagon), 20-Eck Zwanzigeck (Ikosagon), 100-Eck Hunderteck (Hektogon), 1 000-Eck Tausendeck (Chiliagon), 10 000-Eck Zehntausendeck (Myriagon), 1 000 000-Eck Millioneck (Megagon) und ein Polygon mit unendlich vielen Seiten als Apeirogon. Für das 10¹⁰⁰-Eck nennt der Artikel die Bezeichnungen Googoleck und Googolgon.
Als mit Zirkel und Lineal konstruierbar werden beispielsweise die Eckenzahlen 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 257 und 65 537 aufgeführt. Die Werte 3 = 2²⁽²⁰⁾ + 1, 5 = 2²⁽²¹⁾ + 1, 17 = 2²⁽²²⁾ + 1, 257 = 2²⁽²³⁾ + 1 und 65 537 = 2²⁽²⁴⁾ + 1 sind Fermatsche Primzahlen. Das Produkt 3 · 5 · 17 · 257 · 65537 = 4 294 967 295 = 2³² − 1 liefert die größte bekannte ungerade Eckenanzahl, die theoretisch mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
Bei einfachen Polygonen berühren sich die Seiten nur in den Eckpunkten. Überschlagene Polygone besitzen zusätzliche Schnittpunkte durch Überschneidungen. Nicht überschlagene Polygone können konvex sein, wenn alle Innenwinkel kleiner als 180° sind, oder nichtkonvex, wenn mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist. Ein nicht-planares Polygon liegt im Raum. Ein Sternpolygon ist ein planares, überschlagenes regelmäßiges Polygon. Bei einem orthogonalen Polygon treffen alle Seiten im rechten Winkel aufeinander; die Innenwinkel betragen daher 90° oder 270°.
Winkel, Diagonalen und geometrische Berechnungen
Für ein nicht überschlagenes, ebenes n-Eck beträgt die Summe der Innenwinkel
α₁ + … + αₙ = (n − 2) · 180°.
Die Summe der Außenwinkel beträgt unabhängig von der Eckenzahl 360°. Sind alle Innen- beziehungsweise Außenwinkel gleich groß, gilt
α = ((n − 2) / n) · 180° beziehungsweise α′ = (1 / n) · 360°.
Ein nicht überschlagenes n-Eck besitzt genau n · (n − 3) / 2 Diagonalen. Grundlage ist, dass insgesamt n · (n − 1) / 2 Verbindungen zwischen Eckpunkten möglich sind und davon n Seiten abgezogen werden. Bei einem nichtkonvexen Polygon können im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels Diagonalen außerhalb des Polygons liegen.
Sind die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten (xᵢ, yᵢ) gegeben, ergibt sich der Umfang aus der Summe der Seitenlängen. Die Seitenlängen werden mit dem Satz des Pythagoras berechnet:
U = √((x₁ − xₙ)² + (y₁ − yₙ)²) + Σᵢ₌₁ⁿ⁻¹ √((xᵢ₊₁ − xᵢ)² + (yᵢ₊₁ − yᵢ)²).
Für ein ebenes, einfaches, positiv orientiertes Polygon kann der Flächeninhalt mit der gaußschen Trapezformel und gleichwertigen Varianten berechnet werden:
A = ½ Σᵢ₌₁ⁿ (yᵢ + yᵢ₊₁)(xᵢ − xᵢ₊₁),
A = ½ Σᵢ₌₁ⁿ (xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ) = ½ Σᵢ₌₁ⁿ |xᵢ xᵢ₊₁; yᵢ yᵢ₊₁|,
A = ½ Σᵢ₌₁ⁿ yᵢ(xᵢ₋₁ − xᵢ₊₁).
Dabei gelten P₀ = Pₙ und Pₙ₊₁ = P₁. Bei Gitterpolygonen, deren Ecken auf einem Gitter liegen, kann außerdem der Satz von Pick verwendet werden.
Algorithmen für Polygone
Für die Programmierung wird die gaußsche Trapezformel häufig in einer Darstellung mit nullbasierten Array-Indizes und der Modulo-Funktion verwendet. Für n ≥ 3 Eckpunkte mit i = 0, …, n − 1 lautet sie:
A = ½ |Σᵢ₌₀ⁿ⁻¹ (yᵢ + yᵢ₊₁ mod n)(xᵢ − xᵢ₊₁ mod n)|.
Die Modulo-Funktion sorgt dafür, dass nach dem letzten Eckpunkt wieder der erste verwendet wird, und verhindert Off-by-one-Fehler bei der Array-Indizierung.
Die konvexe Hülle einer Punktmenge ist das konvexe Randpolygon, das die Punkte umfasst. Algorithmen zur Bestimmung der konvexen Hülle von n Punkten in der Ebene haben als untere Schranke eine asymptotische Laufzeit von Ω(n log n); diese Schranke folgt durch Reduktion auf das Sortieren von n Zahlen. Liegen nur k der n Punkte auf dem Rand der konvexen Hülle, beträgt die Schranke Ω(n log k). Genannt werden der Graham-Scan-Algorithmus, der Gift-Wrapping-Algorithmus, QuickHull, ein inkrementeller Algorithmus und Chans Algorithmus.
Ob ein Punkt innerhalb oder außerhalb eines Polygons liegt, lässt sich mit dem Strahlverfahren prüfen. Dazu wird durch den Punkt ein horizontaler Strahl gelegt und die Zahl der Schnittpunkte mit den Polygonkanten rechts vom Punkt gezählt. Eine ungerade Zahl bedeutet, dass der Punkt innerhalb liegt; eine gerade Zahl bedeutet, dass er außerhalb liegt.
Verwendung und Beispiele
In der Informatik dienen die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck als wichtige Approximationen komplexer Polygone. Sie können zunächst verwendet werden, um einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt zu prüfen oder auszuschließen. Erst danach wird das vollständige Polygon geladen und ein exakter Schnitt berechnet.
In der 3D-Computergrafik werden beliebige, auch gekrümmte Oberflächen als Polygonnetze modelliert. Dreiecksnetze ermöglichen eine besonders schnelle Darstellung von Oberflächen, lassen sich aber durch Subdivision Surfaces nicht so gut interpolieren. Für die Speicherung polygonaler Netze existieren verschiedene Datenstrukturen.
In der Architektur werden regelmäßige Polygone häufig als Grundrisse verwendet. Beispiele sind das 5-Eck des Pentagons in Arlington, Virginia, das 8-Eck von Castel del Monte in Apulien, Italien, das 10-Eck von St. Gereon in Köln, Nordrhein-Westfalen, das 12-Eck des Saarpolygons in Ensdorf, Saarland, der 16-eckige Leuchtturm Huisduinen bei Den Helder, das 18-Eck der Befreiungshalle in Kelheim und das 30-Eck des Wiener Riesenrads.
Im Maschinenbau bezeichnet Polygon außerdem eine formschlüssige polygonale Welle-Nabe-Verbindung; dabei sind beliebige Polygonprofile denkbar. In der Geographie können Staatsgrenzen als Polygone erscheinen: In Mercator-Projektion wirken Colorado und Wyoming jeweils als Rechtecke und damit als konvexe Polygone, während New Mexico und Utah als konkave Polygone erscheinen.
