Parameterform

Grundidee der Parameterform

Die Parameterform, auch Punktrichtungsform genannt, ist eine besondere Form einer Geraden- oder Ebenengleichung. Sie beschreibt geometrische Objekte mithilfe eines Aufpunkts, einer oder mehrerer Richtungen und reeller Parameter.

Der Stützvektor p⃗ ist der Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Geraden beziehungsweise in der Ebene. Ein Richtungsvektor gibt an, in welche Richtung man sich vom Aufpunkt aus bewegen kann. Bei einer Ebene heißen die beiden Richtungsvektoren auch Spannvektoren. Die Parameter legen fest, wie oft diese Vektoren zum Stützvektor addiert werden.

Die Parameterform ist nicht eindeutig: Derselbe geometrische Ort kann durch verschiedene Aufpunkte und durch unterschiedlich skalierte Richtungsvektoren dargestellt werden. Jede einzelne gültige Parameterdarstellung legt jedoch genau eine Gerade beziehungsweise Ebene fest.

Geraden in Parameterform

Eine Gerade in der Ebene wird durch einen Stützvektor p⃗ und einen Richtungsvektor u⃗ ≠ 0⃗ beschrieben:

x⃗ = p⃗ + s·u⃗ mit s ∈ ℝ.

Dabei ist x⃗ der Ortsvektor eines beliebigen Geradenpunkts. Der Richtungsvektor u⃗ kann als Differenzvektor beziehungsweise Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten der Geraden verstanden werden. Jedem Wert von s entspricht genau ein Punkt; durchläuft s alle reellen Zahlen, erhält man die gesamte Gerade. Der Vektor u⃗ spannt damit ein affines Koordinatensystem auf, und s ist die affine Koordinate des jeweiligen Geradenpunkts. Ist u⃗ ein Einheitsvektor, gibt |s| den Abstand des Punkts vom Aufpunkt an.

In Komponenten lautet die Gleichung in einem ebenen rechtwinkligen Koordinatensystem:

(x₁, x₂)ᵀ = (p₁, p₂)ᵀ + s·(u₁, u₂)ᵀ = (p₁+s·u₁, p₂+s·u₂)ᵀ.

Zu jeder Geraden existieren unendlich viele Parameterdarstellungen: Jeder ihrer Punkte kann als Aufpunkt dienen, und mit u⃗ ist auch k·u⃗ für jedes k ≠ 0 ein Richtungsvektor. Dieselbe Form gilt für Geraden im n-dimensionalen euklidischen Raum; dann verwendet man lediglich n-komponentige Vektoren.

Parameterform einer Geraden berechnen

Aus zwei Punkten mit den Ortsvektoren p⃗ und q⃗ erhält man den Richtungsvektor durch

u⃗ = q⃗ − p⃗.

Einer der beiden Ortsvektoren kann als Stützvektor verwendet werden.

Aus einer Normalenform mit dem Normalenvektor n⃗ = (n₁, n₂)ᵀ ergibt sich ein zur Normalen senkrechter Richtungsvektor durch

u⃗ = (−n₂, n₁)ᵀ.

Der vorhandene Stützvektor kann übernommen werden.

Bei der Normalform y = mx+n kann u⃗ = (1, m)ᵀ gewählt werden. Allgemeiner ist jeder Vektor (r, r·m)ᵀ mit r ≠ 0 geeignet. Als Stützvektor bietet sich p⃗ = (0, n)ᵀ an.

Aus der allgemeinen Koordinatenform ax+by=c liest man zunächst den Normalenvektor n⃗ = (a, b)ᵀ ab. Ein Richtungsvektor ist dann

u⃗ = (−b, a)ᵀ.

Je nachdem, ob a oder b ungleich null ist, kann man p⃗ = (c/a, 0)ᵀ oder p⃗ = (0, c/b)ᵀ als Stützvektor wählen. Entsprechend lassen sich auch die Achsenabschnittsform und die hessesche Normalform umformen.

Ebenen in Parameterform

Eine Ebene im dreidimensionalen Raum wird durch einen Stützvektor p⃗ und zwei Richtungs- beziehungsweise Spannvektoren u⃗ und v⃗ beschrieben:

x⃗ = p⃗ + s·u⃗ + t·v⃗ mit s,t ∈ ℝ.

Die Spannvektoren müssen in der Ebene liegen, vom Nullvektor verschieden und nicht kollinear sein. Nicht kollinear bedeutet, dass keiner ein Vielfaches des anderen ist. Jedem Wertepaar (s,t) entspricht genau ein Ebenenpunkt. Die Spannvektoren erzeugen ein affines Koordinatensystem; (s,t) sind die affinen Koordinaten eines Punkts.

In Komponenten lautet die Gleichung:

(x₁, x₂, x₃)ᵀ = (p₁+s·u₁+t·v₁, p₂+s·u₂+t·v₂, p₃+s·u₃+t·v₃)ᵀ.

Auch in einem n-dimensionalen euklidischen Raum kann eine Ebene durch x⃗ = p⃗+s·u⃗+t·v⃗ beschrieben werden. Statt dreikomponentiger verwendet man dort n-komponentige Vektoren.

Berechnung und Beispiele

Aus drei Punkten mit den Ortsvektoren p⃗, q⃗ und r⃗ erhält man zwei Spannvektoren durch

u⃗ = q⃗ − p⃗ und v⃗ = r⃗ − p⃗.

Einer der drei Ortsvektoren dient als Stützvektor.

Aus einer Normalenform mit n⃗ = (n₁, n₂, n₃)ᵀ können die Spannvektoren u⃗ = (−n₂, n₁, 0)ᵀ und v⃗ = (0, −n₃, n₂)ᵀ gewählt werden. Ist einer davon der Nullvektor, kann stattdessen (−n₃, 0, n₁)ᵀ verwendet werden. Der Stützvektor wird aus der Normalenform übernommen.

Bei der allgemeinen Koordinatenform ax+by+cz=d ist n⃗ = (a,b,c)ᵀ ein Normalenvektor. Als Spannvektoren eignen sich u⃗ = (−b,a,0)ᵀ und v⃗ = (0,−c,b)ᵀ, gegebenenfalls ersetzt durch (−c,0,a)ᵀ. Abhängig davon, welcher Koeffizient ungleich null ist, kann ein Stützvektor als (d/a,0,0)ᵀ, (0,d/b,0)ᵀ oder (0,0,d/c)ᵀ gewählt werden.

Geradenbeispiel: Für p⃗ = (2,2)ᵀ und u⃗ = (2,−1)ᵀ gilt x⃗ = (2+2s, 2−s)ᵀ. Bei s=0 entsteht der Punkt (2,2)ᵀ, bei s=1 der Punkt (4,1)ᵀ.

Ebenenbeispiel: Für p⃗ = (3,2,1)ᵀ, u⃗ = (2,−1,0)ᵀ und v⃗ = (−1,0,2)ᵀ gilt x⃗ = (3+2s−t, 2−s, 1+2t)ᵀ. Jedes reelle Wertepaar (s,t), etwa (0,0) oder (1,2), liefert einen Punkt der Ebene.