Vektor

Grundbegriff und geometrische Bedeutung

In der analytischen Geometrie ist ein Vektor ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Ein geometrischer Vektor wird meist durch einen Pfeil dargestellt. Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, stellen denselben Vektor dar.

Ein Pfeil ist eine gerichtete Strecke, bei der die Reihenfolge der Endpunkte festgelegt ist. Zwei Pfeile sind äquivalent, wenn sie parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind. Die Äquivalenzklassen dieser Pfeile heißen Vektoren. Alternativ kann man einen Vektor unmittelbar mit der von ihm dargestellten Parallelverschiebung identifizieren.

Der Vektor vom Startpunkt A zum Endpunkt B wird als →AB geschrieben. A heißt Ausgangs- oder Startpunkt, B Spitze oder Endpunkt. Der Abstand zwischen A und B ist die Länge beziehungsweise der Betrag |→AB|. Der umgekehrte Vektor →BA ist der Gegenvektor und wird auch als −→AB geschrieben. Der Vektor →AA bildet einen Punkt auf sich selbst ab und heißt Nullvektor 0⃗; als einziger Vektor kann er nicht durch einen Pfeil dargestellt werden.

Ein Vektor besitzt im Allgemeinen einen Betrag, eine Richtung und eine Orientierung. Die Richtung beschreibt die Achsenlage, die Orientierung den Richtungssinn entlang dieser Achse. Der Nullvektor hat keine Richtung und keine Orientierung. In der Schreibweise wird ein Vektor häufig mit einem Pfeil, etwa a⃗ oder v⃗, bezeichnet; im englischsprachigen Raum auch fett. Der entsprechende Buchstabe ohne Vektorkennzeichnung steht meist für den Betrag: v = |v⃗|.

Ortsvektoren, Koordinaten und Komponenten

Ein Ortsvektor geht immer vom Koordinatenursprung O zu einem Punkt P: p⃗ = →OP. Richtungsvektoren können dagegen jeden Punkt als Startpunkt besitzen. Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie gleichen Betrag und gleiche Richtung haben. Diese Unterscheidung ist besonders in der analytischen Geometrie wichtig. Eine Gerade wird zum Beispiel durch x⃗ = p⃗ + r·v⃗ beschrieben. Dabei ist p⃗ der Ortsvektor eines Stützpunktes, v⃗ ein Richtungsvektor und r ∈ ℝ ein Parameter. Für jeden konkreten Wert von r erhält man den Ortsvektor eines Punktes der Geraden.

In einem kartesischen Koordinatensystem wird ein Vektor der Ebene durch ein geordnetes Zahlenpaar, im Raum durch ein Zahlentripel beschrieben. Die Zahlen stehen meist untereinander als Spaltenvektor. v⃗ = (7, 3)ᵀ beschreibt eine Verschiebung um 7 Einheiten in x-Richtung und 3 Einheiten in y-Richtung. Der Vektor (2, −5)ᵀ beschreibt eine Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Im Raum beschreibt (3, −2, 4)ᵀ eine Verschiebung um 3 Einheiten in x-Richtung, 2 Einheiten in negativer y-Richtung und 4 Einheiten in z-Richtung.

Die Komponenten eines Verbindungsvektors erhält man, indem man die Koordinaten des Anfangspunkts von denen des Endpunkts subtrahiert. Für A(−6|−1) und A′(1|2) gilt:

→AA′ = (1 − (−6), 2 − (−1))ᵀ = (7, 3)ᵀ.

Die Darstellung durch Koordinaten ist nicht eindeutig: Bei einem Basiswechsel kann derselbe Vektor durch ein anderes Tupel beschrieben werden. In einer Orthonormalbasis mit Einheitsvektoren ê₁, ê₂ und ê₃ sind die Koordinaten ai = a⃗ · êi. Jeder Vektor lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren schreiben: a⃗ = Σᵢ₌₁³(a⃗ · êᵢ)êᵢ.

Rechenoperationen und wichtige Produkte

Die Addition geometrischer Vektoren entspricht der Hintereinanderausführung von Verschiebungen. Gilt →PQ = a⃗ und →QR = b⃗, dann gilt →PQ + →QR = →PR. Grafisch kann man die Pfeile aneinanderreihen oder mit gemeinsamem Anfangspunkt zu einem Parallelogramm ergänzen. Die Diagonale stellt die Summe dar. In Koordinaten wird komponentenweise addiert:

a⃗ + b⃗ = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)ᵀ.

Für die Addition gelten das Assoziativ- und das Kommutativgesetz. Die Subtraktion ist die Addition des Gegenvektors: a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗). Komponentenweise gilt a⃗ − b⃗ = (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃)ᵀ. Im Allgemeinen addieren sich die Beträge nicht; stets gilt die Dreiecksungleichung |a⃗+b⃗| ≤ |a⃗|+|b⃗|. Eine Addition der Beträge tritt bei kollinearen Vektoren gleicher Orientierung auf.

Bei der Skalarmultiplikation wird ein Vektor mit einer reellen Zahl r multipliziert: r·a⃗ = (ra₁, ra₂, ra₃)ᵀ. Die Länge des Ergebnisses ist |r|·|a⃗|. Für r > 0 bleibt die Richtung erhalten, für r < 0 wird der Richtungssinn umgekehrt. Es gelten die gemischten Distributivgesetze r(a⃗+b⃗)=ra⃗+rb⃗ und (r+s)a⃗=ra⃗+sa⃗ sowie r(s·a⃗)=(r·s)a⃗.

Das Skalarprodukt ist ein Skalar und wird definiert durch a⃗·b⃗ = |a⃗| |b⃗| cos φ. φ ist der eingeschlossene Winkel. Im kartesischen Koordinatensystem gilt a⃗·b⃗ = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃. Bei φ = 90° ist das Skalarprodukt 0. Es ist kommutativ und distributiv. Geometrisch entspricht es der Multiplikation eines Betrags mit der vorzeichenbehafteten Länge der senkrechten Projektion des anderen Vektors. In der Physik wird es unter anderem zur Berechnung der Arbeit verwendet.

Das Kreuzprodukt a⃗×b⃗ ist im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ein Vektor, der senkrecht auf der von a⃗ und b⃗ aufgespannten Ebene steht. Seine Länge ist die Parallelogrammfläche: |a⃗×b⃗| = |a⃗|·|b⃗|·|sin θ|. In Koordinaten gilt a⃗×b⃗ = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁)ᵀ. Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: a⃗×b⃗ = −(b⃗×a⃗). Bei kollinearen Vektoren ist es der Nullvektor.

Das Spatprodukt ist (a⃗,b⃗,c⃗) = (a⃗×b⃗)·c⃗. Es ist ein Skalar; sein Betrag ist das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spats. Für ein Rechtssystem ist es positiv, für ein Linkssystem negativ. Bei linear abhängigen Vektoren ist es 0.

Norm, Abhängigkeit und weitere lineare Eigenschaften

Die Länge eines Vektors folgt aus dem Skalarprodukt mit sich selbst: |a⃗| = √(a⃗·a⃗). In der Ebene und im Raum gilt im kartesischen Koordinatensystem:

|a⃗| = √(a₁²+a₂²) beziehungsweise |a⃗| = √(a₁²+a₂²+a₃²).

Dies ist die euklidische Norm. Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren; ein Vektor der Länge 0 ist der Nullvektor. Ein Vektor a⃗ ≠ 0⃗ wird durch â = a⃗/|a⃗| normiert. Der Einheitsvektor â besitzt dieselbe Richtung wie a⃗ und die Länge 1.

Vektoren a⃗₁, a⃗₂, …, a⃗ₘ heißen linear abhängig, wenn die Gleichung r₁a⃗₁+r₂a⃗₂+…+rₘa⃗ₘ=0⃗ mit rᵢ∈ℝ eine Lösung besitzt, bei der nicht alle Koeffizienten rᵢ gleich 0 sind. Andernfalls sind sie linear unabhängig. Bei linearer Abhängigkeit lässt sich mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen. Für einen n-dimensionalen Raum benötigt man genau n linear unabhängige Basisvektoren; jeder Vektor ist dann eindeutig als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellbar. Mehr als n Vektoren in einem n-dimensionalen Raum sind stets linear abhängig.

Zwei Vektoren sind kollinear, wenn sie gleiche oder entgegengesetzte Richtung haben. Dies ist äquivalent zu linearer Abhängigkeit beziehungsweise a⃗ = r·b⃗ für ein r. Bei r > 0 sind sie parallel, bei r < 0 antiparallel. Im Raum gilt außerdem a⃗×b⃗ = 0⃗. Drei Vektoren sind komplanar, wenn sie in derselben Ebene liegen. Das ist genau dann der Fall, wenn sie linear abhängig sind oder ihr Spatprodukt 0 ist.

Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn a⃗·b⃗ = 0 gilt. Bei geometrischen Vektoren positiver Länge bedeutet dies einen rechten Winkel; der Nullvektor ist zu jedem Vektor orthogonal.

Vektoren als Elemente von Rⁿ und Matrizen

In der linearen Algebra ist ein Vektor allgemein ein Element eines Vektorraums. Das kann neben einem geometrischen Pfeil auch eine Zahl, eine Folge, eine Funktion oder eine Transformation sein. Ein Vektorraum ist eine Menge, in der Vektoren addiert und mit Skalaren multipliziert werden können und die dabei geltenden Rechenregeln erfüllen.

Die Menge ℝⁿ der n-Tupel reeller Zahlen ist das Standardbeispiel eines n-dimensionalen Vektorraums. Addition und skalare Multiplikation werden komponentenweise definiert:

x⃗+y⃗ = (x₁+y₁, …, xₙ+yₙ)ᵀ, r·x⃗ = (rx₁, …, rxₙ)ᵀ.

Mit dem Standardskalarprodukt x⃗·y⃗ = x₁y₁+…+xₙyₙ wird ℝⁿ zu einem euklidischen Vektorraum. Die Norm lautet |x⃗| = √(x⃗·x⃗) = √(x₁²+…+xₙ²). Neben der euklidischen Norm gibt es auch andere Normen, etwa p-Normen.

Ein Spaltenvektor ist eine n×1-Matrix. Sein transponierter Zeilenvektor ist x⃗ᵀ = (x₁ … xₙ). Dadurch kann das Standardskalarprodukt als Matrixprodukt geschrieben werden: x⃗·y⃗ = x⃗ᵀy⃗. Für A∈ℝᵐˣⁿ und x⃗∈ℝⁿ liefert die Matrix-Vektor-Multiplikation A x⃗ einen Vektor in ℝᵐ. Sie beschreibt eine lineare Abbildung von ℝⁿ nach ℝᵐ; jede lineare Abbildung lässt sich als Multiplikation mit einer Matrix darstellen.

Das dyadische Produkt a⃗⊗b⃗ ist im Koordinatenraum das Matrixprodukt a⃗b⃗ᵀ und ergibt eine n×n-Matrix. Es wirkt auf einen Vektor c⃗ nach (a⃗⊗b⃗)·c⃗ = (b⃗·c⃗)a⃗. Es ist im Allgemeinen nicht kommutativ, aber distributiv und mit der Skalarmultiplikation verträglich. Dyaden sind Spezialfälle von Tensoren.

Vektoren in der Physik und in erweiterten Räumen

In der klassischen Physik werden Größen mit Betrag und Richtung als Vektoren des euklidischen Raums aufgefasst. Beispiele sind Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Kraft sowie elektrische und magnetische Feldstärke. Skalare Größen besitzen dagegen nur einen Betrag, etwa Volumen, Masse, Ladung oder Temperatur. Pfeile veranschaulichen bei vektoriellen Größen Richtung und Betrag.

Nur Größen derselben Größenart dürfen addiert werden. Vektorsummen sind beispielsweise in der Statik wichtig; ein Kräftegleichgewicht wird durch ΣF⃗ᵢ = 0⃗ beschrieben. Das Skalarprodukt wird verwendet, wenn die Projektion eines Vektors in die Richtung eines anderen entscheidend ist, etwa bei der Arbeit. Das Kreuzprodukt tritt unter anderem bei der Lorentzkraft und beim Drehmoment auf.

Ein physikalischer Vektor kann als Paar (e⃗ᵥ, |v⃗|) aus Einheitsvektor der Richtung und Betrag aufgefasst werden. Für v⃗ = (3, −4, 0)ᵀ m/s gilt |v⃗| = 5 m/s und e⃗ᵥ = (3/5, −4/5, 0)ᵀ. Beim waagrechten Wurf lautet der Betrag der Bahngeschwindigkeit v(t) = |v⃗(t)| = √(vₓ²+vᵧ²(t)). Ist ein Vektor eine Funktion des Ortes, spricht man von einem Vektorfeld. Feldlinien geben seine Richtung durch ihre Tangente und seinen Betrag durch ihre Dichte an.

In der Relativitätstheorie ersetzt die vierdimensionale nichteuklidische Raumzeit den dreidimensionalen euklidischen Raum. Vierergeschwindigkeit und Viererimpuls werden als vierdimensionale Vektoren dargestellt. Unter räumlicher Punktspiegelung ändern polare Vektoren wie Ort, Geschwindigkeit, Impuls und elektrisches Feld ihr Vorzeichen; axiale Vektoren wie Drehimpuls und magnetisches Feld bleiben unverändert.

Im euklidischen Raum ist die Drehgruppe, im Minkowski-Raum die Lorentz-Gruppe für das Transformationsverhalten maßgeblich. Vektoren sind dort kontravariante Tensoren erster Stufe. Nicht jede dreidimensionale Größe ist Teil eines Vierervektors: Drehimpuls sowie elektrische und magnetische Feldstärke transformieren wie die sechs Komponenten antisymmetrischer Tensoren. Systeme mit n Teilchen werden durch Vektoren in 3n-dimensionalen Räumen beschrieben, in der hamiltonschen Mechanik im 6n-dimensionalen Phasenraum. Zustände quantenmechanischer Systeme werden als Vektoren in Funktionenräumen dargestellt.