Abstand

Grundidee des Abstands

Der Abstand (auch Entfernung oder Distanz) zweier Punkte ist die Länge ihrer kürzesten Verbindung. Im euklidischen Raum ist dies die Länge der Strecke zwischen den Punkten.

Der Begriff lässt sich auf geometrische Objekte wie Geraden und Ebenen übertragen, denn diese können als Punktmengen betrachtet werden. Der Abstand zweier Objekte ist dann im Allgemeinen die Länge der kürzesten Verbindungslinie, also der Abstand ihrer nächstliegenden Punkte. Sind stattdessen etwa Mittelpunkte oder Schwerpunkte gemeint, muss dies ausdrücklich angegeben sein oder sich aus dem Zusammenhang ergeben.

Die Metrik ist das Teilgebiet der Mathematik, das Abstandsmessungen behandelt. Bei zwei Werten einer Größe oder zwei Zeitpunkten erhält man den Abstand als Absolutbetrag der Differenz. Er ist unabhängig vom Referenzpunkt des Koordinatensystems, aber abhängig von dessen Skalierung. In der beobachtenden Astronomie wird der scheinbare Abstand zweier Himmelsobjekte als Winkelabstand angegeben. Der Abstand von Mengen kann durch die Hausdorff-Metrik definiert werden.

Euklidischer Abstand von Punkten

Auf einer Geraden mit Koordinaten a und b gilt für zwei Punkte A und B:

d(A,B)=|a-b|=√((a-b)²).

In der Ebene für A=(a₁,a₂) und B=(b₁,b₂) folgt aus dem Satz des Pythagoras:

d(A,B)=√((a₁-b₁)²+(a₂-b₂)²).

Im dreidimensionalen Raum für A=(a₁,a₂,a₃) und B=(b₁,b₂,b₃) gilt:

d(A,B)=√((a₁-b₁)²+(a₂-b₂)²+(a₃-b₃)²).

Allgemein ist für A=(a₁,…,aₙ) und B=(b₁,…,bₙ) in ℝⁿ:

d(A,B)=√((a₁-b₁)²+…+(aₙ-bₙ)²).

Der Abstand eines Punktes von einer Geraden oder einer ebenen Fläche ist die Entfernung zum Fußpunkt des gefällten Lots. Bei einer gekrümmten Linie ist er stets ein Abstand von einer ihrer Tangenten.

Punkt und Gerade in der Ebene

Der Abstand d(P,g) eines Punktes P von einer Geraden g ist die kleinste Entfernung von P zu einem Punkt der Geraden. Der Lotfußpunkt L liegt dabei am nächsten. Für jeden anderen Geradenpunkt A gilt nach dem Satz des Pythagoras:

|AP|²=|AL|²+|LP|²>|LP|².

Daher ist d(P,g) die Länge des Lots von P auf g. Konstruktiv fällt man dieses Lot und misst die Lotstrecke.

Hat die Gerade die Koordinatengleichung ax+by+c=0 und P die Koordinaten P(x₀,y₀), so lautet die Formel:

d(P,g)=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²).

Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten

(x,y)=((b(bx₀-ay₀)-ac)/(a²+b²), (a(-bx₀+ay₀)-bc)/(a²+b²)).

Verläuft g durch (x₁,y₁) und (x₂,y₂), kann man a=y₂-y₁, b=x₁-x₂ und c=x₂y₁-x₁y₂ einsetzen. Im Beispiel mit a=-3, b=4, c=10 sowie P=(4,6) ergibt sich d(P,g)=22/5=4,4.

Abstände im dreidimensionalen Raum

Für einen Punkt P₀ und die durch P₁ und P₂ bestimmte Gerade g lautet die Abstandformel mit Ortsvektoren p⃗₀, p⃗₁, p⃗₂:

d(P₀,g)=|((p⃗₂-p⃗₁)×(p⃗₁-p⃗₀))|/|p⃗₂-p⃗₁| =|((p⃗₀-p⃗₁)×(p⃗₀-p⃗₂))|/|p⃗₂-p⃗₁|.

Dabei bezeichnet × das Kreuzprodukt und |…| den Betrag eines Vektors. Für P₁=(3,5|2,5|0), P₂=(-1|7|0) und P₀=(5|6|3,5) ergibt sich d(P₀,g)=4,974… .

Für zwei windschiefe Geraden g₁ und g₂ — sie schneiden sich nicht und sind nicht parallel — durch P₁,P₂ beziehungsweise P₃,P₄ gilt:

d(g₁,g₂)=|(p⃗₃-p⃗₁)·((p⃗₂-p⃗₁)×(p⃗₄-p⃗₃))|/|(p⃗₂-p⃗₁)×(p⃗₄-p⃗₃)|.

Das Zeichen · steht für das Skalarprodukt. Mit P₁=(3,5|2,5|0), P₂=(-1|7|0), P₃=(5|6|3,5) und P₄=(0,2|2,5|6) beträgt der Abstand d(g₁,g₂)=4,605… .

Für den Punkt P₀=(x₀,y₀,z₀) und die Ebene E: ax+by+cz-f=0 gilt:

d(P₀,E)=|ax₀+by₀+cz₀-f|/√(a²+b²+c²).

Bestimmen drei Punkte P₁, P₂ und P₃ die Ebene, kann der Abstand auch mit

d(P₀,E)=|(((p⃗₂-p⃗₁)×(p⃗₃-p⃗₁))/|(p⃗₂-p⃗₁)×(p⃗₃-p⃗₁)|)·(p⃗₀-p⃗₁)| berechnet werden. Im Beispiel E: 2x-2z-2=0 und P=(4|5|-3) ist d(P,E)=3√2=4,2426… .

Andere Metriken und gekrümmte Flächen

Der euklidische Abstand gehört zur euklidischen Norm, auch 2-Norm, eines Vektorraums. Er kann durch andere Metriken verallgemeinert werden.

Bei der Manhattan-Metrik, die von der Summennorm oder 1-Norm erzeugt wird, ist der Abstand die Summe der absoluten Koordinatendifferenzen:

d(A,B)=Σᵢ|Aᵢ-Bᵢ|.

Sie beschreibt Wege, die rechtwinklig entlang horizontaler und vertikaler Linien verlaufen, etwa zwischen Straßenblöcken. Deshalb ist dieser Abstand nicht kleiner und im Allgemeinen größer als der euklidische Abstand. Für Punkte mit ganzzahligen Koordinaten ist er stets eine ganze Zahl. Für A=(0,0) und B=(6,6) gilt d(A,B)=|0-6|+|0-6|=12; der euklidische Abstand beträgt dagegen 6√2≈8,5.

Auf einer Kugeloberfläche wird die Entfernung entlang von Großkreisen bestimmt und in Gradmaß oder Bogenmaß angegeben. Auf dem Erdellipsoid und anderen konvexen Flächen verwendet man die geodätische Linie oder den Normalschnitt. In Geodäsie und Geowissenschaften werden dafür eher die Begriffe Distanz oder Entfernung verwendet und metrische Angaben gemacht.