Ebene (Mathematik)

Grundidee und Arten von Ebenen

Eine Ebene ist ein Grundbegriff der Geometrie: ein unbegrenzt ausgedehntes, flaches zweidimensionales Objekt. „Unbegrenzt ausgedehnt und flach“ bedeutet, dass zu je zwei Punkten die durch sie verlaufende Gerade vollständig in der Ebene liegt. Zweidimensional heißt, dass – abgesehen von enthaltenen Geraden – kein echter Teilraum dieselbe Eigenschaft besitzt.

Je nach mathematischem Teilgebiet kann „Ebene“ verschiedene Objekte meinen: die euklidische Ebene als Raum für klassische Geometrie, affine oder projektive Ebenen sowie zweidimensionale Teilräume höherdimensionaler Räume.

Euklidische, projektive und verallgemeinerte Ebenen

Die euklidische Ebene bildet in der klassischen Geometrie, etwa bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, den Rahmen der Untersuchungen. Sie ist die Abstraktion einer unendlich ausgedehnten, unendlich flachen Zeichenebene. Die euklidische Geometrie wird heute durch Hilberts Axiomensystem beschrieben. Seit Descartes Koordinaten verwendete, kann die Ebene mit \mathbb{R}^{2}, der Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen, identifiziert werden; \mathbb{R}^{2} ist damit ein Modell für die Hilbertschen Axiome.

Ergänzt man die affine euklidische Ebene um eine unendlich ferne Gerade und deren unendlich ferne Punkte, entsteht eine projektive Ebene. Algebraisch ist sie die Menge aller eindimensionalen Unterräume von \mathbb{R}^{3}: Geraden durch den Ursprung gelten als Punkte der projektiven Ebene. Ihre Geraden sind die zweidimensionalen Untervektorräume von \mathbb{R}^{3}, also gewöhnliche Ebenen durch den Ursprung.

Bei abgeschwächten Hilbert-Axiomen sind auch endliche affine und projektive Ebenen möglich. Eine endliche projektive Ebene hat hier sieben Punkte und sieben Geraden. Entfernt man eine Gerade und die auf ihr liegenden Punkte, erhält man eine endliche affine Ebene mit vier Punkten und sechs Geraden.

Für jeden Körper K heißt K^{2} affine Ebene; eine entsprechende Verallgemeinerung gibt es für projektive Ebenen. Für K=\mathbb{F}_{2} entstehen die genannte affine Ebene mit vier Punkten und projektive Ebene mit sieben Punkten. Bei K=\mathbb{C} ist \mathbb{C} reell zweidimensional, wird aber komplexe Gerade genannt; \mathbb{C}^{2} ist reell vierdimensional und komplex zweidimensional. Eine Fläche im topologischen Sinn ist die Ebene, auch die projektive, nur für K=\mathbb{R}; für K=\mathbb{C} handelt es sich um eine komplexe Fläche.

Ebenen als Teilräume im Raum

In höherdimensionalen geometrischen Räumen heißt jeder Teilraum, der zu einer Ebene isomorph ist, Ebene. Im dreidimensionalen euklidischen Raum wird eine Ebene eindeutig festgelegt durch drei nicht kollineare Punkte, durch eine Gerade und einen nicht auf ihr liegenden Punkt, durch zwei sich schneidende Geraden oder durch zwei echt parallele Geraden.

Windschiefe Geraden liegen nicht in einer gemeinsamen Ebene. Stattdessen gibt es zwei parallele Ebenen, die jeweils eine der Geraden enthalten. Zwei Ebenen sind entweder parallel, schneiden sich in einer Geraden oder sind identisch; sie können nicht windschief sein. Bei parallelen Ebenen ist jede Gerade, die zur ersten Ebene senkrecht ist, auch zur zweiten senkrecht. Die Länge der Strecke zwischen den Ebenen auf einer solchen Geraden heißt Abstand der Ebenen. Schneiden sich zwei Ebenen, betrachtet man eine Ebene senkrecht zu ihrer Schnittgeraden: Der Winkel der dadurch entstehenden Schnittgeraden ist der Winkel zwischen den Ebenen.

Jeder zweidimensionale Untervektorraum von \mathbb{R}^{n} beziehungsweise K^{n} ist eine Ursprungsebene und enthält den Nullpunkt. Affine zweidimensionale Unterräume sind parallel verschobene Ebenen ohne Nullpunkt. Nicht jede mathematische Ebene ist Teilraum eines höherdimensionalen Raums: In der Moulton-Ebene gilt der Satz von Desargues nicht, während er in jedem dreidimensionalen affinen Raum und damit in jeder darin enthaltenen Ebene gilt.

Ebenengleichungen und Schnittpunkte

Eine Ebenengleichung beschreibt im kartesischen Koordinatensystem genau die Punkte, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen. Explizite Formen identifizieren jeden Punkt direkt; dazu gehören Parameterform und Dreipunkteform. Implizite Formen beschreiben Punkte durch eine Bedingung; dazu zählen Normalenform, Hessesche Normalform, allgemeine Koordinatenform und Achsenabschnittsform. In höheren Dimensionen bleiben Parameter- und Dreipunkteform mit n-komponentigen Vektoren erhalten. Die impliziten Formen beschreiben dort jedoch Hyperebenen der Dimension n-1. Eine Ebene ist der Schnitt von n-2 Hyperebenen mit linear unabhängigen Normalenvektoren und erfüllt entsprechend viele Koordinatengleichungen.

Für die Gerade \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix} und die Ebene ax+by+cz=d setzt man x,y,z aus der Geradengleichung ein. Dadurch entsteht a(p_{1}+tu_{1})+b(p_{2}+tu_{2})+c(p_{3}+tu_{3})=d. Hat diese lineare Gleichung die Lösung t_{0}, ist t_{0} der Parameter des Schnittpunkts; Einsetzen in die Gerade liefert seine Koordinaten. Keine Lösung bedeutet: Die Gerade ist parallel zur Ebene, liegt aber nicht in ihr. Gilt die Gleichung für alle t\in\mathbb{R}, liegt die Gerade in der Ebene.

Der gemeinsame Punkt von drei Ebenen \varepsilon_i:\ \vec n_i\cdot\vec x=d_i, i=1,2,3, mit linear unabhängigen Normalenvektoren ist \vec p_0=\frac{d_1(\vec n_2\times\vec n_3)+d_2(\vec n_3\times\vec n_1)+d_3(\vec n_1\times\vec n_2)}{\vec n_1\cdot(\vec n_2\times\vec n_3)}. Dabei ist \times das Kreuzprodukt und \cdot das Skalarprodukt.

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Für den Punkt \vec p_0=(x_0,y_0,z_0) und die Ebene ax+by+cz+d=0 beträgt der Abstand \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Sind drei Punkte \vec p_1=(x_1,y_1,z_1), \vec p_2=(x_2,y_2,z_2), \vec p_3=(x_3,y_3,z_3) der Ebene gegeben, lautet die angegebene Formel \frac{(\vec p_2-\vec p_1)\times(\vec p_3-\vec p_1)}{|(\vec p_2-\vec p_1)\times(\vec p_3-\vec p_1)|}\cdot(\vec p_0-\vec p_1). Hier steht |\ | für den Betrag eines Vektors. Alternativ können die Koeffizienten a,b,c,d der Koordinatenform aus den drei Punktkoordinaten berechnet und in die erste Abstandsformel eingesetzt werden.