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Innenwinkel
Die Innenwinkel eines Polygons sind in der Geometrie die Winkel, die durch zwei benachbarte Polygonseiten eingeschlossen werden und im Inneren des Polygons …
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Definition und Bezeichnungen
Innenwinkel eines Polygons sind die Winkel, die von jeweils zwei benachbarten Seiten eingeschlossen werden und im Inneren des Polygons liegen. Ihre Scheitelpunkte sind die Ecken des Polygons. Ein n-Eck besitzt genau n Innenwinkel. Bei einem nicht überschlagenen Polygon hängt deren Summe nur von der Zahl n der Ecken ab. Verlängert man eine Polygonseite, so heißt der dabei entstehende Nebenwinkel eines Innenwinkels Außenwinkel.
Die Ecken werden meist mit A, B, C, … und die zugehörigen Innenwinkel mit α, β, γ, … bezeichnet. Im Dreieck heißt die dem Winkel α gegenüberliegende Seite a, die dem Winkel β gegenüberliegende Seite b und entsprechend weiter.
Innenwinkelsumme
In der euklidischen Geometrie beträgt die Summe der Innenwinkel eines nicht überschlagenen n-Ecks
α + β + γ + … = (n − 2) · 180°.
Daraus folgen für ein Dreieck 180°, für ein Viereck 360° und für ein Fünfeck 540°. In einem gleichwinkligen Polygon sind alle Innenwinkel gleich groß. Jeder von ihnen misst daher
α = β = γ = … = ((n − 2) / n) · 180°.
Beispiele sind das gleichseitige Dreieck mit Innenwinkeln von jeweils 60°, das Quadrat mit jeweils 90° und das regelmäßige Fünfeck mit jeweils 108°.
Diese Formeln gelten nicht unverändert in nichteuklidischen Geometrien: In elliptischer Geometrie, etwa auf einer Kugeloberfläche, ist die Innenwinkelsumme stets größer als der entsprechende euklidische Wert. In hyperbolischer Geometrie, etwa auf einer Sattelfläche, ist sie stets kleiner.
Besondere Polygone
Dreiecke werden nach ihren Innenwinkeln eingeteilt: Sind alle kleiner als 90°, ist das Dreieck spitzwinklig. Misst ein Winkel genau 90°, ist es rechtwinklig. Ist ein Winkel größer als 90°, ist es stumpfwinklig. In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Innenwinkel gleich groß.
Bei einem Viereck liegt ein Parallelogramm vor, wenn jeweils zwei gegenüberliegende Innenwinkel gleich groß sind. Sind jeweils zwei nebeneinanderliegende Innenwinkel gleich groß, handelt es sich um ein gleichschenkliges Trapez. In einem Sehnenviereck ergänzen sich jeweils zwei gegenüberliegende Innenwinkel zu 180°.
In einem gleichwinkligen Polygon sind alle Innenwinkel gleich groß. Regelmäßige Polygone sind wichtige Sonderfälle: Bei ihnen sind zusätzlich alle Seiten gleich lang. Beispiele sind das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das regelmäßige Fünfeck.
In einem konvexen Polygon messen alle Innenwinkel höchstens 180°. Ein nichtkonvexes Polygon besitzt mindestens eine einspringende Ecke, deren Innenwinkel größer als 180° ist. Gleiche entsprechende Innenwinkel reichen jedoch nicht aus, um die Ähnlichkeit zweier Polygone zu sichern: Rechtecke mit unterschiedlichen Seitenverhältnissen haben zwar gleiche Winkel, sind aber nicht ähnlich.
Winkelhalbierende
Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel. Bei einem Tangentenvieleck, also einem Polygon mit einem Inkreis, treffen sich die Winkelhalbierenden der Innenwinkel im Inkreismittelpunkt. Dies gilt beispielsweise für Dreiecke und Rauten.
In einem Dreieck teilt jede Innenwinkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der Längen der beiden anliegenden Seiten. Außerdem schneidet sie die Winkelhalbierenden der beiden nicht anliegenden Außenwinkel im Mittelpunkt des Ankreises, der der gegenüberliegenden Seite zugeordnet ist.
Wichtige mathematische Sätze
Mehrere Sätze beschreiben Beziehungen zwischen den Innenwinkeln und den Seiten eines Dreiecks. Dazu gehören der Sinussatz, der Kosinussatz, der Tangenssatz, die Halbwinkelsätze und die mollweideschen Formeln.
Nach dem Außenwinkelsatz ist jeder Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Der Satz von Morley besagt: Drittelt man alle drei Innenwinkel eines Dreiecks, so bilden bestimmte Schnittpunkte der Drittelungslinien ein stets gleichseitiges Morley-Dreieck.
Für gleichwinklige Polygone gilt der Satz von Viviani. Danach ist die Summe der Abstände eines beliebigen inneren Punktes von den Seiten des Polygons unabhängig davon, wo sich der Punkt im Inneren befindet.
