Ebenengleichung

Grundidee und Darstellungsarten

Eine Ebenengleichung beschreibt in der analytischen Geometrie eine Ebene im dreidimensionalen Raum. In einem kartesischen Koordinatensystem entspricht jeder Punkt einem Koordinatentripel (x, y, z) beziehungsweise seinem Ortsvektor x⃗ = (x₁, x₂, x₃)ᵀ. Die Gleichung legt fest, welche Punkte zur Ebene gehören.

Es gibt drei eng miteinander verbundene Arten der Darstellung:

• Koordinatengleichungen stellen eine lineare Beziehung zwischen x, y und z her. Beispielsweise bedeutet E: 2x + 3y = z, dass E aus allen Punkten besteht, deren Koordinaten diese Gleichung erfüllen. In Mengenschreibweise gilt E = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | 2x + 3y = z}.

• Parametergleichungen erfassen die Ortsvektoren der Ebene mithilfe zweier unabhängig voneinander veränderlicher reeller Parameter. Jedem Parameterpaar entspricht genau ein Punkt der Ebene und umgekehrt.

• Normalengleichungen verwenden einen Normalenvektor, also einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Sie können als parameterfreie Vektorgleichungen oder als ausgeschriebene Koordinatengleichungen auftreten.

Koordinatenformen

In der allgemeinen Koordinatenform wird eine Ebene durch vier reelle Zahlen a, b, c und d beschrieben:

ax + by + cz = d.

Mindestens eine der Zahlen a, b und c muss ungleich null sein. Der Vektor n⃗ = (a, b, c) ist ein nicht notwendigerweise normierter Normalenvektor der Ebene. Ist p⃗ ein Stützvektor, also der Ortsvektor eines beliebigen Ebenenpunkts, dann gilt d = p⃗ · n⃗. Der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung beträgt |d|/|n⃗|. Die allgemeine Koordinatenform entsteht auch durch Ausmultiplizieren der Normalenform.

Eine Ebene, die keine Ursprungsebene ist, kann außerdem durch ihre Achsenabschnitte x₀, y₀ und z₀ beschrieben werden. Das sind die Stellen, an denen sie die Koordinatenachsen schneidet. Die Achsenabschnittsform lautet:

x/x₀ + y/y₀ + z/z₀ = 1.

Die Schnittpunkte mit den Achsen heißen Spurpunkte. Ihre Verbindungsstrecken liegen im allgemeinen Fall auf den Spurgeraden und bilden das Spurdreieck. Verläuft die Ebene parallel zu einer oder zwei Koordinatenachsen, entfällt der jeweilige Spurpunkt und damit der entsprechende Term. Aus der allgemeinen Koordinatenform kann die Achsenabschnittsform durch Division durch d gewonnen werden.

Parameterformen

Bei der Punktrichtungsform, auch Parameterform genannt, wird die Ebene durch einen Stützvektor p⃗ und zwei Richtungs- oder Spannvektoren u⃗ und v⃗ festgelegt:

x⃗ = p⃗ + s u⃗ + t v⃗ mit s, t ∈ ℝ.

Der Stützvektor gehört zu einem beliebigen Punkt der Ebene, dem Aufpunkt. Die beiden Spannvektoren liegen in der Ebene und dürfen keine Nullvektoren sein. Außerdem dürfen sie nicht kollinear sein, also weder in dieselbe noch in die entgegengesetzte Richtung zeigen. Sie spannen ein affines Koordinatensystem auf; (s, t) sind die affinen Koordinaten eines Ebenenpunkts.

Sind stattdessen drei nicht kollineare Ebenenpunkte mit den Ortsvektoren p⃗, q⃗ und r⃗ gegeben, verwendet man die Dreipunkteform:

x⃗ = p⃗ + s(q⃗ − p⃗) + t(r⃗ − p⃗), s, t ∈ ℝ.

Dabei dient p⃗ als Stützvektor, während q⃗ − p⃗ und r⃗ − p⃗ die Richtungsvektoren bilden. Mithilfe der Distributivgesetze lässt sich dieselbe Gleichung als

x⃗ = (1 − s − t)p⃗ + s q⃗ + t r⃗

schreiben. Die Werte (1 − s − t : s : t) sind die baryzentrischen Koordinaten von x⃗ bezüglich des Dreiecks mit den Eckpunkten p⃗, q⃗ und r⃗.

Normalenformen und Abstände

Normalengleichungen beschreiben eine Ebene mithilfe eines Normalenvektors und des Skalarprodukts. Für zwei Vektoren gilt

x⃗ · y⃗ = x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die nicht der Nullvektor sind, ist genau dann null, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Deshalb lautet die Normalenform einer Ebene mit Stützvektor p⃗ und Normalenvektor n⃗:

(x⃗ − p⃗) · n⃗ = 0.

Sie erfasst genau die Punkte, bei denen der Differenzvektor x⃗ − p⃗ senkrecht zum Normalenvektor steht. Sind zwei Spannvektoren u⃗ und v⃗ bekannt, kann ein Normalenvektor durch das Kreuzprodukt n⃗ = u⃗ × v⃗ bestimmt werden.

In Komponenten lautet die Normalenform

(x₁ − p₁)n₁ + (x₂ − p₂)n₂ + (x₃ − p₃)n₃ = 0.

Ausmultiplizieren und Umstellen ergibt

n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = p₁n₁ + p₂n₂ + p₃n₃.

Damit wird sichtbar, dass die Normalenform und die allgemeine Koordinatenform dieselbe Art von Ebene beschreiben.

Die hessesche Normalform verwendet einen normierten und orientierten Normalenvektor n⃗₀ sowie den Abstand d der Ebene vom Ursprung:

x⃗ · n⃗₀ = d.

Dabei muss |n⃗₀| = 1 gelten, und der Vektor muss vom Koordinatenursprung in Richtung der Ebene zeigen. Man erhält diese Form, indem man den Normalenvektor normiert und passend orientiert und anschließend d = p⃗ · n⃗₀ setzt. Sie eignet sich zur effizienten Abstandsberechnung, weil x⃗ · n⃗₀ der Länge der Orthogonalprojektion von x⃗ auf die Ursprungsgerade mit Richtungsvektor n⃗₀ entspricht.

Höherdimensionale Räume

Auch im n-dimensionalen euklidischen Raum ℝⁿ lassen sich Ebenen betrachten. Eine Ebene ist dort eine lineare 2-Mannigfaltigkeit. Ihre Parametergleichungen behalten dieselbe Form; anstelle dreikomponentiger werden lediglich n-komponentige Vektoren verwendet.

Eine einzelne implizite Koordinaten- oder Normalengleichung beschreibt in ℝⁿ dagegen im Allgemeinen keine zweidimensionale Ebene, sondern eine Hyperebene der Dimension n − 1. Eine Ebene kann als Schnitt von n − 2 solchen Hyperebenen mit linear unabhängigen Normalenvektoren dargestellt werden. Ihre Punkte müssen daher n − 2 entsprechende Koordinatengleichungen gleichzeitig erfüllen.