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Normalenform & Koordinatenform von Ebenen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 39 Zeilen
- Was ist eigentlich normal? Sind die hier normal? Oder vielleicht die, die mit sowas rumheizen? Das Schöne ist, in der Mathematik ist mal wieder eindeutig, was
- normal bedeutet. Das blöde ist, hat natürlich mal wieder so gar nichts mit dem zu tun, was wir als normal bezeichnen. Was die normale Form von
- Ebenen ist und noch ein bisschen mehr, das zeigen wir euch heute. [Musik] Klar, in der Mittelstufe habt ihr es bis
- zum Erbrechen durchgebaugt. Tangenten und Normalen. Das grüne ist die Tangente. Senkrecht dazu in rot die normale. Aber damit ihr wisst, warum ihr
- Matte so liebt. Normalen gibt's auch in 3D. Diesmal sind sie auch wieder senkrecht wo drauf, aber nicht auf einer geraden, nein, auf einer Ebene. Bisher
- kennt der Ebenen ja nur auf einer Art, in der Parameterform. Jeder Punkt auf der Ebene kann nämlich mit dem Stützvektor und zwei Richtungsvektoren
- erreicht werden. Die Richtungsvektoren müssen natürlich selber in der Ebene liegen. Sie spannen sozusagen die Ebene auf. Wir haben aber gerade gesagt, das
- geht auch noch mit einem normalen Vektor, der steht senkrecht auf der Ebene. Der Vorteil davon ist, ihr braucht jetzt nur noch einen Vektor und
- die Form lässt sich auch noch super in eine andere Umform, die viel bringt. Aber eins nach dem anderen, immer langsam mit der alte Leute, gehen wir
- mal davon aus, ihr habt eine Ebene in Parameterdarstellung. Zuerst müssen wir mal rauskriegen, was der normalen Vektor überhaupt ist. Den
- haben wir ja noch gar nicht. Wir suchen hier also den orangenen Vektor. Jetzt könnt ihr euch das so vorstellen. Ihr legt zwei Stifte, den roten und den
- gelben auf den Tisch. Das sind die Richtungsvektoren und der Tisch selbst ist die Ebene. Und gesucht ist der grüne Stift. Der steht nämlich senkrecht auf
- dem Tisch und stellt den normalen Vektor da. Und weil er senkrecht auf dem Tisch steht, steht er auch senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren, also senkrecht
- zum roten und zum gelben Stift. Und klingelt da? Wie kriegt man einen Vektor raus, der auf zwei anderen senkrecht sein soll? Klar. Kreuzprodukt oder
- Vektorprodukt, kein Plan, wie ihr dazu sagt. Das hier halt das mit dem X in der Mitte. Wenn wir unseren normalen Vektor mal einfach ändern, kriegen wir den also
- so raus. N ist gleich das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren U und V. Falls ihr nicht mehr wisst, wie das geht, schaut euch gerade das Video dazu an.
- Einfach auf dem Kanal hier nach Kreuzprodukt suchen. Jetzt überlegt man sich folgendes. Der Punkt X soll mal in der Ebene liegen. Das ist das rote
- Kreuz. Also liegt auch der Vektor vom Stützpunkt P zum Punkt X in der Ebene, also der kleine weiße hier. Und weil der normalen Vektor senkrecht auf allen
- Vektoren in der Ebene ist, ist er also auch senkrecht auf dem Verbindungsvektor. Der weiße Verbindungsvektor ist einfach
- Vektor X - Vektor P. X ist wie gesagt der rote Punkt und P ist der Punkt, wo unser Stützvektor hingeht. Und weil das Skalarprodukt von zwei senkrechten
- Vektoren 0 ist, gilt also n mal der Verbindungsvektor ist 0, wenn x in der Ebene liegt, weil der normalen Vektor n steht ja senkrecht zu allen Vektoren,
- die irgendwie in der Ebene liegen. Diese Form nennt man die normalen Form. Vektor N und Vektor P sind bekannt, X ist irgendein Punkt auf der Ebene. Sieht
- schön leicht aus, ist es aber zum Rechnen nicht so Bombe. Aber kein Stress, man kann es ganz schnell zu was leichtem umformen. Deshalb
- multiplizieren wir mal das Skalarprodukt aus. Jetzt ziehen wir den Teil hinter dem Minus noch auf die andere Seite. Jetzt steht da Vektor n Vektor x =
- Vektor n* Vektor p. Klasse. Was bringt uns es jetzt? Ganz einfach, die Vektoren n und p sind ja bekannt und Vektor X können wir einfach so schreiben als x1,
- X2 und X3, weil Punkt X soll ja ein beliebiger Punkt auf der Ebene sein. Weil es verdammt unübersichtlich aussehen würde, das jetzt allgemein zu
- machen, setzen wir einfach für n und p mal irgendwelche Vektoren ein, z.B. die hier. Wenn man die einsetzt, sieht die
- normalen Form so aus. Also, wir haben die Vektoren oben in die allgemeine Form links eingesetzt. Das multiplizieren wir wieder aus. Und das sind ja ganz normale
- Skalarprodukte. Das könnt ihr zumindest, wenn ihr hellwach nüchtern Topfit und motiviert seid. Na ja, wahrscheinlich nie alles gleichzeitig, aber wir glauben
- an euch. Gibt dann das x1 + 3x2 + 5x3 = 44. Hättet ihr auch hingekriegt, ganz sicher. Die Form mit den x1, 2 und 3 heißt Koordinatenform. Die ist echt
- praktisch. Werdet ihr noch merken. Die Zahlen sind natürlich komplett zufällig. Da kann aller möglicher Rotz vorne dran stehen. Was jetzt aber in der Form ganz
- leicht testen könnt, ob ein Punkt in der Ebene liegt. Dafür setzt ihr für x1, X2 und X3 einfach die Koordinaten des Punktes ein und dann muss 44 rauskommen.
- Wenn nicht, liegt der Punkt nicht in der Ebene. Im Detail machen wir das aber in der Übungsaufgabe morgen. Also, was war wichtig? Erstens, normalen Vektor
- aufstellen mit dem Kreuzprodukt. Zweitens, normalen Form aufstellen. Dazu einfach das Gegebene in die Form rechts einsetzen. Drittens, Koordinatenform
- aufstellen. Die kriegt ihr durchaus multiplizieren der normalen Form. Da kommt man dann sowas in der Art raus. So, für wen das jetzt noch viel zu
- theoretisch war, für den gibt's hier noch eine kleine Aufgabe. Eine Ebene hat die Punkte A321, B7 -23 und C2 -35. Liegt D -271 auch in der Ebene? Die
- Lösung zur Aufgabe gibt's hier rechts im Lösungsvideo. Da wird der Kram hier mal ganz langsam mit richtigen Zahlen durchgerechnet. Als Tipp fürs Lösen
- spult zurück zur Zusammenfassung und versucht euch an diesen Schritten zu orientieren. Schreibt doch mal in die Comments, was für euch das normalste auf
- der Welt ist. Ich bin mir irgendwie ziemlich sicher, dass es nicht die normalen Form ist. Also, wir sehen uns im Lösungsvideo. Bis gleich. Yeah.
Zum Nachlesen
NormalenformDie Normalenform, Normalform oder Normalengleichung ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung.
EbenengleichungEine Ebenengleichung ist in der analytischen Geometrie eine Gleichung, die eine Ebene im dreidimensionalen Raum beschreibt. Ebenen lassen sich auf …
Allgemeine KoordinatenformBei der allgemeinen Form wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum in Form einer linearen Gleichung beschrieben. Die …
ParameterformEine Ebene wird durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren dargestellt. Jeder Punkt der Ebene wird dann in Abhängigkeit von zwei Parametern beschrieben.