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Allgemeine Koordinatenform
Bei der allgemeinen Form wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum in Form einer linearen Gleichung beschrieben. Die …
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Grundidee der Koordinatenform
Die allgemeine Koordinatenform, auch allgemeine Form oder Koordinatenform, beschreibt Geraden in der euklidischen Ebene und Ebenen im euklidischen Raum durch lineare Gleichungen. Die Unbekannten sind die Koordinaten der Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Darstellung ist implizit: Ein Punkt gehört genau dann zur Geraden oder Ebene, wenn seine Koordinaten die Gleichung erfüllen.
Geraden in der Ebene
Eine Gerade hat die Form
ax+by=c.
Dabei sind a, b und c reelle Zahlen; mindestens a oder b muss ungleich null sein. Alle Punkte (x,y), die die Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden.
Der Vektor n=(a,b) heißt Normalenvektor: Er steht senkrecht auf der Geraden. Der Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung ist |c|/|n|. Ist n ein normierter Vektor, also ein Einheitsvektor, beträgt der Abstand |c|.
Für 1x+2y=6 liegen zum Beispiel die Punkte (0,3) und (4,1) auf der Geraden. Punkte, welche die Gleichung nicht erfüllen, liegen nicht auf ihr.
Sonderfälle und Umformungen bei Geraden
Ist a=0, ist die Gerade parallel zur x-Achse; ist b=0, parallel zur y-Achse. Bei c=0 verläuft sie durch den Ursprung. Für c=1 liegt die Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind (1/a,0) und (0,1/b).
Aus der Normalenform x⃗·n⃗=p⃗·n⃗ mit p⃗=(p₁,p₂)ᵀ und n⃗=(n₁,n₂)ᵀ folgt durch Ausmultiplizieren
n₁x+n₂y=p₁n₁+p₂n₂.
Also gilt a=n₁, b=n₂ und c=p₁n₁+p₂n₂. Aus der hesseschen Normalform kann c übernommen werden.
Bei der Parameterform mit Richtungsvektor u⃗=(u₁,u₂)ᵀ ist ein Normalenvektor n⃗=(-u₂,u₁). Mit Stützvektor p⃗=(p₁,p₂)ᵀ erhält man a=-u₂, b=u₁ und c=-p₁u₂+p₂u₁. Gleichwertig kann man den Parameter s aus x=p₁+su₁ und y=p₂+su₂ eliminieren. Für u₂≠0 ergibt sich -u₂x+u₁y=-p₁u₂+p₂u₁.
Für eine Gerade durch (x₁,y₁) und (x₂,y₂) gilt a=y₁-y₂, b=x₂-x₁ und c=x₂y₁-x₁y₂.
Ebenen im dreidimensionalen Raum
Eine Ebene hat die Form
ax+by+cz=d.
Die reellen Zahlen a, b, c und d beschreiben alle Ebenenpunkte (x,y,z); mindestens einer von a, b, c muss ungleich null sein. n⃗=(a,b,c) ist der Normalenvektor der Ebene. Ihr Abstand vom Koordinatenursprung lautet |d|/|n|, bei normiertem Normalenvektor |d|.
Die Ebene 2x+3y-z=1 enthält beispielsweise (1,0,1) und (0,1,2). Ist a=0, b=0 beziehungsweise c=0, so ist die Ebene parallel zur x-, y- beziehungsweise z-Achse. Bei d=0 geht sie durch den Ursprung. Bei d=1 sind die Achsenschnittpunkte (1/a,0,0), (0,1/b,0) und (0,0,1/c).
Berechnung von Ebenen und Verallgemeinerung
Aus der Normalenform x⃗·n⃗=p⃗·n⃗ mit p⃗=(p₁,p₂,p₃)ᵀ und n⃗=(n₁,n₂,n₃)ᵀ folgt
n₁x+n₂y+n₃z=p₁n₁+p₂n₂+p₃n₃.
Damit sind a=n₁, b=n₂, c=n₃ und d=p₁n₁+p₂n₂+p₃n₃. Aus der hesseschen Normalform kann d übernommen werden. Liegt eine Ebene als Parameterform x⃗=p⃗+su⃗+tv⃗ vor, bestimmt man zunächst einen Normalenvektor durch das Kreuzprodukt n⃗=u⃗×v⃗ und formt anschließend die Normalenform aus. Entsprechend kann bei einer Dreipunkteform ein Normalenvektor ermittelt werden. Alternativ lassen sich die Parameter s und t aus den drei Koordinatengleichungen eliminieren.
Allgemein beschreibt die lineare Gleichung a₁x₁+…+aₙxₙ=b eine Hyperebene im n-dimensionalen euklidischen Raum. Sie besteht aus allen Punkten (x₁,…,xₙ), welche die Gleichung erfüllen; mindestens einer der Parameter a₁,…,aₙ muss ungleich null sein.