Normalenvektor

Grundbegriff und Bedeutung

Ein Normalenvektor, auch Normalvektor, ist in der Geometrie ein von null verschiedener Vektor, der orthogonal, also rechtwinklig oder senkrecht, auf einer Geraden, Kurve, Ebene, gekrümmten Fläche oder einer höherdimensionalen Verallgemeinerung steht. Eine Gerade in Richtung eines Normalenvektors heißt Normale. Ein Normaleneinheitsvektor oder eine Einheitsnormale ist ein Normalenvektor der Länge 1.

Zu einer Geraden in der Ebene oder zu einer Ebene im dreidimensionalen Raum gibt es unendlich viele Normalenvektoren. Sie sind jeweils skalare Vielfache voneinander: Aus einem Normalenvektor n erhält man mit n₂ = c · n₁ für c ≠ 0 alle anderen. Es gibt aber genau zwei Normaleneinheitsvektoren; sie sind Gegenvektoren, also n₀ und −n₀. Eine Gerade oder Ebene wird durch einen Normalenvektor und zusätzlich einen auf ihr liegenden Punkt eindeutig bestimmt.

Geraden in der Ebene und im Raum

Hat eine ebene Gerade die Parameterform x = p + t v mit dem Richtungsvektor v = (a,b), dann sind (−b,a) und (b,−a) Normalenvektoren. Bei einer Bewegung in Richtung von v weist (−b,a) nach links und (b,−a) nach rechts.

Ist die Gerade durch y = mx + c gegeben, ist (1,m) ein Richtungsvektor. Die Vektoren (−m,1) und (m,−1) sind Normalenvektoren. Für m ≠ 0 besitzt jede Normale die Steigung −1/m. Für m = 0, also bei einer horizontalen Geraden, ist jede Normale vertikal und hat die Form x = a. In der allgemeinen Geradengleichung ax + by = d ist (a,b) ein Normalenvektor.

Aus einem Normalenvektor n wird durch Division durch seine Länge ein Normaleneinheitsvektor gebildet: n₀ = (1/∥n∥) n. Der zweite ist −n₀; durch Multiplikation mit reellen Zahlen ungleich null erhält man wieder alle Normalenvektoren.

Eine Raumgerade g mit x = p + t v besitzt genau die von null verschiedenen Vektoren n, für die n · v = 0 gilt. Ausgeschrieben lautet die Bedingung n₁v₁ + n₂v₂ + n₃v₃ = 0. Zwei Komponenten von n können frei gewählt werden, die dritte wird so bestimmt, dass die Gleichung erfüllt ist. Die Menge der Normalenvektoren ist daher zweidimensional und liegt in einer Ebene, die orthogonal zur Geraden ist.

Ebenen im dreidimensionalen Raum

Für eine Ebene E ist jeder von null verschiedene Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht, ein Normalenvektor. Ist die Ebene durch ax + by + cz = d gegeben, dann ist (a,b,c) ein Normalenvektor. In der Darstellung z = ax + by + c sind (−a,−b,1) ein nach oben weisender und (a,b,−1) ein nach unten weisender Normalenvektor.

Wird eine Ebene durch zwei aufspannende Vektoren u = (u₁,u₂,u₃) und v = (v₁,v₂,v₃) beschrieben, muss ein Normalenvektor n = (n₁,n₂,n₃) beide Vektoren senkrecht schneiden. Seine Komponenten erfüllen daher das lineare Gleichungssystem u₁n₁ + u₂n₂ + u₃n₃ = 0, v₁n₁ + v₂n₂ + v₃n₃ = 0. Jede von (0,0,0) verschiedene Lösung ist ein Normalenvektor.

Eine weitere Methode ist das Kreuzprodukt. Der Vektor u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁) steht senkrecht auf u und v und damit auf der von ihnen aufgespannten Ebene. Durch Division durch seine Länge erhält man einen Normaleneinheitsvektor; Multiplikation mit −1 liefert den zweiten.

Kurven und Flächen

Bei einer glatten ebenen Kurve ist ein Normalenvektor in einem Punkt ein Vektor, der senkrecht auf dem Tangentialvektor in diesem Punkt steht. Die Gerade durch den Punkt in Richtung dieses Vektors ist die Normale.

Ist die Kurve der Graph einer differenzierbaren Funktion f und P = (x₀,f(x₀)), dann hat die Tangente die Steigung mₜ = f′(x₀). Die Normale hat die Steigung mₙ = −1/mₜ = −1/f′(x₀) und die Gleichung y = f(x₀) − (1/f′(x₀))(x − x₀). Bei einer parametrisierten Kurve c(t) = (x(t),y(t)) ist ċ(t) = (ẋ(t),ẏ(t)) ein Tangentialvektor. Ein nach rechts weisender Normalenvektor ist (ẏ(t),−ẋ(t)).

Bei einer Raumkurve bilden alle Normalenvektoren in einem Punkt P einen zweidimensionalen Untervektorraum. Der zugehörige affine Unterraum durch P ist eine Ebene, die senkrecht zur Kurve steht. In der elementaren Differentialgeometrie wählt man den Einheitsvektor in Richtung der Krümmung; er heißt Hauptnormalen- oder Hauptnormaleneinheitsvektor.

Bei einer gekrümmten Fläche ist der Normalenvektor in einem Punkt ein Normalenvektor der Tangentialebene. Für eine reguläre Parametrisierung F(u,v) sind Fᵤ und Fᵥ, die partiellen Ableitungen nach u und v, Spannvektoren der Tangentialebene. Ein normierter Normalenvektor ist N(u,v) = (Fᵤ(u,v) × Fᵥ(u,v)) / |Fᵤ(u,v) × Fᵥ(u,v)|.

Ist die Fläche implizit durch g(x,y,z) = 0 gegeben, dann ist der Gradient grad g(x,y,z) = (∂g/∂x, ∂g/∂y, ∂g/∂z) ein Normalenvektor, sofern er am betrachteten Punkt nicht verschwindet. Für den Graphen z = f(x,y) ist (−∂f/∂x, −∂f/∂y, 1) ein nach oben weisender Normalenvektor im Punkt (x,y,f(x,y)).

Verallgemeinerungen

Der Begriff des Normalenvektors wird auf affine Unterräume, also verallgemeinerte Ebenen in euklidischen Räumen höherer Dimension, einschließlich Hyperebenen, erweitert. Ebenso gilt er für Flächen, Hyperflächen und Untermannigfaltigkeiten in höherdimensionalen euklidischen Räumen sowie für Flächen, Hyperflächen und Untermannigfaltigkeiten von Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Auch nichtglatte Objekte wie konvexe Körper und rektifizierbare Mengen können einbezogen werden.

Anwendungen

Normalenvektoren sind in der Analysis und Differentialgeometrie wichtig für die Berechnung von Oberflächeninhalten und Oberflächenintegralen. In der Computergrafik zeigen sie unter anderem, ob eine Fläche dem Benutzer zugewandt ist. Abgewandte Flächen können mit Back-Face Culling von der Bildberechnung ausgeschlossen werden. Außerdem werden Normalenvektoren zur Berechnung von Lichteinfall und Reflexionen verwendet.