Euklidischer Raum

Grundidee und Begriffsvarianten

Der euklidische Raum ist zunächst der „Raum unserer Anschauung“, wie er in Euklids Elementen durch Axiome und Postulate beschrieben wird. Er ist der grundlegende Raum der euklidischen Geometrie. Im Unterschied zu einem allgemeinen affinen Raum lassen sich in ihm Längen und Winkel messen. Daher betrachtet man besonders Abbildungen, die Längen und Winkel erhalten: Kongruenzabbildungen, Bewegungen oder Isometrien.

Der Begriff kann verschiedene, eng miteinander verbundene mathematische Modelle bezeichnen: einen euklidischen Vektorraum, einen euklidischen Punktraum oder den Koordinatenraum ℝ³ beziehungsweise allgemein ℝⁿ mit dem Standardskalarprodukt. Die zweidimensionale Version heißt euklidische Ebene. In der synthetischen Geometrie können euklidische Ebenen auch über euklidischen Körpern definiert werden; diese sind je nach Auffassung Teilkörper oder isomorph zu Teilkörpern von ℝ.

Der Zusatz „euklidisch“ wurde wichtig, als allgemeinere Räume wie der hyperbolische Raum und riemannsche Mannigfaltigkeiten entwickelt wurden. In der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie werden zur Beschreibung des physikalischen Raums unter anderem Minkowski-Räume und Lorentz-Mannigfaltigkeiten verwendet. In nichteuklidischen Räumen, etwa im hyperbolischen und elliptischen Raum, gilt das Parallelenaxiom nicht. Ein pseudoeuklidischer Raum beruht auf einem Vektorraum mit einem Pseudoskalarprodukt, also einer im Allgemeinen nicht positiv definiten symmetrischen Bilinearform.

Euklidische Vektorräume

In der analytischen Geometrie ordnet man dem Anschauungsraum einen Vektorraum zu. Dazu betrachtet man die Parallelverschiebungen (Translationen). Ihre Hintereinanderausführung bildet die Addition. Pfeile, die gleichsinnig parallel sind und die gleiche Länge haben, beschreiben dieselbe Verschiebung. Die entsprechenden Äquivalenzklassen nennt man Vektoren.

Wählt man einen Punkt O als Ursprung, erhält jeder Punkt P den Ortsvektor p⃗ = OP⃗. Dadurch entsteht eine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen Punkten und Vektoren. Diese Identifizierung ist jedoch nicht kanonisch, weil sie von der Wahl des Ursprungs abhängt. Längen und Winkel der Pfeile werden auf die Vektoren übertragen; dadurch entsteht ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt.

Ein reeller Vektorraum beliebiger endlicher Dimension n mit Skalarprodukt heißt euklidischer Vektorraum. Das Skalarprodukt ist dadurch charakterisiert, dass a⃗ · a⃗ = |a⃗|² gilt. Für zwei Vektoren gilt:

a⃗ · b⃗ = |a⃗| |b⃗| cos ∠(a⃗,b⃗).

Die Länge oder Norm eines Vektors ist

|a⃗| = √(a⃗ · a⃗).

Zwei Vektoren sind orthogonal oder senkrecht genau dann, wenn ihr Skalarprodukt null ist:

a⃗ ⟂ b⃗ ⇔ a⃗ · b⃗ = 0.

Der nichtorientierte Winkel wird durch

∠(a⃗,b⃗) = arccos((a⃗ · b⃗)/(|a⃗| |b⃗|))

definiert. Ein Vektor der Länge 1 heißt Einheitsvektor. Eine Basis aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren ist eine Orthonormalbasis. In jedem euklidischen Vektorraum existieren Orthonormalbasen. Für eine solche Basis e⃗₁,…,e⃗ₙ gilt:

a⃗ = a₁e⃗₁ + … + aₙe⃗ₙ,

wobei aᵢ = a⃗ · e⃗ᵢ ist.

Zwei euklidische Vektorräume derselben Dimension n sind isometrisch isomorph, also durch eine längen- und skalarprodukttreue Abbildung miteinander verbunden und als euklidische Vektorräume nicht unterscheidbar. Jeder n-dimensionale euklidische Vektorraum ist isometrisch isomorph zu ℝⁿ. Manche Autoren verwenden den Begriff auch für unendlichdimensionale reelle oder für komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt.

Euklidischer Punktraum

Der euklidische Vektorraum ist als Modell praktisch, unterscheidet aber begrifflich nicht zwischen Punkten und Vektoren. Das ist problematisch, weil Vektoren addiert und mit Zahlen multipliziert werden können, Punkte jedoch nicht. Außerdem besitzt der Vektorraum einen ausgezeichneten Nullvektor, während in der Geometrie alle Punkte gleichberechtigt sind.

Ein euklidischer Punktraum ist deshalb ein affiner Raum über einem euklidischen Vektorraum. Die Punkte bilden den Punktraum E, Eₙ, Eⁿ oder ℝⁿ; das hochgestellte n in Eⁿ ist dabei ein Dimensionsindex und kein Exponent. Die Vektoren bilden den zugehörigen euklidischen Vektorraum V.

Zu zwei Punkten P und Q gibt es genau einen Verbindungsvektor OP⃗ beziehungsweise genauer PQ⃗. Für Punkte P, Q und R gilt:

PQ⃗ + QR⃗ = PR⃗.

Insbesondere ist PP⃗ = 0⃗. Ein Vektor v⃗ führt einen Punkt P eindeutig in einen Punkt Q über, der formal als P + v⃗ geschrieben wird. Diese Schreibweise bezeichnet keine Addition im Punktraum. Der Nullvektor lässt jeden Punkt unverändert: P + 0⃗ = P. Werden P durch v⃗ nach Q und Q durch w⃗ nach R verschoben, so gilt:

(P + v⃗) + w⃗ = P + (v⃗ + w⃗).

Algebraisch bedeutet dies, dass die additive Gruppe von V frei und transitiv auf E operiert.

Längen, Abstände, Winkel und Orthogonalität werden über das Skalarprodukt der Verbindungsvektoren definiert:

d(P,Q) = PQ̄ = |PQ⃗|.

Der Winkel ∠QPR ist der Winkel zwischen PQ⃗ und PR⃗:

∠QPR = ∠(PQ⃗,PR⃗).

Zwei Strecken [PQ] und [RS] sind genau dann orthogonal, wenn die Verbindungsvektoren PQ⃗ und RS⃗ orthogonal sind. Eine längenerhaltende Abbildung eines euklidischen Punktraums auf sich heißt Isometrie, Kongruenzabbildung oder Bewegung. Sie erhält automatisch auch Winkel. Zu einer Bewegung f gehört eine orthogonale lineare Abbildung f⃗ des Vektorraums, sodass für alle P und Q gilt:

f(Q) = f(P) + f⃗(PQ⃗).

Der Koordinatenraum ℝⁿ

Der n-dimensionale reelle Koordinatenraum ℝⁿ ist das n-fache kartesische Produkt der reellen Zahlen. Seine Elemente sind n-Tupel x = (x₁,…,xₙ). Je nach Zusammenhang werden sie als Punkte oder Vektoren bezeichnet.

Die Vektoroperationen erfolgen komponentenweise:

x + y = (x₁ + y₁,…,xₙ + yₙ),

r x = (r x₁,…,r xₙ).

Das Standardskalarprodukt ist

x · y = x₁y₁ + … + xₙyₙ.

Damit ist ℝⁿ ein euklidischer Vektorraum. Die euklidische Norm, auch 2-Norm genannt, lautet:

|x| = √(x · x) = √(x₁² + … + xₙ²).

Der Winkel zwischen x und y wird durch

cos ∠(x,y) = (x · y)/(|x| |y|)

bestimmt. Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn

x · y = x₁y₁ + … + xₙyₙ = 0

gilt.

Die Standardbasis besteht aus

e₁ = (1,0,…,0), e₂ = (0,1,…,0), …, eₙ = (0,0,…,1).

Ihre Vektoren sind Einheitsvektoren und paarweise orthogonal; daher bilden sie eine Orthonormalbasis. Fasst man x und y als Punkte auf, ist ihr Abstand die Länge des Verbindungsvektors y − x:

d(x,y) = |y − x| = √((y₁ − x₁)² + … + (yₙ − xₙ)²).

Wählt man in einem euklidischen Vektorraum eine Orthonormalbasis oder in einem Punktraum einen Koordinatenursprung und eine Orthonormalbasis, entsteht eine Isometrie zum ℝⁿ. Diese Zuordnung hängt von der Wahl der Basis und im Punktraum zusätzlich vom Ursprung ab.

Lineare Isometrien von ℝⁿ werden durch orthogonale Matrizen A dargestellt: f(x) = Ax. Jede Isometrie des Punktraums ℝⁿ hat die Form

f(x) = Ax + b,

also die Verknüpfung einer orthogonalen Abbildung mit einer Parallelverschiebung.

Bedeutung in Topologie und Geometrie

Die durch das Skalarprodukt definierte Länge ist eine Norm. Mit der daraus entstehenden Norm wird jeder endlichdimensionale euklidische Vektorraum zu einem normierten Raum, einem Prähilbertraum, einem Banachraum und einem Hilbertraum. Der euklidische Abstand d(P,Q) = |PQ⃗| macht ihn außerdem zu einem metrischen und damit zu einem topologischen Raum.

Auf endlichdimensionalen Vektorräumen sind alle Normen äquivalent. Deshalb hängt die Topologie in diesem Fall nicht von der speziellen euklidischen Struktur ab. Normierte Vektorräume derselben endlichen Dimension n sind homöomorph und damit homöomorph zu ℝⁿ. Nach dem Satz von der Invarianz der Dimension von Luitzen E. J. Brouwer sind euklidische Räume verschiedener Dimension dagegen nicht homöomorph aufeinander abbildbar. Als topologischer Raum ist der euklidische Raum zusammenhängend und zusammenziehbar.

Mannigfaltigkeiten werden lokal durch euklidische Räume modelliert: Eine Mannigfaltigkeit ist lokal homöomorph zu ℝⁿ; eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist lokal diffeomorph zu ℝⁿ. Der euklidische Raum selbst ist daher eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für alle Dimensionen außer der Dimension vier ist eine zu ℝⁿ homöomorphe differenzierbare Mannigfaltigkeit auch zu ℝⁿ diffeomorph. Die Ausnahmen in Dimension vier heißen exotische 4-Räume.

Das punktunabhängige Skalarprodukt macht den euklidischen Raum zu einer riemannschen Mannigfaltigkeit. In der riemannschen Geometrie wird jede riemannsche Mannigfaltigkeit, die isometrisch zum ℝⁿ mit Standardskalarprodukt ist, euklidischer Raum genannt. Bei diesen Räumen verschwindet der Krümmungstensor; sie sind flach. Umgekehrt ist jede flache riemannsche Mannigfaltigkeit lokal isometrisch zum euklidischen Raum. Sie kann jedoch auch nur eine offene Teilmenge von ℝⁿ oder eine Mannigfaltigkeit sein, deren universelle Überlagerung eine Teilmenge von ℝⁿ ist. Beispiele sind ein flacher Torus und ein gerader Kreiszylinder. Jede vollständige und einfach zusammenhängende flache riemannsche Mannigfaltigkeit ist dagegen ein euklidischer Raum.