Parallelität (Geometrie)

Grundbegriff und räumliche Fälle

In der euklidischen Geometrie sind zwei Geraden parallel, wenn sie in einer Ebene liegen und einander nicht schneiden. Zusätzlich gilt jede Gerade als zu sich selbst parallel. Sind zwei Geraden parallel, aber nicht identisch, heißen sie echt parallel. In der projektiven Erweiterung des euklidischen Raumes kann man anschaulich sagen, dass sich echt parallele Geraden „im Unendlichen“ schneiden; dort besitzen sie einen gemeinsamen Fernpunkt.

Im dreidimensionalen Raum werden mehrere Fälle unterschieden. Geraden, die keinen Schnittpunkt haben und nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen, heißen windschief. Eine Gerade ist zu einer Ebene parallel, wenn sie vollständig in dieser Ebene liegt oder sie nicht schneidet. Zwei Ebenen heißen parallel, wenn sie zusammenfallen oder einander nicht schneiden. Diese Begriffe gelten entsprechend in beliebigen Dimensionen sowie in der analytischen Geometrie. Dort sind zwei Geraden parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig, also proportional, sind.

Parallelenaxiom und grundlegende Eigenschaften

In der ebenen euklidischen und affinen Geometrie gilt: Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf ihr liegt, gibt es genau eine Gerade durch diesen Punkt, die zur gegebenen Geraden parallel ist. In einem axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie wird diese Aussage als Parallelenaxiom vorausgesetzt. In der analytischen Geometrie ist sie dagegen beweisbar und damit ein Satz.

Die Parallelität von Geraden in affinen Räumen ist eine Äquivalenzrelation. Sie ist also reflexiv, symmetrisch und transitiv. Die Geraden zerfallen dadurch in Äquivalenzklassen, die Parallelenscharen heißen. Eine solche Schar bildet ein spezielles Büschel. Fügt man für jede Parallelenschar einen unendlich fernen oder uneigentlichen Punkt, einen Fernpunkt, hinzu, in dem sich alle Geraden dieser Schar schneiden, entsteht der projektive Abschluss des affinen Raumes.

In der euklidischen Geometrie ist bei parallelen Geraden der Abstand aller Punkte der einen Geraden von der anderen konstant; beide Geraden sind überall gleich weit voneinander entfernt. Dasselbe gilt für parallele Ebenen.

Wird das Parallelenaxiom durch die Forderung ersetzt, dass es zu jeder Geraden und jedem nicht auf ihr liegenden Punkt mindestens zwei Geraden durch diesen Punkt gibt, die die gegebene Gerade nicht schneiden, erhält man die hyperbolische, also eine nichteuklidische Geometrie.

Parallelität affiner Teilräume

In einem n-dimensionalen affinen Raum A über einem Körper K lassen sich affine Teilräume als Nebenklassen linearer Teilräume des zugehörigen Koordinatenvektorraums K^n darstellen. Für zwei affine Teilräume gilt

A₁ = P₁ + U₁ und A₂ = P₂ + U₂.

Man definiert A₁ und A₂ als parallel, wenn U₁ ⊆ U₂ oder U₂ ⊆ U₁ gilt. Geometrisch gleichwertig ist die Aussage, dass es eine Parallelverschiebung τ gibt, für die τ(A₁) ⊆ A₂ oder A₂ ⊆ τ(A₁) gilt. Mit einem Verschiebungsvektor v⃗ ∈ K^n lautet dies: A₁ und A₂ sind parallel, wenn es ein v⃗ gibt, sodass A₁ + v⃗ ⊆ A₂ oder A₂ ⊆ A₁ + v⃗ gilt. Als v⃗ kann beispielsweise der Vektor P₁P₂ gewählt werden.

Meist wird diese Definition auf affine Teilräume mit mindestens einer Dimension beschränkt. Ohne diese Einschränkung wären im Sinne der Definition auch die leere Menge und einpunktige Mengen zu jedem beliebigen Teilraum parallel.

Eigenschaften der verallgemeinerten Parallelität

Für ein festes 1 ≤ k < n ist die verallgemeinerte Parallelität auf der Menge der k-dimensionalen Teilräume eines n-dimensionalen affinen Raumes eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen heißen Parallelenscharen von Ebenen; für k = n − 1 spricht man von einer Parallelenschar von Hyperebenen.

In der projektiven Geometrie besteht eine solche Parallelenschar k-dimensionaler Ebenen aus allen Ebenen, die sich in einem k − 1-dimensionalen projektiven Teilraum der Fernhyperebene schneiden. Deshalb wird sie auch als Ebenenbüschel bezeichnet.

Betrachtet man dagegen affine Teilräume beliebiger Dimension 1 ≤ k < n gemeinsam, ist die Parallelität zwar reflexiv und symmetrisch, für n > 2 aber nicht transitiv. Auf dieser gesamten Menge bildet sie daher im Allgemeinen keine Äquivalenzrelation.

Verwandte Begriffe und endliche Geometrien

Die Vorstellung eines parallelen Verlaufs wird auch auf andere geometrische Objekte übertragen, meist über den konstanten Abstand. Bei einer Parallelverschiebung wird jeder Punkt um dieselbe Strecke in dieselbe Richtung verschoben. In einem Vektorraum lautet die Abbildung x ↦ x + a. Deshalb können auch Strecken und Halbgeraden parallel verlaufen, obwohl sie von der ursprünglichen Definition für Geraden nicht vollständig erfasst werden.

Eine Parallelkurve zu einer ebenen Kurve entsteht, indem man in jedem Kurvenpunkt einen konstanten Betrag in Richtung der dortigen Normalen abträgt. Für γ(s) ∈ ℝ² sind dies die Kurven γ(s) ± a n(s), wobei n(s) der normierte Normalvektor zu γ(s) ist. Ein Beispiel sind konzentrische Kreise. Ein Parallelkörper eines abgeschlossenen konvexen Körpers entsteht, indem man alle Punkte mit Abstand höchstens r hinzufügt, also die Vereinigung aller Kugeln mit Radius r bildet, deren Mittelpunkte im Körper liegen. Vektoriell ist dies K + B_r = {x + y | x ∈ K, y ∈ B_r} mit B_r = {y | ‖y‖ ≤ r}.

Zwei Vektoren mit genau entgegengesetzter Richtung heißen antiparallel. In Laguerre-Ebenen und Minkowski-Ebenen gibt es außerdem parallele Punkte: Das sind Punkte, die nicht durch einen Zykel, also eine Parabel beziehungsweise Hyperbel, verbunden werden können.

In der endlichen Geometrie wird Parallelität als Äquivalenzrelation auf Blockpläne verallgemeinert. Endliche affine und projektive Geometrien sind spezielle Blockpläne. Die Zerlegung ihrer Geraden, die dort auch Blöcke heißen, in Parallelenscharen entspricht in der Theorie der Blockpläne dem Begriff der Auflösung eines Blockplans. Eine weitere Verallgemeinerung der Auflösung ist die taktische Zerlegung.