Orthogonalität

Grundidee und Schreibweise

Orthogonalität bedeutet in der Mathematik, dass Objekte rechtwinklig zueinander stehen oder eine entsprechende verallgemeinerte Bedingung erfüllen. In der Elementargeometrie heißen zwei Geraden oder Ebenen orthogonal oder senkrecht, wenn sie einen rechten Winkel, also 90°, einschließen. Bei Vektoren bedeutet orthogonal, dass sie auf zueinander orthogonalen Geraden liegen oder dass mindestens einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist. Gleichwertig dazu ist in der üblichen Vektorrechnung: Ihr Skalarprodukt ist null.

Für zwei Geraden, Ebenen oder Vektoren a und b schreibt man a ⊥ b, wenn sie orthogonal sind, und a ⊥̸ b, wenn sie nicht orthogonal sind. Das Symbol ⊥ hat in Unicode die Position U+22A5; in LaTeX wird es mit \perp geschrieben.

Orthogonalität in der Geometrie

In der Elementargeometrie werden Geraden oder Ebenen orthogonal genannt, wenn sie einen Winkel von 90° einschließen. Eine Gerade heißt Orthogonale oder Normale auf eine Ebene, wenn ihr Richtungsvektor ein Normalenvektor der Ebene ist. Eine Ebene heißt Orthogonale oder Normalebene einer Ebene, wenn ihr Normalenvektor in dieser Ebene liegt. Eine Gerade oder Ebene heißt Orthogonale beziehungsweise Normale an eine Kurve, wenn sie zur Tangente oder Tangentialebene im Schnittpunkt orthogonal ist.

Auch Figuren können orthogonal sein: In einem orthogonalen Polygon, zum Beispiel einem Rechteck, bilden je zwei benachbarte Seiten einen rechten Winkel. In einem orthogonalen Polyeder, zum Beispiel einem Quader, bilden je zwei benachbarte Kanten und damit auch benachbarte Seitenflächen rechte Winkel.

In der analytischen Geometrie sind zwei Geraden in der Ebene orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Im Raum oder in höheren Dimensionen müssen sich zwei Geraden dafür nicht schneiden; sie können auch windschief sein. Eine Gerade und eine Ebene im Raum sind orthogonal, wenn der Richtungsvektor der Geraden zu jedem Vektor in der Ebene orthogonal ist. Zwei Ebenen im euklidischen Raum sind orthogonal, wenn es eine Gerade gibt, die in einer der beiden Ebenen liegt und zur zweiten Ebene orthogonal ist.

Sind zwei Geraden in der euklidischen Ebene durch y = m₁x + b₁ und y = m₂x + b₂ gegeben, dann sind sie genau dann orthogonal, wenn m₁m₂ = -1 gilt, also äquivalent m₁ = -1/m₂. In der synthetischen Geometrie kann Orthogonalität axiomatisch als Orthogonalitätsrelation zwischen Geraden auf bestimmten affinen Inzidenzebenen beschrieben werden.

Vektoren und Skalarprodukt

Der Winkel zwischen zwei Vektoren v⃗ und w⃗ im kartesischen Koordinatensystem kann über das Skalarprodukt berechnet werden:

v⃗ · w⃗ = |v⃗| |w⃗| cos ∠(v⃗,w⃗).

Dabei sind |v⃗| und |w⃗| die Längen der Vektoren, und cos ∠(v⃗,w⃗) ist der Kosinus des eingeschlossenen Winkels. Wenn die beiden Vektoren einen rechten Winkel bilden, gilt cos 90° = 0, also

v⃗ · w⃗ = |v⃗| |w⃗| cos 90° = 0.

Daher sind zwei Vektoren genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist. Der Nullvektor ist zu allen Vektoren orthogonal. Eine Menge von Vektoren {v⃗ⱼ : j = 1, …, N} heißt paarweise orthogonal, wenn für alle i ≠ j die Vektoren v⃗ᵢ und v⃗ⱼ orthogonal zueinander sind.

Lineare Algebra

In der linearen Algebra wird Orthogonalität auf Skalarprodukträume verallgemeinert. Das sind Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen, in denen ein Skalarprodukt definiert ist. Für zwei Vektoren v und w schreibt man dieses Skalarprodukt oft als ⟨v,w⟩. Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn ⟨v,w⟩ = 0 gilt.

Ein Beispiel im Raum ℝ² ist v = (2,1)ᵀ und w = (1,-2)ᵀ. Bezüglich des Standardskalarprodukts gilt ⟨v,w⟩ = 2·1 + 1·(-2) = 2 - 2 = 0, also sind die Vektoren orthogonal. Eine Menge von Vektoren heißt orthogonal oder Orthogonalsystem, wenn alle enthaltenen Vektoren paarweise orthogonal sind. Sind zusätzlich alle Vektoren auf Norm eins normiert, heißt die Menge orthonormal oder Orthonormalsystem. Orthogonale Vektoren, die nicht der Nullvektor sind, sind immer linear unabhängig. Eine Basis aus orthonormalen Vektoren heißt Orthonormalbasis. Für zwei Vektoren vᵢ, vⱼ einer Orthonormalbasis gilt ⟨vᵢ,vⱼ⟩ = δᵢⱼ, wobei δᵢⱼ das Kronecker-Delta ist. Endlichdimensionale Skalarprodukträume und Hilberträume besitzen immer eine Orthonormalbasis; in endlichdimensionalen Vektorräumen und separablen Hilberträumen kann man sie mit dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren finden.

Auch Funktionen können als Vektoren in Funktionenräumen betrachtet werden. Zwei Funktionen f und g heißen orthogonal, wenn ⟨f,g⟩ = 0 gilt. Für stetige reellwertige Funktionen auf einem Intervall [a,b] ist ein wichtiges Beispiel das L²-Skalarprodukt ⟨f,g⟩ = ∫ₐᵇ f(x)g(x) dx. Auf [-1,1] sind f(x)=x und g(x)=x² orthogonal, denn ∫₋₁¹ x·x² dx = ∫₋₁¹ x³ dx = 0.

Eine quadratische reelle Matrix A ∈ ℝⁿˣⁿ heißt orthogonale Matrix, wenn sie das Skalarprodukt erhält: ⟨Av,Aw⟩ = ⟨v,w⟩ für alle v,w ∈ ℝⁿ. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre Spalten oder Zeilen als Vektoren orthonormal sind. Äquivalent sind AᵀA = I und Aᵀ = A⁻¹. Orthogonale Matrizen beschreiben Drehungen und Spiegelungen in Ebene oder Raum; alle orthogonalen n×n-Matrizen bilden die orthogonale Gruppe O(n). Bei komplexen Matrizen heißt die entsprechende Art unitär.

Eine Abbildung f: V → W zwischen reellen Skalarprodukträumen heißt orthogonal, wenn ⟨f(v),f(w)⟩ = ⟨v,w⟩ für alle v,w ∈ V gilt. Sie erhält also Skalarprodukte, Orthogonalität, Längen und Abstände und ist damit eine Isometrie. In endlichdimensionalen Skalarprodukträumen ist eine solche Abbildung genau dann orthogonal, wenn ihre Matrixdarstellung bezüglich einer Orthonormalbasis eine orthogonale Matrix ist. Für komplexe Skalarprodukträume spricht man von unitären Abbildungen.

Eine Orthogonalprojektion ist eine Projektion auf einen Untervektorraum U entlang seines orthogonalen Komplements. In einem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Skalarproduktraum V ist sie die eindeutig bestimmte lineare Abbildung P: V → V mit P(v) ∈ U und ⟨P(v),u⟩ = ⟨v,u⟩ für alle u ∈ U. In unendlichdimensionalen Hilberträumen gilt Entsprechendes nach dem Projektionssatz für abgeschlossene Untervektorräume U; P kann dann stetig gewählt werden.

Normierte Räume und Koordinaten

In einem Skalarproduktraum ist ⟨v,w⟩ = 0 äquivalent zu der Bedingung ||v|| ≤ ||v + λw|| für alle Skalare λ. Dadurch wird ein Orthogonalitätsbegriff in normierten Räumen motiviert: Für v,w aus einem normierten Raum (V,||·||) definiert man v ⊥ w genau dann, wenn ||v|| ≤ ||v + λw|| für alle λ gilt.

Dieser Begriff ist schwächer als Orthogonalität in Skalarprodukträumen. Im Allgemeinen ist er weder symmetrisch noch additiv: Aus v ⊥ w folgt nicht unbedingt w ⊥ v, und aus v ⊥ w₁ sowie v ⊥ w₂ folgt nicht unbedingt v ⊥ (w₁ + w₂). Von besonderem Interesse sind deshalb normierte Räume, in denen Orthogonalität additiv ist; dies sind genau die glatten normierten Räume.

Bei orthogonalen Koordinatensystemen schneiden sich die Koordinatenlinien an jedem Punkt senkrecht. Das bedeutet: Die Tangentenvektoren an diese Kurven stehen paarweise aufeinander senkrecht. Neben kartesischen Koordinaten gibt es orthogonale krummlinige Koordinaten. Wichtige Beispiele sind Polarkoordinaten in der Ebene sowie Zylinder- und Kugelkoordinaten im dreidimensionalen Raum. Anders als bei kartesischen Koordinaten gibt es bei krummlinigen Koordinaten keine globale Basis für den gesamten Raum, sondern lokale Basisvektoren an jedem einzelnen Punkt.

Anwendungen

Orthogonalität wird in vielen Bereichen genutzt, weil sie Berechnungen einfacher oder robuster machen kann. Beispiele sind die Fourier-Transformation und die Wavelet-Transformation in der Signalverarbeitung, QR-Zerlegungen von Matrizen zur Lösung von Eigenwertproblemen, die Gauß-Quadratur zur numerischen Berechnung von Integralen, orthogonale Felder in der statistischen Versuchsplanung, orthogonale Codes wie der Walsh-Code in der Kanalkodierung sowie das Orthogonalverfahren zur Vermessung in der Geodäsie.