Elemente (Euklid)

Bedeutung und Aufbau des Werks

Die „Elemente“ sind eine mathematische Abhandlung des griechischen Mathematikers Euklid aus dem 3. Jahrhundert v. Chr. Sie fassen die damalige Arithmetik und Geometrie zusammen und ordnen sie systematisch. Ihre besondere Bedeutung liegt in der axiomatischen Methode: Mathematische Aussagen werden aus wenigen Definitionen und Grundannahmen durch logische Schlüsse hergeleitet und bewiesen. Damit wurden die „Elemente“ zum Vorbild für den Aufbau einer exakten Wissenschaft.

Das Werk diente etwa zweitausend Jahre lang als akademisches Lehrbuch und war bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts nach der Bibel das meistverbreitete Werk der Weltliteratur. Ursprünglich bestand es aus 13 „Büchern“, die heutigen Kapiteln entsprechen; später wurden zwei Bücher anderer Autoren ergänzt.

In den ursprünglichen 13 Büchern stehen insgesamt 131 Definitionen und 465 Propositionen, also mathematische Behauptungen oder Aufgaben mit anschließendem Beweis. Am Anfang von Buch 1 führt Euklid 23 Definitionen, 5 Postulate und 5 Axiome ein. Weitere Bücher ergänzen Definitionen, stützen ihre Argumentation aber grundsätzlich auf die Annahmen des ersten Buches. Heute unterscheidet man die Propositionen in Lehrsätze und Konstruktionsaufgaben. Diese Unterscheidung und die heute übliche Nummerierung waren im Original nicht ausdrücklich vorhanden. Euklid beendete Lehrsatzbeweise mit „was zu beweisen war“ und Konstruktionen mit „was auszuführen war“.

Axiomatische Grundlage

Axiome und Postulate sind nicht bewiesene Grundannahmen, von denen die weiteren Überlegungen ausgehen. Euklid unterscheidet geometrische Grundannahmen, die Postulate, von allgemeinen Annahmen über logische Zusammenhänge, den Axiomen. Beide besitzen jedoch axiomatischen Charakter.

Die fünf geometrischen Postulate besagen:

• Zwischen zwei beliebigen Punkten lässt sich eine und nur eine gerade Linie zeichnen.

• Eine begrenzte gerade Linie lässt sich an jedem Ende zusammenhängend gerade verlängern, und zwar um einen Betrag, der größer als jede vorgegebene Länge ist.

• Zu einem gegebenen Mittelpunkt und Radius lässt sich ein und nur ein Kreis zeichnen.

• Alle rechten Winkel sind einander gleich.

• Schneidet eine Gerade zwei Geraden so, dass die innen auf derselben Seite liegenden Winkel zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, treffen sich die beiden Geraden bei unbegrenzter Verlängerung auf dieser Seite.

Das fünfte Postulat ist in abgewandelter Form als Parallelenaxiom bekannt. Lange versuchte man, es aus den übrigen Postulaten herzuleiten und damit als Lehrsatz zu beweisen. Später wurde erkannt, dass dies unmöglich ist. Verändert man dieses Postulat, gelangt man zu den nichteuklidischen Geometrien.

Trotz ihres systematischen Aufbaus sind die „Elemente“ weniger formal als moderne axiomatische Systeme. Euklid nennt keine ausdrücklichen Schlussregeln und verwendet keine Formelsprache. Annahmen, Sätze und Schlussfolgerungen werden sprachlich formuliert; die logischen Regeln kommen nach intuitivem Verständnis zur Anwendung.

Themen der dreizehn Bücher

Die Bücher 1 bis 6 behandeln hauptsächlich die ebene Geometrie, darunter kongruente, also deckungsgleiche, und ähnliche Figuren. Buch 1 führt von den grundlegenden Definitionen bis zum Satz des Pythagoras. Buch 2 enthält geometrische Algebra, Buch 3 die Kreislehre und Buch 4 Vielecke. Buch 5 entwickelt die Proportionenlehre; Buch 6 überträgt Proportionen auf die ebene Geometrie.

Die Bücher 7 bis 9 behandeln Arithmetik und Zahlentheorie. Buch 7 untersucht Teilbarkeit und Primzahlen. Buch 8 befasst sich mit Quadrat- und Kubikzahlen sowie geometrischen Reihen. Buch 9 behandelt gerade und ungerade Zahlen.

Buch 10 untersucht inkommensurable Größen. Das sind Größen, für die es kein gemeinsames Maß gibt; dazu gehören Zusammenhänge mit irrationalen Größen.

Die Bücher 11 bis 13 behandeln die Raumgeometrie. Buch 11 stellt ihre Grundlagen dar. Buch 12 verwendet die Exhaustionsmethode, bei der eine Größe durch schrittweise immer genauere Annäherung bestimmt wird. Buch 13 behandelt die fünf gleichmäßigen beziehungsweise platonischen Körper.

Später kamen zwei nicht zu den eigentlichen „Elementen“ gerechnete Teile hinzu. Buch 14 stammt von Hypsikles aus dem 2. Jahrhundert v. Chr. und behandelt Ikosaeder und Dodekaeder. Buch 15 ist nur arabisch und hebräisch überliefert, stammt von einem unbekannten späteren Autor und behandelt die fünf regulären Polyeder; möglicherweise beruht es auf einer griechischen Vorlage.

Wichtige mathematische Ergebnisse

Viele bis heute im Unterricht behandelte Ergebnisse erscheinen in den „Elementen“. Zur ebenen Geometrie gehören die Konstruktion der Winkelhalbierenden (Buch 1, Proposition 9), der Scheitelwinkelsatz (1,15), die Dreiecksungleichung (1,20), Stufenwinkel- und Wechselwinkelsatz (1,29), die Winkelsumme im Dreieck und der Außenwinkelsatz (1,32) sowie der Satz des Pythagoras (1,47). Eine verallgemeinerte Form mit einem zweiten Beweis steht in Buch 6, Proposition 31.

Buch 2 enthält geometrische Darstellungen der ersten binomischen Formel (Proposition 4) und der dritten binomischen Formel (Proposition 5). Aus der Kreislehre stammen der Kreiswinkelsatz (Buch 3, Proposition 20), der Satz des Thales (3,31) und der Sehnensatz (3,35). Buch 4 beschreibt unter anderem die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks und des regelmäßigen Fünfzehnecks.

Zur Proportions- und Ähnlichkeitslehre gehören der erste Strahlensatz (Buch 6, Proposition 2), der Winkelhalbierendensatz und die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke, die Konstruktion des geometrischen Mittels sowie die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnitts.

In der Zahlentheorie finden sich der euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (Buch 7, Proposition 2), das Lemma von Euklid (7,30) und der Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (9,20). Buch 10, Proposition 10 behandelt die Irrationalität der Quadratwurzel von 2; Proposition 29, Lemma 1 die Erzeugung pythagoreischer Tripel. Zu den räumlichen Ergebnissen zählen die Bestimmung des Kegelvolumens (Buch 12, Proposition 10) und die Klassifikation der platonischen Körper (Buch 13, Proposition 18 a).

Überlieferung und Textfassungen

Die älteste erhaltene griechische Handschrift stammt aus dem byzantinischen Jahr 888. Sie wird als MS. D’Orville 301 in der Bodleian Library in Oxford aufbewahrt und enthält die von Theon von Alexandria bearbeitete Fassung. Für moderne Ausgaben besonders wichtig ist der Vaticanus Graecus 190 aus dem 10. Jahrhundert. Er bewahrt einen Text vor Theons Bearbeitung und enthält die Bücher 1 bis 15 sowie weitere Texte. Ein Papyrus aus Oxyrhynchus, wahrscheinlich von 75 bis 125 n. Chr., enthält lediglich Buch 2, Proposition 5; ein Fragment aus Herculaneum überliefert Definition 15 aus Buch 1. Sowohl die Theon-Fassung als auch der Vaticanus enthalten Erläuterungen und kleinere Zusätze älterer Bearbeiter, sogenannte Scholia.

Eine um 500 angefertigte lateinische Übersetzung des Boethius ist nur teilweise in späteren Bearbeitungen erhalten. Für die weitere Verbreitung waren arabische Übersetzungen und Kommentare wichtig, darunter Arbeiten von al-Haggag gegen Ende des 8. Jahrhunderts, Ishaq ibn Hunayn und Thabit ibn Qurra am Ende des 9. Jahrhunderts sowie Nasir Al-din al-Tusi von 1248.

Adelard von Bath übersetzte das Werk um 1120 aus dem Arabischen ins Lateinische. Im 12. Jahrhundert entstanden weitere lateinische Übersetzungen, unter anderem von Hermann von Kärnten und Gerhard von Cremona. Besonders einflussreich war die lateinische Fassung des Campanus von Novara um 1260. Sie bildete die Grundlage der ersten Drucke und blieb bis ins 16. Jahrhundert vorherrschend.

Die erste gedruckte Ausgabe erschien 1482 in Venedig auf Latein. Bartolomeo Zamberti veröffentlichte 1505 eine vollständige lateinische Übersetzung direkt aus dem Griechischen. Der erste Druck des griechischen Textes folgte 1533 in Basel. Die erste Übersetzung in eine moderne westliche Sprache veröffentlichte Niccolò Tartaglia 1543; die erste deutsche Übersetzung erschien 1555 durch Johann Scheubel. Simon Marius legte 1609 die erste direkte deutsche Übersetzung der ersten sechs Bücher aus dem Griechischen vor.

Bis ins 19. Jahrhundert beruhten die im Westen bekannten Ausgaben überwiegend auf der von Theon geprägten Texttradition. Johan Ludvig Heiberg rekonstruierte mithilfe des Vaticanus Graecus 190 eine ältere Fassung, die zur Standardausgabe wurde. Clemens Thaer veröffentlichte darauf aufbauend 1933–1937 eine deutsche Übersetzung. Wilbur Richard Knorr kritisierte 1996 Heibergs Ausgabe anhand der arabischen Überlieferungslinie; die Beurteilung der Textgeschichte ist daher nicht in allen Punkten unumstritten.