Euklid

Bedeutung und Überlieferung

Euklid von Alexandria (ca. 350 v. Chr. – 270 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker, der im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria lebte. Er gilt als „Vater der Geometrie“. Die nach ihm benannte euklidische Geometrie beschreibt anschaulich den zwei- und dreidimensionalen Raum.

Über sein Leben ist fast nichts sicher bekannt. Aus Notizen von Pappos und Proklos wird geschlossen, dass er in Alexandria wirkte, möglicherweise um 300 v. Chr., zur Zeit Ptolemaios’ I. (ca. 367–283 v. Chr.). Eine weitere Deutung lautet, er sei um 360 v. Chr. in Athen geboren, an der Platonischen Akademie ausgebildet worden und später nach Alexandria gegangen. Er darf nicht mit Euklid von Megara verwechselt werden.

Auch die Autorschaft seiner Werke ist unter Historikern umstritten. Jean Itard stellte 1961 drei Möglichkeiten auf: Euklid habe alle zugeschriebenen Werke selbst zusammengestellt; er sei Leiter einer Schule gewesen, deren Schüler nach seinem Tod unter seinem Namen veröffentlichten; oder „Euklid“ sei eine Gruppe alexandrinischer Mathematiker gewesen. Itard bevorzugte die zweite Hypothese.

Die Elemente und ihre Methode

Euklids berühmtestes Werk sind die Elemente (griechisch Stoicheia, „Anfangsgründe“, „Prinzipien“, „Elemente“). Darin wird das mathematische Wissen der griechischen Zeit systematisch zusammengetragen: die Konstruktion geometrischer Objekte, natürliche Zahlen und bestimmte Größen sowie deren Eigenschaften.

Die Darstellung beginnt mit Definitionen, Postulaten und Axiomen. Postulate sind nach Aristoteles Grundsätze, die akzeptiert oder abgelehnt werden können; Axiome sind allgemeine, unbezweifelbare Grundsätze. Auf dieser Grundlage werden Sätze streng bewiesen. Viele Sätze stammen offenbar nicht von Euklid selbst. Seine wesentliche Leistung liegt in der Sammlung, einheitlichen Darstellung und strengen Beweisführung. Dieses Vorgehen wurde zum Vorbild der späteren Mathematik; die Elemente waren vielerorts bis ins 20. Jahrhundert, besonders im angelsächsischen Raum, Grundlage des Geometrieunterrichts.

Zahlen, Proportionen und Parallelen

Die Bücher VII–IX der Elemente enthalten pythagoreische Arithmetik, frühe Zahlentheorie sowie Begriffe der Teilbarkeit und des größten gemeinsamen Teilers. Zu dessen Bestimmung dient der euklidische Algorithmus. Euklid bewies außerdem den Satz von Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Buch V enthält die Proportionslehre des Eudoxos, also eine Verallgemeinerung der Arithmetik auf positive irrationale Größen.

Besonders wichtig ist das fünfte Postulat der ebenen euklidischen Geometrie, heute Parallelenaxiom. Schneidet eine Strecke s zwei Geraden g und h so, dass die innen auf derselben Seite von s liegenden Winkel α und β zusammen kleiner als zwei rechte Winkel beziehungsweise 180° sind, treffen sich g und h auf dieser Seite. Die beiden Geraden begrenzen dann zusammen mit der Strecke oder einer dritten Geraden ein Dreieck.

Viele Mathematiker versuchten seit der Antike vergeblich, dieses Postulat aus den übrigen Axiomen und Postulaten herzuleiten. Im 19. Jahrhundert zeigten die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie durch Bolyai und Lobatschewski sowie Modelle wie die Poincaré’sche Halbebene H, dass das Parallelenaxiom nicht aus den übrigen Axiomen folgt. David Hilbert gab in Grundlagen der Geometrie (1899) eine formale, vollständige Axiomatik: Jedes Modell seines Axiomensystems ist isomorph zum dreidimensionalen reellen Zahlenraum mit den üblichen geometrischen Grundbegriffen.

Weitere mathematische und angewandte Schriften

Neben den Elementen sind mindestens fünf weitere Werke erhalten, die ebenfalls mit Definitionen und bewiesenen Sätzen arbeiten. Katoptrika behandelt Spiegelbilder durch Reflexion an ebenen und sphärischen konkaven Spiegeln; die Zuschreibung an Euklid wird teilweise bezweifelt.

Data behandelt „gegebene“ Informationen in Problemen der ebenen Geometrie. Es enthält 12 Definitionen und 94 Theoreme dazu, wie aus Lage, Form oder Größe gegebener Elemente weitere Eigenschaften bestimmt werden können. So gilt: Sind alle Seiten eines Dreiecks in ihrer Größe gegeben, ist das Dreieck in seiner Form gegeben.

Über die Teilungen der Figuren ist teilweise nur arabisch überliefert. Seine 36 Sätze betreffen Konstruktionen, die Figuren in gleiche Teile oder vorgegebene Verhältnisse teilen, etwa eine Gerade durch einen vorgegebenen Punkt eines Dreiecks, die zwei flächengleiche Figuren erzeugt. Phainomena ist eine Abhandlung der sphärischen Astronomie mit 18 Sätzen und gehört zur „kleinen Astronomie“.

Optika ist die älteste erhaltene griechische Abhandlung über Perspektive. In 58 Sätzen werden geometrische Optik und Perspektivregeln aus Definitionen und Postulaten entwickelt. Das Sehen wird dabei durch gerade Strahlen vom Auge zum Objekt erklärt. Gleiche Objekte erscheinen nicht proportional zu ihrem Abstand groß. Bei einer Kugel sieht das Auge eine Fläche, die kleiner als die Hälfte der Kugel ist; dieser Anteil wird kleiner, je näher die Kugel ist, obwohl die Fläche größer erscheint. Von weiteren Werken sind nur Titel bekannt, darunter Pseudaria („Trugschlüsse“).

Musiktheorie und bleibende Begriffe

In Die Teilung des Kanon (Katatomē kanonos, lateinisch Sectio canonis) griff Euklid die Musiktheorie des Archytas auf und begründete sie akustisch durch Frequenzen von Schwingungen, die er als Häufigkeit der Bewegungen beschrieb. Er verallgemeinerte den Satz über die Irrationalität von √((m+1)/m) zur Irrationalität beliebiger Wurzeln ⁿ√((m+1)/m). Damit wandte er sich gegen die Harmonik des Aristoxenos, die Töne als rationale Teilungen, etwa Halb- oder n-tel-Töne, auffasst.

In der pythagoreischen Harmonik hat der Ganzton das Verhältnis 9:8. Daraus folgerte Euklid: „Der Ton ist weder in zwei noch in mehrere gleiche Teile teilbar.“ Seine Aussage „Die Oktave ist kleiner als 6 Ganztöne“ stützte er auf das pythagoreische Komma. Die Schrift enthält zudem die älteste überlieferte Darstellung eines Tonsystems auf einem Kanon, einer geteilten Saite.

Nach Euklid heißen unter anderem der euklidische Abstand, der euklidische Algorithmus, die euklidische Geometrie, die euklidische Norm und der euklidische Raum. Weitere benannte Ergebnisse sind der Höhensatz und Kathetensatz für rechtwinklige Dreiecke, das Lemma von Euklid sowie der Satz von Euklid über unendlich viele Primzahlen. Sein Name wurde außerdem dem Mondkrater Euclides, dem Asteroiden (4354) Euclides und dem ESA-Weltraumteleskop Euclid gegeben.