Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
Fünfeck
Es gehört zur Gruppe der Vielecke (Polygone) und ist durch fünf Punkte definiert. Sind alle fünf Seiten gleich lang, spricht man von einem gleichseitigen …
Inhalt6 Abschnitte
Definition und Arten
Ein Fünfeck ist ein Vieleck, das durch fünf Punkte beziehungsweise fünf Ecken und fünf Seiten bestimmt wird. Bei einem gleichseitigen Fünfeck sind alle Seiten gleich lang. Sind zusätzlich alle fünf Innenwinkel gleich groß, heißt es regulär oder regelmäßig.
Fünfecke werden nach ihrer Form eingeteilt:
- Bei einem überschlagenen Fünfeck schneiden sich mindestens zwei Seiten.
- Ein konkaves Fünfeck besitzt mindestens einen Innenwinkel über 180°. Höchstens zwei Innenwinkel können so groß sein.
- Bei einem konvexen Fünfeck sind alle Innenwinkel kleiner als 180°.
- Bei einem Sehnenfünfeck liegen alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis.
- Ein regelmäßiges Fünfeck hat gleich lange Seiten und gleich große Innenwinkel; es kann konvex oder überschlagen sein.
Ein regelmäßiges überschlagenes Fünfeck entsteht, indem beim Verbinden der fünf Eckpunkte jeweils ein oder zwei Punkte übersprungen werden. Regelmäßige Sternpolygone werden durch das Schläfli-Symbol {n/k} bezeichnet: n gibt die Zahl der Eckpunkte an, verbunden wird jeder k-te Punkt. Der einzige regelmäßige Fünfstrahlstern ist das Pentagramm. Es lässt sich als geschlossener Polygonzug zeichnen und besitzt die Symbole {5/2} beziehungsweise {5/3}.
Winkel und grundlegende Größen
Die Summe der Innenwinkel eines einfachen Fünfecks beträgt 540°. Allgemein gilt für ein Polygon mit n Ecken:
Σα = (n − 2) · 180°.
Für n = 5 ergibt sich Σα = 3 · 180° = 540°. Der Flächeninhalt eines ebenen Fünfecks lässt sich stets bestimmen, indem man es in Dreiecke zerlegt.
Beim regelmäßigen Fünfeck ist jeder Innenwinkel gleich groß:
α = ((n − 2)/n) · 180° = (3/5) · 180° = 108°,
alternativ α = arccos((1 − √5)/4) = 108°.
Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel μ liegt zwischen zwei benachbarten Radien des Umkreises. Er beträgt
μ = 360°/5 = 72°,
alternativ μ = arccos((√5 − 1)/4) = 72°. Durch die Verbindung des Mittelpunktes mit den Ecken wird das regelmäßige Fünfeck in fünf kongruente, also deckungsgleiche, Dreiecke zerlegt. Halbiert man eines davon, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel 36°, der halben Seitenlänge a/2, dem Umkreisradius rᵤ und dem Inkreisradius rᵢ. Die Gesamthöhe des Fünfecks ist
h = rᵤ + rᵢ = (a/2) · √(5 + 2√5) ≈ 1,539 · a.
Formeln des regelmäßigen Fünfecks
Für die Seitenlänge a und den Umkreisradius rᵤ gelten aufgrund des rechtwinkligen Bestimmungsdreiecks:
sin(36°) = a/(2rᵤ), a = 2rᵤ · sin(36°) = rᵤ · √((5 − √5)/2) ≈ 1,176 · rᵤ, rᵤ = a/(2 · sin(36°)) = a · √((5 + √5)/10) ≈ 0,851 · a.
Der Inkreis berührt alle Seiten. Sein Radius rᵢ ist der senkrechte Abstand des Mittelpunktes von einer Seite:
rᵢ = (a/2) · cot(36°) = (a/2) · √(1 + 2/√5) ≈ 0,688 · a.
Jede der fünf Diagonalen hat die Länge d. Aus einem passenden gleichschenkligen Hilfsdreieck folgt:
d = 2a · sin(54°) = (a/2) · (1 + √5) ≈ 1,618 · a.
Außerdem gilt d = rᵤ · √((5 + √5)/2).
Der Flächeninhalt A ist das Fünffache der Fläche eines Dreiecks, das vom Mittelpunkt und zwei benachbarten Eckpunkten gebildet wird:
A = (5/4) · a² · tan(54°) = (5/4) · a² · √(1 + 2/√5) = (a²/4) · √(25 + 10√5) ≈ 1,720 · a².
Mit dem Umkreisradius kann man auch rechnen:
A = (5/8) · rᵤ² · √(10 + 2√5) = (5/2) · rᵤ² · sin(72°) ≈ 2,378 · rᵤ².
Goldener Schnitt und Konstruktionen
Im regelmäßigen Fünfeck und im Pentagramm tritt der Goldene Schnitt mehrfach auf. Eine Seite steht zu einer benachbarten Diagonale im goldenen Verhältnis. Auch die Diagonalen teilen einander so, dass sich beispielsweise AD zu BD wie BD zu CD verhält. Der zugehörige Wert ist
Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618.
Damit entspricht das Verhältnis d/a ebenfalls Φ. Der Nachweis beruht auf ähnlichen Dreiecken.
Ein regelmäßiges Fünfeck ist mit Zirkel und Lineal exakt konstruierbar. Ist der Umkreis gegeben, zeichnet man zwei senkrechte Durchmesser und halbiert einen Radius. Ein Kreis um diesen Halbierungspunkt erzeugt eine Strecke, deren weitere Verbindung die gesuchte Seitenlänge liefert. Für den Umkreisradius r beträgt sie
a = r · √((5 − √5)/2).
Diese Seitenlänge wird anschließend fünfmal als Sehne auf dem Umkreis abgetragen. In der beschriebenen Figur entsprechen drei Strecken genau den Seitenlängen eines regelmäßigen Sechsecks, Fünfecks und Zehnecks mit demselben Umkreisradius.
Eine zweite, auf Euklid im 3. Jahrhundert v. Chr. zurückgehende Konstruktion verwendet ein Goldenes Dreieck erster Art. Zunächst wird ein Radius nach der Methode der inneren Teilung von Heron von Alexandria im Goldenen Schnitt geteilt. Daraus entstehen ein Goldenes Dreieck und die erste Fünfeckseite, die auf dem Umkreis abgetragen wird.
Ist stattdessen die Seitenlänge vorgegeben, wird zunächst die entsprechende Strecke gezeichnet. Mithilfe mehrerer Kreisbögen, eines Lots und einer Parallelen erzeugt man durch äußere Teilung im Goldenen Schnitt die Diagonalenlänge und bestimmt nacheinander die übrigen Ecken. In beiden Konstruktionsarten ist der Goldene Schnitt der entscheidende Baustein.
Auch durch Papierfaltung kann die Form entstehen: Wird ein Überhandknoten in einen Papierstreifen geschlungen und zusammengezogen, nimmt er die Gestalt eines regelmäßigen Fünfecks an.
Fünfecke im Raum und in der Umwelt
Das Dodekaeder ist der einzige platonische Körper, dessen Seitenflächen regelmäßige Fünfecke sind. Regelmäßige Fünfecke kommen außerdem in mehreren archimedischen Körpern vor: im Ikosidodekaeder, im Ikosaederstumpf oder „Fußballkörper“, im Rhombenikosidodekaeder und im abgeschrägten Dodekaeder.
In der Natur erscheinen fünfeckige Formen und fünfstrahlige Symmetrien häufig. Okra und Sternfrucht besitzen im Querschnitt eine fünfeckige Form, die Blüten der Prunkwinde sind fünfeckig ausgebildet. Seesterne und Schlangensterne weisen eine fünfstrahlige Symmetrie auf; bei den Blättern des Amerikanischen Amberbaums gilt dies näherungsweise. Die Coccolithophore Braarudosphaera bigelowii besteht aus zwölf Kalkschuppen mit fünfeckiger Grundfläche, sogenannten Pentalithen. Viele cyclische chemische Verbindungen enthalten eine Fünfringstruktur, darunter Cyclopentan, γ-Butyrolacton, Furan und Furanosen.
Architektur, Kunst und Symbole
Fünfeckige Grundrisse sind besonders im neuzeitlichen Festungsbau verbreitet. Regelmäßig fünfeckige Beispiele sind unter anderem die Festung Bourtange, die Zitadellen von Jaca, Pamplona, Lille und Turin, die Festung Dömitz, die Höhenfestung Wülzburg und Goryōkaku in Japan. Auch befestigte Paläste wie die Villa Farnese in Caprarola sowie die Schlösser Krzyżtopór und Nowy Wiśnicz verwenden diesen Grundriss. Der Hauptsitz des Verteidigungsministeriums der Vereinigten Staaten in Washington, D.C. wird wegen seines regelmäßigen fünfeckigen Grundrisses Pentagon genannt. Fünfecke dienen außerdem als Grundriss von Kirchen und als Querschnitt von Türmen.
In der Kunst veröffentlichte Jacques Ozanam 1699 einen Kupferstich zur Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks, das ein gegebenes gleichseitiges Dreieck umschließt. Der halbe Innenwinkel des Fünfecks beträgt 54°, der halbe Innenwinkel des Dreiecks 30°; zwischen Dreiecksschenkel und Fünfeckseite liegt daher ein Winkel von 24°. Ozanams geometrische Konstruktion zerlegt diese Winkel in Einheiten von 6° und konstruiert unter anderem einen Winkel von 18° sowie die übrigen Eckpunkte mit Kreisbögen, Parallelen, Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten.
In der standardisierten Symbol-Nomenklatur für Glykane werden farbige Fünfecke verwendet. Ein blaues Fünfeck steht beispielsweise für das Monosaccharid Arabinose.
