Gerade

Grundidee und geometrische Bedeutung

Eine Gerade ist ein Objekt der Geometrie. Anschaulich ist sie eine gerade, unendlich lange und unendlich dünne Linie, die in beide Richtungen unbegrenzt ist. In modernen axiomatischen Geometrien wird sie nicht durch diese Anschauung festgelegt: Eine Gerade hat dort keine inneren Eigenschaften; entscheidend sind ihre Beziehungen zu Punkten, anderen Geraden und Ebenen.

In der synthetischen Geometrie bestimmt das Axiom „Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g“ die Gerade über solche Beziehungen. Die Gesamtheit der Axiome gibt dem Begriff seine Bedeutung. In der projektiven Ebene sind Punkt und Gerade durch Dualität sogar vollständig austauschbar.

Im reellen euklidischen Raum liegt der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten auf einer Geraden. Die entsprechende Verallgemeinerung für gekrümmte Räume, also Mannigfaltigkeiten, heißt geodätische Linie oder kurz Geodäte.

Geraden als Punktmengen und Vektoren

In der analytischen Geometrie wird der Raum als n-dimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen beschrieben. Eine Gerade ist ein eindimensionaler affiner Unterraum, also eine Nebenklasse eines eindimensionalen linearen Unterraums. Im dreidimensionalen Raum erfüllt dieser Geradenbegriff die Bedingungen aus Hilberts Axiomensystem.

Zwei verschiedene Punkte reichen zur Beschreibung aus. Der Aufpunkt oder Stützpunkt liegt auf der Geraden; sein Ortsvektor heißt Stützvektor. Der Vektor vom Aufpunkt zu einem zweiten, Richtungspunkt genannten Punkt heißt Richtungsvektor. Für die Gerade durch P und Q gilt:

g = {X | \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t,\overrightarrow{PQ}; t\in\mathbb{R}}.

Dabei ist \overrightarrow{OP} der Stützvektor und \overrightarrow{PQ} der Richtungsvektor. Auch die affine Hülle zweier verschiedener Vektoren \vec v und \vec w, {\lambda\vec v+\mu\vec w | \lambda,\mu\in\mathbb{R}, \lambda+\mu=1}, ist eine Gerade. Ebenso ist der Lösungsraum eines inhomogenen linearen Gleichungssystems mit n−1 linear unabhängigen Gleichungen eine Gerade.

In zwei Dimensionen lautet eine Koordinatengleichung \alpha x+\beta y=\gamma, wobei \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} und mindestens \alpha oder \beta nicht 0 ist. Falls \beta\ne0 ist, kann sie als lineare Funktion y=f(x) geschrieben werden.

Geradengleichungen

In der Ebene liefert die Punkt-Richtung-Gleichung für einen Punkt P₀(x₀|y₀) und den Neigungswinkel \alpha:

y=y₀+\tan(\alpha)\cdot(x-x₀).

Ist stattdessen die Steigung m gegeben, gilt y=y₀+m\cdot(x-x₀). Durch zwei Punkte P₁(x₁|y₁) und P₂(x₂|y₂) mit x₁\ne x₂ lautet die Zwei-Punkte-Gleichung:

y=y₁+\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}\cdot(x-x₁).

Eine gleichwertige Form ist y=y₁\frac{x-x₂}{x₁-x₂}+y₂\frac{x-x₁}{x₂-x₁}.

Im Raum \mathbb{R}ⁿ bestimmt ein Ortsvektor \vec p\in\mathbb{R}ⁿ und ein von 0 verschiedener Richtungsvektor \vec r\in\mathbb{R}ⁿ\setminus{0} die Punkt-Richtungs-Gleichung g={\vec p+\lambda\vec r | \lambda\in\mathbb{R}}. Für zwei verschiedene Punkte \vec p₁ und \vec p₂ gilt eindeutig:

g={\vec p₁+\lambda(\vec p₂-\vec p₁) | \lambda\in\mathbb{R}}={(1-\lambda)\vec p₁+\lambda\vec p₂ | \lambda\in\mathbb{R}}.

Lage und Schnittpunkte

Zwei Geraden können gleich sein und dann alle Punkte gemeinsam haben. Sie können sich in genau einem Punkt schneiden, auch senkrecht. Sie können echt parallel sein: Dann haben sie keinen gemeinsamen Punkt, lassen sich aber durch Verschiebung ineinander überführen. Ab drei Dimensionen können sie außerdem windschief sein: Sie haben keinen gemeinsamen Punkt und lassen sich nicht allein durch Verschiebung ineinander überführen. Im weiteren Sinn zählen auch identische Geraden als parallel; „echt parallel“ unterscheidet den Fall ohne gemeinsame Punkte davon.

Für zwei Geraden in der Ebene in der Form y₁=m₁x+b₁ und y₂=m₂x+b₂ existiert genau dann ein Schnittpunkt S(xₛ,yₛ), wenn m₁\ne m₂. Man setzt die Gleichungen gleich, berechnet xₛ und setzt diesen Wert in eine Ausgangsgleichung ein.

Bei a₁x+b₁y=c₁ und a₂x+b₂y=c₂ entsteht ein lineares 2×2-Gleichungssystem. Falls a₁b₂-a₂b₁\ne0, sind die Geraden nicht parallel und die Lösung ist eindeutig.

Für g: \vec x=\vec p+r\vec u und h: \vec x=\vec q+t\vec v setzt man \vec p+r\vec u=\vec q+t\vec v, also r\vec u-t\vec v=\vec q-\vec p. In Komponenten der Ebene ergibt dies ru₁-tv₁=q₁-p₁ und ru₂-tv₂=q₂-p₂. Die eindeutigen Parameter rₛ und tₛ liefern nach Einsetzen den Schnittpunkt.

Winkel und Abstände

Für eine Gerade ax+by=c ist der Neigungswinkel \alpha durch \tan\alpha=-\frac{a}{b} und damit \alpha=\arctan\left(-\frac{a}{b}\right) gegeben. Bei b=0 ist die Gerade senkrecht; die Formeln sind dann nicht definiert, denn \tan\alpha hat bei \alpha=90° und \alpha=-90° Polstellen.

Der Schnittwinkel \theta zweier sich schneidender Geraden mit linear unabhängigen Richtungsvektoren \vec r₁ und \vec r₂ ist \theta=\arccos\frac{\vec r₁\cdot\vec r₂}{|\vec r₁||\vec r₂|}. Sie sind genau dann orthogonal, wenn \theta=90° beziehungsweise \vec r₁\cdot\vec r₂=0. Für Koordinatenformen a₁x+b₁y=c₁ und a₂x+b₂y=c₂ gilt \theta=\alpha₁-\alpha₂ sowie \tan\theta=\frac{a₁b₂-a₂b₁}{a₁a₂+b₁b₂}. Daher ist \theta=\arctan\frac{a₁b₂-a₂b₁}{a₁a₂+b₁b₂}; bei a₁a₂+b₁b₂=0 liegt der orthogonale Spezialfall vor, für den die Tangensformeln nicht definiert sind.

Der Abstand des Punkts (x₀,y₀) von ax+by+c=0 beträgt \frac{|ax₀+by₀+c|}{\sqrt{a²+b²}}. Verläuft die Gerade durch (x₁,y₁) und (x₂,y₂), können a=y₂-y₁, b=x₁-x₂ und c=x₂y₁-x₁y₂ eingesetzt werden.

Im dreidimensionalen Raum beträgt der Abstand von \vec p₀ zu der durch \vec p₁ und \vec p₂ bestimmten Geraden \frac{|(\vec p₂-\vec p₁)\times(\vec p₁-\vec p₀)|}{|\vec p₂-\vec p₁|}. Für zwei durch \vec p₁,\vec p₂ beziehungsweise \vec p₃,\vec p₄ bestimmte Geraden lautet er \frac{|(\vec p₃-\vec p₁)\cdot((\vec p₂-\vec p₁)\times(\vec p₄-\vec p₃))|}{|(\vec p₂-\vec p₁)\times(\vec p₄-\vec p₃)|}.

Anwendungen in Technik und Vermessung

In technischen Fachgebieten ist die Gerade ein wichtiges Element für Konstruktionen, Trassierung, Ortsbestimmung und das Einmessen von Koordinaten. Sie dient als zwei Schenkel bei der Winkelmessung, zur Messung von Richtungen und Entfernungen sowie für Alignements und das Abstecken von Linien. Praktisch wird sie bei Messungen etwa durch die Zielachse eines Messfernrohrs oder durch einen Laser dargestellt; im Bauwesen kann ein Schnurgerüst diese Funktion übernehmen.