Krümmung

Grundidee der Krümmung

Krümmung bezeichnet in der Mathematik die lokale Abweichung einer Kurve von einer Geraden. Das Krümmungsmaß κ gibt für jeden Punkt quantitativ an, wie stark sich die Kurve dort krümmt.

Bei einer Geraden ist die Krümmung überall gleich null, weil sich ihre Richtung nicht ändert. Ein Kreis mit Radius r hat überall dieselbe Krümmung. Sie ist der Kehrwert des Radius:

κ = 1/r = Δφ/Δs.

Dabei ist Δφ der Zentriwinkel und Δs die Länge des betrachteten Kreisbogens. Je kleiner der Radius, desto größer ist die Krümmung.

Für eine beliebige differenzierbare Kurve betrachtet man ein Kurvenstück der Länge Δs und den Winkel Δφ zwischen den Tangenten an seinen Endpunkten. Lässt man die Endpunkte gegen einen Punkt P zusammenlaufen, ist die Krümmung definiert durch

κ(P) := lim(Δs→0) Δφ/Δs = dφ/ds,

falls dieser Grenzwert existiert. φ ist der Anstiegs- beziehungsweise Tangentenwinkel und s die Bogenlänge.

Krümmungsradius und grundlegende Definition

Ist die Krümmung in einem Punkt ungleich null, heißt ihr Kehrwert Krümmungsradius. Der zugehörige Krümmungskreis ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert. Sein Mittelpunkt heißt Krümmungsmittelpunkt; der Vektor vom Kurvenpunkt zu diesem Mittelpunkt heißt Krümmungsvektor.

Für eine nach der Bogenlänge s parametrisierte Kurve mit Ortsvektor r(s) gilt

κ = |d²r/ds²|.

Äquivalent ist die Krümmung der Betrag der Ableitung des Einheitstangentenvektors t = dr/ds nach der Bogenlänge. Sie misst also, wie schnell sich die Tangentenrichtung beim Durchlaufen der Kurve ändert. Dieser Betrag ist unabhängig von der Parametrisierung.

Für ebene Kurven kann man ein Vorzeichen festlegen. Dazu wählt man ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld N. Dann gilt bei κ ≠ 0

κ = N · dt/ds.

Die Krümmung ist positiv, wenn sich die Kurve in Richtung von N krümmt, und negativ in der entgegengesetzten Richtung. Das Vorzeichen hängt von der Wahl von N, der Orientierung der Ebene und dem Durchlaufsinn ab. In einer Linkskurve ist κ positiv, in einer Rechtskurve negativ. Der Betrag |κ| ist die vorzeichenlose Krümmung.

Für eine Kurve C = f⁻¹({0}) als Nullstellenmenge einer Funktion f: ℝ² → ℝ kann N als normiertes Gradientenfeld N = (∇f/|∇f|)|C gewählt werden.

Berechnung mit Parametrisierungen

Für eine beliebige reguläre Parametrisierung t ↦ r(t) ∈ ℝᵖ und die Matrix A(t) = (r′(t), r″(t)) lautet die vorzeichenlose Krümmung

κ = √det(Aᵀ · A) / |r′|³.

Bei ebenen Kurven ist A quadratisch, daher vereinfacht sich die Formel zu

κ = |det A| / |r′|³.

In der standardorientierten Ebene erhält man die Krümmung mit Vorzeichen, indem man im Zähler die Betragsstriche weglässt.

Für eine ebene Parametrisierung r(t) = (x(t), y(t)) gilt deshalb

κ(t) = [ẋ(t)ÿ(t) − ẍ(t)ẏ(t)] / [ẋ(t)² + ẏ(t)²]^(3/2).

Punkte bezeichnen Ableitungen nach t.

Für Raumkurven r(t) ∈ ℝ³ wird die Krümmung mit dem Kreuzprodukt berechnet:

κ(t) = |r′(t) × r″(t)| / |r′(t)|³.

Wichtige Spezialfälle ebener Kurven

Ist eine ebene Kurve als Graph y = f(x) gegeben, lautet die Krümmung im Punkt r(x) = (x, f(x))

κ(x) = f″(x) / [1 + f′(x)²]^(3/2).

Sie kann positiv oder negativ sein: Das Vorzeichen hängt davon ab, ob der Anstiegswinkel bei wachsendem x zunimmt oder abnimmt, also ob die Funktion konvex oder konkav ist.

In Polarkoordinaten mit r = f(φ) und

r(φ) = f(φ) · (cos φ, sin φ)

lautet die Krümmung

κ(φ) = [f(φ)² + 2f′(φ)² − f(φ)f″(φ)] / [f(φ)² + f′(φ)²]^(3/2).

Der Krümmungskreis ist der eindeutig bestimmte Kreis, dessen Kontaktordnung mit der Kurve im Berührungspunkt mindestens 2 beträgt. Die Krümmung ist genau dann null, wenn die Kontaktordnung mit der Tangente mindestens 2 ist. Die Evolute einer Kurve ist die Ortskurve ihrer Krümmungsmittelpunkte.

Die vorzeichenbehaftete Krümmung erfüllt die Frenetschen Ableitungsgleichungen

dt/ds = κN, dN/ds = −κt.

Eine Krümmungsfunktion κ(s), ein Startpunkt und eine Startrichtung bestimmen eine ebene Kurve eindeutig. Zwei Kurven mit derselben Krümmungsfunktion unterscheiden sich nur durch eine eigentliche Bewegung in der Ebene. Außerdem gilt κ = dφ/ds.

Krümmung von Flächen und höhere Geometrie

Die Krümmung einer Fläche zeigt sich durch ihre Abweichung von der Tangentialebene, die bei stärkerer Krümmung quadratisch stärker zunimmt. An einem Punkt p untersucht man die Krümmung der Schnittkurven mit den dort errichteten Normalebenen. Unter den Schnittkurven gibt es einen maximalen Krümmungsradius R₁ und einen minimalen R₂. Ihre Kehrwerte

k₁ = 1/R₁, k₂ = 1/R₂

heißen Hauptkrümmungen; die zugehörigen Krümmungsrichtungen stehen senkrecht aufeinander.

Die gaußsche Krümmung und die mittlere Krümmung sind

K = (1/R₁) · (1/R₂) = k₁k₂,

H = 1/2 · [(1/R₁) + (1/R₂)] = 1/2(k₁ + k₂).

Die Gesamt- oder totale Krümmung einer Fläche ist das Integral der gaußschen Krümmung:

C = ∫K dA = ∫k₁k₂ dA.

Die gaußsche Krümmung hängt nur von der inneren Geometrie der Fläche ab, also von der ersten Fundamentalform beziehungsweise dem metrischen Tensor, der die Berechnung von Bogenlängen festlegt. Dieser intrinsische Begriff wird auf Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension mit metrischem Tensor verallgemeinert. Dort beschreibt Krümmung, wie stark sich Vektoren beim Paralleltransport längs geschlossener Kurven nach einem Umlauf in ihrer Richtung ändern.

In der riemannschen Geometrie misst der riemannsche Krümmungstensor die Abweichung der lokalen Geometrie von der euklidischen Geometrie. Aus ihm werden unter anderem Schnittkrümmung, Ricci-Krümmung und Skalarkrümmung abgeleitet. Eine Krümmung zeigt sich beispielsweise beim Vergleich des Kreisumfangs mit dem euklidischen Wert 2π für das Verhältnis von Umfang und Radius.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird Gravitation als Krümmung der Raumzeit beschrieben. Massen von Himmelskörpern verursachen diese Krümmung; Körper und Licht bewegen sich auf den dadurch bestimmten geodätischen Bahnen. In der Eichtheorie werden entsprechende Krümmungsgrößen in Hauptfaserbündeln mit Zusammenhang zur Beschreibung der Stärke fundamentaler Wechselwirkungen, etwa des elektromagnetischen Feldes, verwendet.