Ursprungsebene

Grundidee und Definition

Eine Ursprungsebene ist eine Ebene im dreidimensionalen Raum, die den Koordinatenursprung enthält. Der Koordinatenursprung ist der Punkt (0,0,0) in einem kartesischen Koordinatensystem. Ursprungsebenen sind wichtig, weil sie einfache Gleichungen haben und viele Rechnungen zu Schnitt, Abstand und Spiegelung besonders übersichtlich werden.

In der analytischen Geometrie wird eine Ebene als Menge von Punkten beschrieben. Jeder Punkt hat Koordinaten (x,y,z). Eine Ursprungsebene verläuft durch (0,0,0) und kann in allgemeiner Koordinatenform durch die Gleichung ax+by+cz=0 beschrieben werden. Dabei sind a, b und c reelle Parameter, die nicht alle gleich null sein dürfen. Die rechte Seite ist 0, weil der Ursprung auf der Ebene liegt: Setzt man x=0, y=0 und z=0 ein, ist die Gleichung erfüllt.

Darstellungen mit Vektoren

Eine Ursprungsebene kann auch mit Vektoren beschrieben werden. Ein Punkt der Ebene wird dabei durch seinen Ortsvektor x in R^3 dargestellt. In Parameterform lautet die Gleichung x=s u+t v mit s,t in R. Die Vektoren u und v müssen linear unabhängig sein, das heißt: Keiner der beiden darf nur ein Vielfaches des anderen sein. Sie spannen die Ebene auf. Alle Punkte der Ursprungsebene entstehen als Linearkombination dieser beiden Vektoren.

Eine andere Darstellung ist die Normalenform n·x=0. Dabei ist n ein Normalenvektor der Ebene, also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Das Zeichen · bezeichnet das Skalarprodukt. Die Gleichung bedeutet: Die Ortsvektoren aller Punkte der Ebene stehen senkrecht auf n. Ist die Ebene in Parameterform mit den aufspannenden Vektoren u und v gegeben, kann man einen Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt n=u×v berechnen.

Koordinatenebenen als Beispiele

Die wichtigsten Beispiele für Ursprungsebenen sind die drei Koordinatenebenen. Sie entstehen, wenn jeweils eine der drei Koordinaten immer 0 ist.

Die Ebene E_12 hat die Gleichung z=0. In Vektorform kann sie als x=s e_1+t e_2 geschrieben werden, und in Normalenform als e_3·x=0.

Die Ebene E_13 hat die Gleichung y=0. In Vektorform lautet sie x=s e_1+t e_3, und in Normalenform e_2·x=0.

Die Ebene E_23 hat die Gleichung x=0. In Vektorform lautet sie x=s e_2+t e_3, und in Normalenform e_1·x=0.

Dabei sind e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) und e_3=(0,0,1) die drei Einheitsvektoren. Ein Einheitsvektor hat die Länge 1 und zeigt in Richtung einer Koordinatenachse.

Schnitt, Abstand und Spiegelung

Der Schnitt zweier verschiedener Ursprungsebenen ist immer eine Ursprungsgerade, also eine Gerade durch den Ursprung. Sie kann durch x=a u mit a in R beschrieben werden. Dabei ist u ein Richtungsvektor der Geraden. Haben die beiden Ebenen die Normalenvektoren n_1 und n_2, dann ist ein Richtungsvektor der Schnittgeraden durch u=n_1×n_2 gegeben. Der Schnitt dreier Ursprungsebenen ist genau dann nur der Koordinatenursprung, wenn ihre Normalenvektoren linear unabhängig sind. Drei Vektoren im Raum sind genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht in derselben Ursprungsebene liegen.

Der Abstand eines Punkts mit Ortsvektor v von einer Ursprungsebene U mit Normalenvektor n ist d(v,U)=|v·n|/||n||. Dabei ist ||n|| die Länge, also die euklidische Norm, von n. Dieser Abstand ist die Länge der Lotstrecke zwischen Punkt und Ebene. Der Lotfußpunkt p ist die Orthogonalprojektion von v auf die Ursprungsebene und wird berechnet durch p=v-((v·n)/(n·n)) n.

Die Spiegelung eines Punkts an einer Ursprungsebene erhält man, indem man den Lotvektor vom Punkt zur Ebene verdoppelt. Ist v der ursprüngliche Ortsvektor und n ein Normalenvektor der Ebene, dann ist der gespiegelte Vektor w durch w=v+2(p-v)=v-2((v·n)/(n·n)) n gegeben.

Vektorraumstruktur

Die Vektoren des dreidimensionalen Raums bilden einen Vektorraum, den euklidischen Raum. Die Vektoren, die in einer Ursprungsebene liegen, bilden einen Untervektorraum dieses Raums. Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder die Regeln eines Vektorraums erfüllt.

Für eine Ursprungsebene gilt U={x in R^3 | x=s u+t v für s,t in R}={x in R^3 | n·x=0}. Diese Menge ist die lineare Hülle der beiden aufspannenden Vektoren u und v. Sie ist zugleich der Orthogonalraum der linearen Hülle eines Normalenvektors n. Ursprungsebenen sind genau die zweidimensionalen Untervektorräume des euklidischen Raums.

Zu jeder Ebene E, die den Ursprung nicht enthält, gibt es genau eine parallele Ursprungsebene U. Jede solche Ebene kann als affiner Unterraum geschrieben werden: E=z+U={z+x | x in U}. Dabei ist z der Ortsvektor eines Punkts der Ebene E.

Höhere Dimensionen

Ursprungsebenen können auch in höherdimensionalen Räumen betrachtet werden. Allgemein ist eine Ursprungsebene ein zweidimensionaler Untervektorraum des R^n. In Parameterform sieht sie wie im dreidimensionalen Fall aus: x=s u+t v mit s,t in R. Dabei sind u und v Vektoren aus R^n und müssen linear unabhängig sein.

Die Gleichung n·x=0 mit n in R^n hat in höheren Dimensionen jedoch eine andere Bedeutung. Für n>3 beschreibt sie keine Ebene mehr, sondern eine Hyperebene der Dimension n-1, die den Ursprung enthält.