Ortsvektor

Grundidee und Bedeutung

Ein Ortsvektor ist ein Vektor, der von einem festen Bezugspunkt zu einem Punkt, also zu einem Ort, zeigt. Er wird auch Radiusvektor, Positionsvektor oder Stützvektor genannt. In Mathematik und Physik dient er dazu, die Lage eines Punktes mit Mitteln der Vektorrechnung zu beschreiben.

Meist wird in einem kartesischen Koordinatensystem der Koordinatenursprung als Bezugspunkt gewählt. Dann stimmen die Koordinaten eines Punktes mit den Koordinaten seines Ortsvektors überein. Hat ein Punkt P zum Beispiel die Koordinaten (p_1, p_2, p_3), dann ist sein Ortsvektor \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}. In der analytischen Geometrie werden Ortsvektoren benutzt, um Punkte, Punktmengen wie Geraden und Ebenen sowie Abbildungen in affinen oder euklidischen Räumen zu beschreiben. In der Physik beschreiben sie den Ort eines Körpers in einem euklidischen Raum.

Schreibweisen

Der feste Bezugspunkt wird in der Geometrie in der Regel mit O bezeichnet. Für den Ortsvektor eines Punktes P schreibt man \overrightarrow{OP}.

Häufig verwendet man auch Kleinbuchstaben mit Vektorpfeil, die zu den Großbuchstaben der Punkte passen, zum Beispiel \vec p=\overrightarrow{OP}, \vec q=\overrightarrow{OQ}, \vec a=\overrightarrow{OA} oder \vec x=\overrightarrow{OX}. Ebenfalls üblich ist die Schreibweise mit einem Vektorpfeil über dem Punktbuchstaben, etwa \vec P=\overrightarrow{OP} oder \vec X=\overrightarrow{OX}.

In der Physik heißt der Ortsvektor oft Radiusvektor. Er wird dort häufig als \vec r geschrieben, in der theoretischen Physik auch halbfett als \mathbf r.

Rechnen mit Ortsvektoren

Mit Ortsvektoren lassen sich andere wichtige Vektoren und geometrische Vorgänge einfach darstellen. Der Verbindungsvektor von einem Punkt P zu einem Punkt Q ergibt sich aus den Ortsvektoren \vec p=\overrightarrow{OP} und \vec q=\overrightarrow{OQ} durch Subtraktion: \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\vec q-\vec p. Er zeigt also von P nach Q.

Eine Verschiebung um den Vektor \vec v bildet einen Punkt X auf einen Punkt X' ab. Für die Ortsvektoren gilt dann \overrightarrow{OX'}=\overrightarrow{OX}+\vec v, kurz \vec x'=\vec x+\vec v. Der Ortsvektor des Bildpunktes entsteht also durch Addition des Verschiebungsvektors.

Auch Drehungen lassen sich mit Ortsvektoren beschreiben. Bei einer Drehung in der Ebene mit Drehzentrum O um den Winkel \varphi gegen den Uhrzeigersinn gilt für \vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} und \vec x'=\begin{pmatrix}x_1'\\x_2'\end{pmatrix}: \begin{pmatrix}x_1'\\x_2'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}. Die Matrix heißt Drehmatrix.

Geraden, Ebenen und affine Abbildungen

Eine affine Abbildung ist eine Abbildung, die aus einer linearen Abbildung und einer Verschiebung besteht. Mit Ortsvektoren kann man sie als \vec x'=L(\vec x)+\vec v schreiben. Dabei ist L eine lineare Abbildung und \vec v ein Verschiebungsvektor. In kartesischen Koordinaten kann L durch eine Matrix A dargestellt werden. Für den dreidimensionalen Raum steht dann die entsprechende Matrixgleichung mit den Einträgen a_{11} bis a_{33} und dem Verschiebungsvektor \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}. Im Artikel steht dazu auch die Formel \vec x=A\cdot\vec x+\vec v; aus dem Zusammenhang der Abbildung ist der Bildvektor \vec x' gemeint.

Die Gerade durch die Punkte P und Q enthält genau die Punkte X, deren Ortsvektoren die Form \vec x=\overrightarrow{OP}+t\,\overrightarrow{PQ} mit t\in\mathbb R haben. Diese Darstellung heißt Parameterform einer Geradengleichung. Der Ortsvektor von P dient dabei als Ausgangspunkt, der Verbindungsvektor \overrightarrow{PQ} als Richtungsvektor.

Für Ebenen gibt es die Normalenform. Die Ebene durch den Punkt P mit Normalenvektor \vec n enthält genau die Punkte X, deren Ortsvektor \vec x die Gleichung \vec x\cdot\vec n=\vec p\cdot\vec n erfüllt. Dabei ist \vec p der Ortsvektor des Stützpunktes P, und der Malpunkt bezeichnet das Skalarprodukt.

Koordinatensysteme

Ein durch einen Ortsvektor beschriebener Punkt kann in verschiedenen Koordinatensystemen angegeben werden. Der Bezugspunkt des Ortsvektors wird dabei normalerweise in den Koordinatenursprung gelegt.

In kartesischen Koordinaten ist der Ortsvektor direkt der Spaltenvektor der Koordinaten: \vec r=\vec r(x,y,z)=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}. Die Koordinaten sind also zugleich die Komponenten des Ortsvektors.

In Zylinderkoordinaten wird der Ortsvektor durch Umrechnung in kartesische Koordinaten beschrieben: \vec r=\vec r(\rho,\varphi,z)=\begin{pmatrix}\rho\cos\varphi\\\rho\sin\varphi\\z\end{pmatrix}. Dabei ist \rho der Abstand von der z-Achse. Der Winkel \varphi wird von der x-Achse in Richtung der y-Achse gezählt. \rho und \varphi sind die Polarkoordinaten der Projektion des Punktes auf die x-y-Ebene.

In Kugelkoordinaten gilt \vec r=\vec r(r,\theta,\varphi)=\begin{pmatrix}r\sin\theta\cos\varphi\\r\sin\theta\sin\varphi\\r\cos\theta\end{pmatrix}. Hier ist r der Abstand des Punktes vom Ursprung, also die Länge des Ortsvektors. Der Winkel \varphi liegt in der x-y-Ebene und wird von der x-Achse zur y-Achse gemessen. Der Winkel \theta ist der Winkel zwischen der z-Achse und dem Ortsvektor.

Anwendung in der Physik

In der Physik wird der Ortsvektor verwendet, um den Ort eines Körpers im Raum anzugeben. Dabei ist wichtig, dass Ortsvektoren bei Koordinatentransformationen ein anderes Transformationsverhalten zeigen als kovariante Vektoren.

Ein Beispiel ist die Himmelsmechanik. Um die Position eines Himmelskörpers anzugeben, der sich auf einer Umlaufbahn um ein Schwerezentrum bewegt, wählt man dieses Schwerezentrum als Ursprung des Orts- oder Radiusvektors. Der Radiusvektor liegt dann stets in Richtung der Gravitationskraft. Die Strecke des Ortsvektors heißt Fahrstrahl. Dieser Fahrstrahl spielt eine zentrale Rolle beim zweiten Keplerschen Gesetz, dem Flächensatz.