Kartesisches Koordinatensystem

Grundidee und Aufbau

Ein kartesisches Koordinatensystem, auch rechtwinkliges Koordinatensystem, ist ein geradliniges und orthogonales Koordinatensystem. Orthogonal bedeutet: Die Achsen stehen senkrecht aufeinander, also in einem Winkel von 90°. Im zwei- und dreidimensionalen Raum ist es das am häufigsten verwendete Koordinatensystem, weil sich geometrische Sachverhalte darin anschaulich und übersichtlich beschreiben lassen.

Im zweidimensionalen Fall gibt es zwei Achsen. In der üblichen mathematischen Darstellung heißt die horizontale Achse Abszissenachse, Rechtsachse oder x-Achse. Die vertikale Achse heißt Ordinatenachse, Hochachse oder y-Achse. Der x-Wert eines Punktes heißt Abszisse oder Rechtswert, der y-Wert heißt Ordinate oder Hochwert. Die Koordinatenlinien sind Geraden in konstantem Abstand voneinander.

Der Schnittpunkt der Achsen ist der Koordinatenursprung, kurz Ursprung, auch origo genannt. Er hat die Koordinaten O(0|0). Einen Punkt P mit den Koordinaten x und y schreibt man P(x|y) oder P = (x,y), zum Beispiel P(5|3) oder Q(-4|2).

Rechtshändig und linkshändig

Der mathematische Regelfall ist ein rechtshändiges kartesisches Koordinatensystem. Dabei zeigt die positive x-Achse nach rechts und die positive y-Achse nach oben. Der mathematisch positive Drehsinn verläuft gegen den Uhrzeigersinn.

Es gibt auch linkshändige kartesische Koordinatensysteme. In der Geodäsie, also der Vermessung der Erde, sind x-Achse und y-Achse gegenüber der mathematischen Schreibweise vertauscht. Der geodätisch positive Drehsinn verläuft im Uhrzeigersinn. Dort zeigt die x-Achse in Karten und Plänen meist nach oben, bei Landeskoordinaten nach Norden; die y-Achse zeigt nach rechts, bei Landeskoordinaten nach Osten.

Linkshändige Systeme treten auch in anderen Bereichen auf. In den Wirtschaftswissenschaften wird zum Beispiel bei Angebots-, Preis-Absatz- oder Nachfragefunktionen die abhängige Größe häufig auf der Querachse und die unabhängige Größe auf der Hochachse dargestellt. In der Computergrafik verwenden die meisten 2D-Systeme die obere linke Ecke als (0,0), was ebenfalls typisch für linkshändige Koordinatensysteme ist.

Mehrdimensionale Systeme

Im dreidimensionalen Raum kommt zu x- und y-Achse eine dritte Achse hinzu: die z-Achse. Sie wird räumliche Achse, Applikate oder in der Geographie Kote genannt. Je zwei Achsen bestimmen eine Koordinatenebene: die x-y-Ebene, die x-z-Ebene und die y-z-Ebene. Häufig wird die x-y-Ebene als flach liegende Ebene gezeichnet, während die z-Achse die Höhe angibt.

Die drei Koordinatenebenen teilen den Raum in acht Teile, die Oktanten heißen. Grafisch können Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem als Punktwolke erscheinen. Auch in dreidimensionalen geodätischen Koordinatensystemen sind x- und y-Achse gegenüber dem mathematischen System vertauscht; die z-Achse zeigt jedoch wie im mathematischen Koordinatensystem nach oben.

Die Mathematik verallgemeinert kartesische Koordinatensysteme auch auf höherdimensionale Räume, etwa auf 4D. Eine Achse für eine vierte Raumdimension wird manchmal w-Achse genannt; die Richtungen dieser Ausdehnung heißen ana („oben“) und kata („unten“).

Anwendungen in Grafik und Physik

In der Computergrafik ist gegenwärtig in der Industrie das rechtshändige XYZ-Koordinatensystem ein Standard: x zeigt nach rechts, y nach oben und z nach außen, also aus dem Bildschirm heraus. Maya und OpenGL verwenden ein rechtshändiges Koordinatensystem. DirectX, pbrt und PRMan verwenden dagegen ein linkshändiges Koordinatensystem. Die Wahl der Händigkeit ist wichtig für Rotation und für das Kreuzprodukt zweier Vektoren.

In der Physik wird die Rechtsachse häufig für die Zeit t als unabhängige Variable verwendet. Man spricht dann von der Zeitachse oder t-Achse. Die Hochachse zeigt die zeitlich veränderliche Größe, zum Beispiel den zurückgelegten Weg s oder die Geschwindigkeit v, und heißt entsprechend s-Achse oder v-Achse.

Dreidimensionale Koordinatensysteme dienen außerdem zur Darstellung zweidimensionaler statistischer Verteilungen, wenn die Höhenachse eine Wahrscheinlichkeits- oder Dichtefunktion angibt. Sehr häufig werden dreiachsige Koordinatensysteme für räumliche Erfassung und Beschreibung verwendet, etwa in Konstruktion, Vermessungswesen und Navigation. Bei GPS hilft ein Koordinatensystem bei der Lokalisierung eines Objekts. Die räumliche Orientierung von Objekten kann darauf aufbauend durch Roll-, Nick- und Gierwinkel beschrieben werden. Erdbezogene Koordinatensysteme gelten oft nur näherungsweise als kartesisch, weil sie eigentlich Kugelkoordinatensysteme sind; bei relativ kurzen Distanzen liefern sie meist trotzdem sehr brauchbare Werte.

Geodäsie und Landeskoordinaten

In der Geodäsie werden linkshändige kartesische Koordinatensysteme verwendet. Die x-Achse, also die Abszisse, gilt als Hauptachse. Die y-Achse, also die Ordinate, erhält man durch Drehen der x-Achse um 100 gon, also 90°, im Uhrzeigersinn um den Koordinatenursprung. Lange wurden Lagekoordinaten und Höhe getrennt bestimmt; mit Satellitenpositionierung gewinnen dreidimensionale Raumbezüge jedoch an Bedeutung.

Bei örtlichen Koordinatensystemen, die zunächst nicht an ein landesweites Bezugssystem angeschlossen sind, werden x-Achse und Nullpunkt zweckmäßig gewählt. Die x-Achse kann zum Beispiel die Hauptachse eines Bauwerks oder eine Polygonseite sein und muss nicht nach Norden zeigen. Die y-Achse zeigt von dieser Achse nach rechts. Um negative Koordinaten zu vermeiden, können positive Werte addiert werden; dadurch verschiebt sich der Koordinatenursprung.

Bei Landeskoordinaten wird oft ein willkürlicher Wert statt 0 festgesetzt. Für die Ost-West-Richtung heißt dies „false easting“, für die Nord-Süd-Richtung „false northing“. So liegen praktisch meist nur Koordinaten im ersten Quadranten vor, obwohl alle Quadranten definiert sind. Der Rechtswert, auch y-Wert, gibt in ebenen, auf die Erdoberfläche bezogenen Koordinatensystemen den Abstand eines Punktes von der vertikal verlaufenden Abszisse beziehungsweise x-Achse an. Er entspricht dem englischen „easting“. Der Hochwert, auch x-Wert, ist der in Nord-Richtung gemessene Abstand eines Punktes zu seinem Fußpunkt auf der waagerecht verlaufenden Basislinie, hier der y-Achse; er entspricht dem englischen „northing“. Rechts- und Hochwert bilden die zweidimensionalen Koordinaten eines Punktes.

Beispiele zeigen den praktischen Umgang mit solchen Werten: In der schweizerischen Landesvermessung wurde der Koordinatenursprung um 600 km nach Westen in die Gegend von Bordeaux verschoben, damit Rechts- und Hochwerte nicht verwechselt werden. Beim Gauß-Krüger-System mit 500 km false easting kann ein Rechtswert wie R 4541238 gelesen werden: Die erste Zahl 4 kennzeichnet den Mittelmeridian 12°E, weil 4·3 = 12. Nach Abzug von 500000 ergibt sich 541238 - 500000 = 41238; die Linie liegt also 41,238 km östlich des Längengrads 12°E. Beim UTM-Koordinatensystem hält ein false easting von 500 km den gültigen sechsstelligen Rechtswertbereich zwischen 100.000 und 900.000. Das finnische YKJ-System verschiebt den Koordinatenursprung sogar um 3.500 km westlich, um horizontal und vertikal immer siebenstellige Koordinaten zu erhalten.

Besondere Einordnung

Historisch hängt die Bezeichnung mit René Descartes zusammen, dessen latinisierter Name Cartesius lautet und der das Konzept der kartesischen Koordinaten bekannt gemacht hat. Wörter wie Abszisse und Ordinate haben eine ältere sprachliche Geschichte; die erste bekannte Verwendung der Worte Abszisse und Ordinate findet sich in einem Brief von Gottfried Wilhelm Leibniz an Henry Oldenburg vom 27. August 1676.

In der synthetischen Geometrie wird der Begriff verallgemeinert. Dort heißt ein affines Koordinatensystem (O,E₁,E₂) kartesisch, wenn die Einheitspunkte E₁ und E₂ benachbarte Ecken in einem Quadrat mit Mittelpunkt O sind.

Wegen der Kugelform der Erde kann ihre Oberfläche in kartesischen Koordinatensystemen nicht ohne Verzerrungen abgebildet werden. Darum werden geodätische Darstellungen auf kleinere Gebiete beschränkt und auf eine längentreu wiedergegebene Achse bezogen. Praktische geodätische Anwendungen sind Soldner-Koordinatennetze, Gauß-Krüger-Koordinatensysteme, das UTM-Koordinatensystem, das österreichische Bundesmeldenetz, die Schweizer Landeskoordinaten und das britische National Grid der Ordnance Survey.