Mathematik

Grundidee und Bedeutung

Mathematik ist eine Formalwissenschaft. Sie entstand aus der Untersuchung geometrischer Figuren und dem Rechnen mit Zahlen. Eine allgemein anerkannte Definition gibt es nicht; heute beschreibt man sie meist als Wissenschaft, die selbstgeschaffene abstrakte Strukturen mit den Mitteln der Logik auf Eigenschaften und Muster untersucht.

Wichtig ist Mathematik, weil sie in allen ausreichend formalisierten Wissenschaften angewendet werden kann und zugleich eigene, streng bewiesene Erkenntnisse entwickelt. Anders als naturwissenschaftliche Aussagen hängen mathematische Sätze nicht von Experimenten oder Beobachtungen ab. Sie gelten erst dann als anerkannt, wenn ein streng logischer Beweis vorliegt. Deshalb wird Mathematik oft als exakte Wissenschaft bezeichnet.

Geschichtliche Entwicklung

Mathematik gehört zu den ältesten Wissenschaften. Frühe Hochphasen gab es vor der Antike in Mesopotamien, Indien und China, später in Griechenland und im Hellenismus. Aus der griechischen Mathematik stammt die Orientierung am rein logischen Beweis und eine frühe Axiomatisierung, besonders in der euklidischen Geometrie. Im Mittelalter wurde Mathematik sowohl an Universitäten des frühen Humanismus als auch in der arabischen Welt weitergeführt.

In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein. René Descartes verband Geometrie mit Koordinaten und machte sie dadurch rechnerisch zugänglich. Fragen nach Änderungsraten, Tangenten und Flächeninhalten führten zur Infinitesimalrechnung von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz lieferten später wichtige mathematische Probleme, zum Beispiel das Dreikörperproblem.

Ein weiteres zentrales Thema war das Lösen algebraischer Gleichungen. Niels Henrik Abel und Évariste Galois entwickelten dazu den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objekts beschreibt. Daraus gingen moderne Algebra und algebraische Geometrie hervor. Der Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahr 1654 gilt als Geburt der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ihre modernen Grundlagen wurden 1933 durch Andrei Kolmogorows Lehrbuch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschlossen.

Im 19. Jahrhundert erhielt die Infinitesimalrechnung durch Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß ihre heutige strenge Form. Georg Cantors Mengenlehre wurde grundlegend für die moderne Mathematik, machte aber durch Paradoxien des naiven Mengenbegriffs auch Probleme früherer Grundlagen sichtbar. Im 20. Jahrhundert prägten David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen, Abstraktion und Axiomatisierung die Entwicklung. Emmy Noether begründete wichtige Teile der modernen Algebra, Felix Hausdorff die allgemeine Topologie, Stefan Banach die Funktionalanalysis mit dem Banachraum. Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane schufen mit der Kategorientheorie einen noch abstrakteren Rahmen für ähnliche Konstruktionen in verschiedenen Bereichen.

Teilgebiete und Methoden

Mathematik umfasst viele Teilgebiete. Zu den klassischen Bereichen gehören Arithmetik, also das Rechnen mit Zahlen, Geometrie, also die Untersuchung von Figuren, Algebra, also das Lösen von Gleichungen, Logik, Zahlentheorie, analytische Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Analysis, mathematische Optimierung, Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Differentialgeometrie, Gruppentheorie, Mengenlehre, mathematische Logik, Topologie, universelle Algebra, Kategorientheorie, mathematische Statistik, diskrete Mathematik, Kombinatorik und Graphentheorie. Die numerische Mathematik steht etwas abseits, weil sie Algorithmen für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen dieser Bereiche bereitstellt und untersucht.

Man unterscheidet reine Mathematik, auch theoretische Mathematik genannt, und angewandte Mathematik. Reine Mathematik befasst sich nicht mit außermathematischen Anwendungen. Angewandte Mathematik umfasst zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Grenzen zwischen den Gebieten sind fließend.

Mathematik schreitet oft durch das Bearbeiten von Problemen voran, die mit den vorhandenen Mitteln zunächst zu schwer sind. Ein einfaches Beispiel ist die Frage: Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten? Daraus ergibt sich die Subtraktion als neues Konzept. Danach kann man auch fragen: Was ist 3 minus 5? Diese Frage führt zu negativen Zahlen. Ähnlich entstanden in der Geschichte neue Teilgebiete, wenn alte Probleme neue Methoden verlangten. Auch der Beweis, dass ein Problem unlösbar ist, kann fruchtbar sein: Aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen entstand die Gruppentheorie.

Axiome, Beweise und Sprache

Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, teilweise schon seit der Antike, wird Mathematik oft als axiomatische Theorie dargestellt. Eine solche Theorie beginnt mit Aussagen, die als wahr angenommen werden: den Axiomen. Aus ihnen werden nach festgelegten Schlussregeln weitere wahre Aussagen hergeleitet, die Sätze heißen. Die Herleitung eines Satzes nennt man Beweis. Definitionen führen mathematische Begriffe auf grundlegendere Begriffe zurück und machen sie präzise.

Von den Axiomen einer Theorie verlangt man normalerweise Widerspruchsfreiheit: Es soll nicht zugleich ein Satz und seine Negation wahr sein. Diese Widerspruchsfreiheit lässt sich aber im Allgemeinen nicht innerhalb der Theorie selbst beweisen. So ist etwa die Widerspruchsfreiheit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die für die moderne Mathematik grundlegend ist, nicht ohne zusätzliche Annahmen beweisbar.

Die Gegenstände der Mathematik sind abstrakte Strukturen, die durch Axiome definiert werden. Damit unterscheidet sich Mathematik von vielen anderen Wissenschaften: Dort sind die Gegenstände meist vorgegeben und man entwickelt Methoden zu ihrer Untersuchung; in der Mathematik ist die Methode vorgegeben, und die untersuchbaren Gegenstände werden dadurch erst geschaffen. Kurt Gödel zeigte um 1930 mit seinem Unvollständigkeitssatz, dass es in jedem Axiomensystem klassischer Logik, das bestimmte Aussagen über natürliche Zahlen erlaubt, entweder Aussagen gibt, die weder beweisbar noch widerlegbar sind, oder das System widersprüchlich ist.

Mathematik verwendet eine sehr kompakte Sprache aus Fachbegriffen und Formeln. Eine Besonderheit sind Adjektive, die von Mathematikernamen abgeleitet sind, zum Beispiel pythagoreisch, euklidisch, eulersch, abelsch, noethersch und artinsch.

Anwendungen und Verhältnis zu Wissenschaften

Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. Zwischen Mathematik und empirischen Wissenschaften besteht ein enges Wechselspiel. Astronomie, Geodäsie, Physik und Ökonomie lieferten über Jahrhunderte Anregungen für mathematische Entwicklungen; zugleich stellte Mathematik Grundlagen für diese Fächer bereit. Newton entwickelte die Infinitesimalrechnung, um das physikalische Konzept „Kraft gleich Impulsänderung“ mathematisch zu fassen. Solow entwickelte ein ökonomisches Wachstumsmodell, das Grundlage der neoklassischen Wachstumstheorie wurde. Fourier legte beim Studium der Wellengleichung Grundlagen für den modernen Funktionsbegriff. Gauß entwickelte im Zusammenhang mit Astronomie und Landvermessung die Methode der kleinsten Quadrate und systematisierte das Lösen linearer Gleichungssysteme. Aus der Untersuchung von Glücksspielen ging die Statistik hervor.

Umgekehrt fanden manche zuerst theoretisch wirkenden Ideen später praktische Anwendungen. Die Theorie der komplexen Zahlen aus dem 16. Jahrhundert ist für die mathematische Darstellung des Elektromagnetismus unerlässlich. Den tensoriellen Kalkül der Differentialformen nutzte Einstein für die allgemeine Relativitätstheorie. Die Zahlentheorie galt lange als ohne praktischen Nutzen, ist aber für moderne Kryptographie und Anwendungen im Internet wichtig.

Die Einordnung der Mathematik ist umstritten. Viele Begriffe und Fragen sind durch Naturwissenschaften und Technik motiviert, und Mathematik dient nahezu allen Naturwissenschaften als Hilfswissenschaft. Sie ist aber selbst keine Naturwissenschaft im engeren Sinn, weil ihre Aussagen nicht von Experimenten abhängen. Wegen ihrer Nähe zur Logik hat sie auch Gemeinsamkeiten mit der Philosophie. Manche ordnen sie daher als Strukturwissenschaft oder Formalwissenschaft ein. An deutschen Universitäten gehört sie meist zu denselben Fakultäten wie die Naturwissenschaften; nach der Promotion wird in der Regel der Grad Dr. rer. nat. verliehen.

Mathematik hat eine Sonderrolle, weil mathematische Aussagen durch Beweise begründet werden und nicht empirisch überprüft werden müssen. David Hilbert betonte 1900 die Forderung, die Richtigkeit einer Antwort durch eine endliche Anzahl von Schlüssen aus genau formulierten Voraussetzungen zu zeigen. Zugleich wird darauf hingewiesen, dass mathematische Modellierung Grenzen hat. Claus Peter Ortlieb kritisierte eine zu wenig reflektierte Anwendung moderner Mathematik und warnte vor Zahlen, die zu Normierungen führen, obwohl nicht mehr nachvollziehbar ist, wie sie zustande gekommen sind.

Mathematik in Schule, Beruf und Öffentlichkeit

Mathematik ist in der Schule ein wichtiges Pflichtfach. Die Mathematikdidaktik untersucht das Lehren und Lernen von Mathematik. In den Klassen 5–10 steht vor allem das Erlernen von Rechenfertigkeiten im Mittelpunkt. In deutschen Gymnasien werden ab Klasse 11 Differential- und Integralrechnung sowie Analytische Geometrie / Lineare Algebra eingeführt; Stochastik wird weitergeführt.

Ein bekannter Schulwettbewerb ist Känguru der Mathematik. Die Teilnehmerzahl stieg von 200 im Jahr 1995 auf 968.000 im Jahr 2019. Es handelt sich um einen Multiple-Choice-Wettbewerb mit Aufgaben zum Knobeln, Rechnen und Schätzen. Er soll vor allem Freude an Mathematik wecken und verlangt keine schriftliche Begründung.

Menschen, die beruflich Mathematik entwickeln oder anwenden, heißen Mathematiker. Im Mathematikstudium kann man Schwerpunkte in reiner oder angewandter Mathematik setzen. Außerdem gibt es interdisziplinäre Studiengänge wie Technomathematik, Wirtschaftsmathematik, Computermathematik und Biomathematik. Auch das Lehramt an weiterführenden Schulen und Hochschulen ist ein wichtiger Berufszweig. Im Rahmen des Bologna-Prozesses wurde an deutschen Universitäten das Diplom auf Bachelor- und Masterstudiengänge umgestellt. Auch Studierende anderer Fächer wie Informatik, Chemie, Biologie, Physik, Geologie und Ingenieurwissenschaften müssen eine bestimmte Zahl an Semesterwochenstunden Mathematik belegen.

Häufige Arbeitgeber für Mathematiker sind Versicherungen, Banken und Unternehmensberatungen, besonders bei mathematischen Finanzmodellen und im Consulting, außerdem der IT-Bereich. Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt. Mathematik wird auch öffentlich vermittelt, etwa im Wissenschaftsjahr 2008, das vom Bundesministerium für Bildung und Forschung als Jahr der Mathematik ausgerichtet wurde, sowie in Museen und Sammlungen wie dem 1728 gegründeten Mathematisch-Physikalischen Salon in Dresden, dem Arithmeum in Bonn, dem Heinz Nixdorf MuseumsForum in Paderborn und dem Mathematikum in Gießen.