Analytische Geometrie

Grundidee und Koordinatensystem

Die analytische Geometrie, auch Vektorgeometrie oder Koordinatengeometrie, löst geometrische Probleme mit algebraischen Hilfsmitteln, besonders aus der linearen Algebra. Geometrische Gebilde wie Geraden, Kurven, Ebenen und Flächen werden als Punktmengen aufgefasst. Jedem Punkt werden Koordinaten zugeordnet, die ihn eindeutig beschreiben. Dadurch lassen sich Gebilde durch Gleichungen, Ungleichungen oder Gleichungssysteme darstellen und Aufgaben rechnerisch lösen; das Ergebnis wird anschließend geometrisch gedeutet.

Sie unterscheidet sich von der synthetischen Geometrie: Diese begründet Sätze ohne Bezug auf ein Koordinatensystem auf axiomatischer Grundlage. Analytische Geometrie wird in Naturwissenschaften, besonders in der Physik etwa zur Beschreibung von Planetenbahnen, verwendet und ist Grundlage moderner Gebiete wie algebraischer, Differential-, diskreter und algorithmischer Geometrie.

Das wichtigste Hilfsmittel ist meist ein kartesisches Koordinatensystem. Für Geradenschnittpunkte, Parallelität oder Teilverhältnisse kann ein schiefwinkliges Koordinatensystem genügen. Für Abstände und Winkel ist ein kartesisches Koordinatensystem unverzichtbar. Vektoren vereinheitlichen und vereinfachen viele Rechnungen; deshalb werden lineare Algebra und analytische Geometrie häufig zusammen behandelt.

Darstellungsformen geometrischer Mengen

Komplexere Gebilde, etwa Geraden, Ebenen, Kreise und Kugeln, werden als Punktmengen beschrieben. Eine implizite Koordinatengleichung hat die Form f(x,y,…) = 0. Beispiel einer Geraden in der Zeichenebene: 2x − 3y + 7 = 0.

Bei einer expliziten Koordinatengleichung wird eine Koordinate durch die anderen ausgedrückt, zum Beispiel z = 2x − 5y + 3 für eine Ebene im Raum. Diese Form kann Fallunterscheidungen nötig machen: Eine zur y-Achse parallele Gerade lässt sich in der Ebene nicht als y = mx + b darstellen.

Eine Parametergleichung gibt den Ortsvektor x⃗ = OX⃗ eines beliebigen Punktes durch einen Vektorausdruck mit einem oder mehreren Parametern an. Für eine Gerade im Raum lautet ein Beispiel: x⃗ = (2, −4, −3)ᵀ + λ(−2, 0, 5)ᵀ. Der Parameter λ wählt dabei einen Punkt der Geraden aus.

Ebene: Punkte, Geraden und Kegelschnitte

Ein Punkt der Ebene besitzt zwei Koordinaten, zum Beispiel P(2 | −1,5). In dieser Reihenfolge heißen sie x-Koordinate oder Abszisse und y-Koordinate oder Ordinate; auch x₁ und x₂ sind gebräuchlich. Zusammen bilden sie ein geordnetes Paar.

Eine Gerade der Ebene kann in allgemeiner Koordinatenform durch ax + by = c angegeben werden. Ihre Parameterform lautet OX⃗ = OA⃗ + λu⃗. Dabei ist A ein fest gewählter Punkt der Geraden, der Stützpunkt, und u⃗ ein Richtungsvektor parallel zur Geraden.

Eine implizite Gleichung zweiten Grades Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 beschreibt im Allgemeinen einen Kegelschnitt. Je nach den Koeffizienten ist dies eine Ellipse, im Spezialfall ein Kreis, eine Parabel oder eine Hyperbel.

Raum und Verallgemeinerung

Ein Punkt im euklidischen Raum hat drei Koordinaten, zum Beispiel P(4 | −0,5 | −3), also ein 3-Tupel. Sein Ortsvektor OP⃗ verbindet den Ursprung O mit P und hat dieselben Koordinaten als Spaltenvektor: OP⃗ = (4, −0,5, −3)ᵀ. Die Koordinaten heißen x-, y- und z-Koordinate beziehungsweise x₁-, x₂- und x₃-Koordinate.

Eine Gerade im Raum kann nicht durch eine einzige Koordinatengleichung beschrieben werden, aber als Schnittmenge zweier Ebenen. Ihre Parameterform ist wie in der Ebene OX⃗ = OA⃗ + λu⃗. Eine Ebene besitzt die Koordinatengleichung ax + by + cz = d. Der Vektor n⃗ = (a, b, c)ᵀ steht senkrecht, also normal, auf ihr; deshalb heißt diese Form Normal(en)form. Die Parameterform einer Ebene ist OX⃗ = OA⃗ + λu⃗ + μv⃗, wobei u⃗ und v⃗ linear unabhängige Spannvektoren parallel zur Ebene sind.

Die allgemeine Gleichung zweiten Grades Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 beschreibt eine Fläche zweiter Ordnung. Wichtige Spezialfälle sind Ellipsoid, elliptisches und hyperbolisches Paraboloid, ein- und zweischaliges Hyperboloid, Kegel sowie elliptischer, parabolischer und hyperbolischer Zylinder.

Allgemein sind beliebige Dimensionen und Koordinaten aus einem Körper K möglich. Ist V ein Vektorraum über K und R ein zugehöriger affiner Raum, dann hat ein k-dimensionaler Unterraum die Form OX⃗ = OA⃗ + λ₁v⃗₁ + … + λₖv⃗ₖ. Die linear unabhängigen Vektoren v⃗₁, …, v⃗ₖ bilden eine Basis des zugehörigen Untervektorraums. Für k = 1 erhält man eine Gerade, für k = 2 eine Ebene; bei k gleich Dimension von R beziehungsweise V minus 1 heißt der Unterraum Hyperebene. Quadriken sind Hyperflächen zweiter Ordnung der Dimension n − 1 und werden durch ∑ᵢ₌₁ⁿ∑ⱼ₌₁ⁿ Aᵢⱼxᵢxⱼ + ∑ᵢ₌₁ⁿ Bᵢxᵢ + C = 0 definiert.

Punktproben und Schnittmengen

Bei einer Inzidenz-Überprüfung wird festgestellt, ob ein Punkt zu einer Punktmenge gehört. Für die Gerade y = 2·x − 3 liegt P(2 | 1) auf der Geraden, denn 1 = 2·2 − 3. S(4 | 2) liegt nicht darauf, denn 2 ≠ 2·4 − 3. Bei einer räumlichen Parametergeraden setzt man den Ortsvektor des Punktes ein. Für Q(−1 | 9 | −2) und x⃗ = (−7, 7, −6)ᵀ + t(3, 1, 2)ᵀ ergibt jede der drei Koordinatengleichungen t = 2; daher liegt Q auf der Geraden.

Die Schnittmenge zweier Punktmengen wird durch Lösen eines Gleichungssystems bestimmt. Sind beide Mengen durch Koordinatengleichungen gegeben, verwendet man die Gesamtheit dieser Gleichungen. Bei zwei Parametergleichungen setzt man ihre rechten Seiten gleich. Bei einer Koordinaten- und einer Parametergleichung setzt man die Koordinaten aus der Parameterform in die Koordinatengleichung ein.

Beispiel in der Ebene: Für g(x) = 2x² − 2 und f(x) = 2x + 2 führt das Gleichsetzen zu 2x² − 2x − 4 = 0 beziehungsweise x² − x − 2 = 0. Die Lösungen x₁ = −1 und x₂ = 2 liefern die Schnittpunkte S₁(−1 | 0) und S₂(2 | 6).

Beispiel im Raum: Die Geraden g₁: x⃗ = (20, −30, 1200)ᵀ + s(−100, 225, −3)ᵀ und g₂: x⃗ = (−2480, 105, 1167)ᵀ + t(150, 120, 1)ᵀ werden gleichgesetzt. Das Gleichungssystem ergibt t = 12 und s = 7; eingesetzt in g₁ ergibt dies den Schnittpunkt S(−680 | 1545 | 1179).