Fläche (Mathematik)

Begriff und elementargeometrische Bedeutung

Eine Fläche ist im anschaulichen Sinn ein zweidimensionales Objekt im dreidimensionalen Raum. Sie kann flach oder gekrümmt sein. Beispiele sind eine Ebene, eine zweidimensionale geometrische Figur oder die Begrenzungsfläche eines dreidimensionalen Körpers. Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche; der Artikel behandelt jedoch das mathematische Objekt „Fläche“ und nicht dessen Flächeninhalt.

Je nach mathematischem Teilgebiet wird der Begriff unterschiedlich genau definiert. Gemeinsam ist den Definitionen, dass eine Fläche zweidimensional ist. In der Elementargeometrie bezeichnet man beispielsweise Vielecke oder das Innere eines Kreises in der Ebene als Flächen. Im Raum begrenzen Flächen Körper wie Zylinder und Kegel. Die Seitenflächen eines Körpers bilden zusammen seine Oberfläche. Wird die Oberfläche in eine Ebene aufgefaltet, entsteht ein Körpernetz. Diese elementargeometrische Vorstellung erklärt den Begriff, ist aber keine mathematisch strenge Definition.

Flächen im dreidimensionalen Raum

Viele Flächen lassen sich als Lösungsmenge einer Gleichung beschreiben. Die Sphäre (Kugelfläche) mit Mittelpunkt (0,0,0) und Radius r erfüllt x² + y² + z² = r². Ein einschaliges Hyperboloid kann durch x² + y² − z² = 1 beschrieben werden. Allgemein bringt man solche Gleichungen in die Form f(x,y,z) = 0. Nicht jede Lösungsmenge ist eine Fläche: Die Gleichung x² + y² + z² = 0 beschreibt nur den Punkt (0,0,0).

Ist f: ℝ³ → ℝ glatt und für jede Lösung (x₀,y₀,z₀) der Gradient grad f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) kein Nullvektor, so heißt 0 ein regulärer Wert von f und die Lösungsmenge eine reguläre Fläche. Allgemein muss es zu jedem Punkt (x₀,y₀,z₀) einer regulären Fläche S eine Umgebung V ⊆ ℝ³ und eine differenzierbare Funktion f: V → ℝ geben, sodass 0 ein regulärer Wert ist und S ∩ V = { (x,y,z) ∈ V : f(x,y,z) = 0 } gilt.

Eine reelle algebraische Fläche ist eine Fläche, die durch eine Polynomfunktion f ∈ ℝ[x,y,z] beschrieben wird. Die algebraische Beschreibung kann von der anschaulichen Vorstellung abweichen. Beim Whitney-Regenschirm x² − y²z = 0 gehört neben dem sichtbaren Flächenteil auch die z-Achse als „Stiel“ zur Lösungsmenge; beide Teile lassen sich algebraisch nicht voneinander trennen. Flächen zweiter Ordnung werden durch ein Polynom vom Grad 2 beschrieben. Beispiele sind der Zylinder x² + y² = 1 und der Doppelkegel x² + y² − z² = 0. Der Doppelkegel ist wegen einer Singularität im Nullpunkt keine reguläre Fläche.

Eine andere Beschreibung erfolgt durch eine Parametrisierung. Ein Flächenstück ist eine auf einer Teilmenge U ⊆ ℝ² definierte glatte Immersion φ: U → ℝ³. Eine Immersion ist eine Abbildung, deren Jacobi-Matrix überall vollen Rang hat; gleichwertig ist, dass ihre Ableitung als lineare Abbildung injektiv ist. Der einfachste Fall ist ein Funktionsgraph (u,v) ↦ (u,v,f(u,v)). Durch einen Rollenwechsel bei x,y,z können Funktionsgraphen lokal beliebige Flächenstücke beschreiben. Eine reguläre Fläche ist lokal durch solche Parametrisierungen gegeben, die einen Homöomorphismus von U auf S ∩ V induzieren.

Regelflächen besitzen eine Parametrisierung der Form φ: I × ℝ → ℝ³, (u,v) ↦ p(u) + v r(u), wobei I ein Intervall ist. An jedem Stützpunkt p(u) liegt eine Gerade mit Richtung r(u). Wenn r(u) ≠ 0 gilt und p′(u) nicht im Erzeugnis von r(u) und r′(u) liegt, entsteht eine immersierte Fläche. Das einschalige Hyperboloid ist eine reguläre Regelfläche; der Flächenanteil des Whitney-Regenschirms ist mit Ausnahme der Spitze eine immersierte Regelfläche.

Eine Rotationsfläche entsteht durch Rotation eines Funktionsgraphen um eine Koordinatenachse. Für eine glatte Funktion f: ℝ → ℝ ergibt die Rotation des Graphen y = f(x), z = 0 um die x-Achse die Parametrisierung (u,v) ↦ (u, f(u) cos v, f(u) sin v). Für f(u) > 0 für alle u ist die Fläche regulär. Hat f Nullstellen, ist sie keine immersierte Fläche.

Tangentialebene und Krümmung

Ist S eine reguläre Fläche und x ein Punkt auf S, so liefert eine lokale reguläre Parametrisierung φ mit φ(x₀) = x durch ihre Ableitung dφ(x₀): ℝ² → ℝ³ einen zweidimensionalen Unterraum. Dieser heißt Tangentialebene TₓS. Anschaulich wird der Unterraum um den Punkt x verschoben. Ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Tangentialebene.

Wird S lokal durch f = 0 beschrieben und ist 0 ein regulärer Wert, dann ist grad f an jedem Punkt der Fläche ein Normalenvektor. Die Tangentialebene ist daher die Ebene, die senkrecht auf dem Gradienten steht.

Für einen Einheitsnormalenvektor nₓ und einen Tangentialvektor v der Länge 1 betrachtet man die von nₓ und v aufgespannte orientierte Ebene Eₓ,v. Der lokale Schnitt S ∩ Eₓ,v ist eine reguläre Kurve. Ist c diese nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit c(0) = x, so ist ihre Krümmung κₓ(v) durch c″(0) = −κₓ(v) · nₓ definiert. κₓ(v) heißt Krümmung der Fläche in Richtung v.

Nimmt die Krümmung nicht in allen Richtungen denselben Wert an, gibt es zwei orthogonale Richtungen, in denen sie ihr Maximum κ₁ beziehungsweise ihr Minimum κ₂ annimmt. Diese heißen Hauptkrümmungen; die zugehörigen Richtungen heißen Hauptkrümmungsrichtungen. Daraus folgen die gaußsche Krümmung K = κ₁ · κ₂ und die mittlere Krümmung H = (κ₁ + κ₂)/2. Beim Wechsel des Normalenvektors wechseln die Hauptkrümmungen ihr Vorzeichen. K bleibt gleich, während H ebenfalls sein Vorzeichen wechselt. Für eine Sphäre mit Radius R gilt bei nach außen zeigendem Normalenvektor K = 1/R² und H = 1/R.

Durch κₓ(λv) = λ² · κₓ(v) für λ ∈ ℝ wird die Krümmung zu einer quadratischen Form auf der gesamten Tangentialebene fortgesetzt. Die zugehörige Bilinearform heißt zweite Fundamentalform IIₓ. Sie lässt sich als IIₓ(v₁,v₂) = ⟨v₁,Lₓv₂⟩ schreiben, wobei Lₓ die Weingartenabbildung ist. Die Hauptkrümmungen und Hauptkrümmungsrichtungen sind Eigenwerte beziehungsweise Eigenvektoren dieser Abbildung.

Abwickelbare Flächen haben überall gaußsche Krümmung 0. Besitzt eine solche Fläche keine planaren Punkte, also keine Punkte, an denen beide Hauptkrümmungen 0 sind, ist sie abwickelbar. Flächen mit gaußscher Krümmung 0 sind lokal isometrisch zur Ebene: Sie können ohne innere Formverzerrung auf die Ebene abgebildet werden. Zylinder und Kegel lassen sich durch Abwickeln ihres Mantels in die Ebene übertragen.

Krümmungslinien, Flächeninhalt und Orientierbarkeit

Eine reguläre Kurve auf einer Fläche heißt Krümmungslinie, wenn ihre Tangentenrichtung in jedem Punkt eine Hauptkrümmungsrichtung ist. Bei ihrer Bestimmung ist der Satz von Dupin hilfreich. Beispiele sind die Kreise und Geraden auf einem senkrechten Kreiszylinder, die Kreise und dazu senkrechten Hyperbeln auf einem einschaligen Rotationshyperboloid sowie die Kreise auf einer Dupinschen Zyklide.

Auf einer Fläche mit negativer gaußscher Krümmung ist die Indikatrix eine Hyperbel. Eine reguläre Kurve heißt dort Asymptotenlinie, wenn ihre Tangentenrichtung in jedem Punkt der Richtung einer Asymptote der Indikatrix entspricht. Es gibt in jedem Punkt zwei Asymptotenlinien; der Winkel zwischen ihnen wird von den Krümmungslinien halbiert. Enthält eine Fläche eine Gerade, ist diese eine Asymptotenlinie. Auf einem einschaligen Hyperboloid sind die Geraden solche Linien.

Mit der gramschen Determinante lässt sich der Flächeninhalt eines parametrisierten Flächenstücks bestimmen und eine Integrationstheorie entwickeln. Für φ: U → ℝ³ und f: S → ℝ gilt ∫φ(U) f = ∫U √det(dφ(u) · dφ(u)ᵀ) · f(φ(u)) du. Für Integrale über die gesamte Fläche muss man die Fläche gegebenenfalls in mehrere Flächenstücke unterteilen.

Eine Minimalfläche hat lokal minimalen Flächeninhalt; genauer ist ihre Parametrisierung ein kritischer Punkt des Flächeninhaltsfunktionals. Seifenhäute nehmen bei geeigneten Rahmen, etwa einem Blasring, solche Formen an. Minimalflächen sind dadurch charakterisiert, dass ihre mittlere Krümmung überall 0 ist. Die gaußsche Krümmung misst außerdem die Abweichung des lokalen Flächeninhalts vom ebenen Fall. Ist A(r) der Flächeninhalt einer Scheibe mit Radius r um einen Punkt, dann gilt K = (12/π) · limr→0 (πr² − A(r))/r⁴.

Orientierbarkeit bedeutet, dass sich global zwei Seiten einer Fläche unterscheiden lassen. Das Möbiusband ist ein Beispiel für eine nicht orientierbare Fläche. Bei einer regulären Fläche gibt es in jedem Punkt zwei Einheitsnormalenvektoren, die zu den beiden Seiten zeigen. Kann man für jeden Punkt glatt eine der beiden Richtungen auswählen, ist die Fläche orientierbar. Für die Nullstellenmenge S einer Funktion f: ℝ³ → ℝ mit regulärem Wert 0 ist grad f/|grad f| ein solcher Einheitsnormalenvektor; diese Fläche ist daher orientierbar. Jede kompakte reguläre Fläche ohne Rand ist ebenfalls orientierbar. Für abstrakte Flächen gilt dies jedoch nicht allgemein, etwa bei der projektiven Ebene oder der Kleinschen Flasche.

Abstrakte Flächen und zusätzliche Strukturen

In Topologie, Differentialtopologie, riemannscher Geometrie und Funktionentheorie betrachtet man Flächen auch ohne Einbettung in den dreidimensionalen Raum. Sie heißen abstrakte Flächen oder 2-Mannigfaltigkeiten. Eine Fläche ist topologisch ein Hausdorff-Raum, der lokal homöomorph zu ℝ² ist. Diese lokalen Homöomorphismen heißen Karten; ihre Gesamtheit bildet einen Atlas. Eine kompakte Fläche ohne Rand wird auch geschlossen genannt.

Bei einer regulären Parametrisierung φ: U → ℝ³ überträgt die Ableitung dφ die Längen von Tangentialvektoren auf eine Bilinearform gᵤ(v₁,v₂) = ⟨dφ(u)v₁,dφ(u)v₂⟩. Diese erste Fundamentalform heißt im abstrakten Zusammenhang riemannsche Metrik. Sie enthält die Information über Flächeninhalte und Integrale. Die zweite Fundamentalform und die Hauptkrümmungen lassen sich dagegen nicht allein aus dieser Metrik ablesen: Ein Zylinderstück mit φ(u₁,u₂) = (cos u₁, sin u₁, u₂) besitzt dieselbe Metrik wie ein ebenes Stück. Nach dem Theorema egregium von Carl Friedrich Gauß hängt die gaußsche Krümmung jedoch nur von der riemannschen Metrik ab.

Das ermöglicht die Untersuchung von Flächen ohne Einbettung in ℝ³. Die hyperbolische Ebene besitzt eine riemannsche Metrik mit konstanter negativer Krümmung, kann aber nach einem Satz von David Hilbert nicht isometrisch in den euklidischen Raum eingebettet werden. Die reelle projektive Ebene lässt überhaupt keine Einbettung in den euklidischen Raum zu, sondern nur Immersionen, beispielsweise als Boysche Fläche.

Die einfachsten kompakten Flächen sind die 2-dimensionale Sphäre und der 2-dimensionale Torus. Weitere kompakte orientierbare Flächen entstehen als zusammenhängende Summe von g Tori. Dabei werden aus jeder Fläche ein 2-Ball entfernt und die eindimensionalen Randsphären verklebt. Die Zahl g heißt Geschlecht. Die Euler-Charakteristik einer Fläche vom Geschlecht g ist 2 − 2g. Die Sphäre besitzt eine sphärische Metrik, der Torus flache Metriken und Flächen mit Geschlecht mindestens 2 hyperbolische Metriken. Der Modulraum hyperbolischer Metriken auf einer gegebenen Fläche heißt Teichmüller-Raum.

Zusätzliche Strukturen führen zu speziellen Flächen. Eine differenzierbare Struktur erlaubt das Differenzieren von Funktionen und die Definition von Tangentialebenen. Orientierbarkeit kann dann unabhängig von einem umgebenden Raum über Karten und Tangentialebenen definiert werden. Eine komplexe Struktur macht eine Fläche zu einer riemannschen Fläche und erlaubt die Definition holomorpher Funktionen. Sie hat topologisch die Dimension 2, in der Funktionentheorie jedoch die komplexe Dimension 1. Kompakte riemannsche Flächen sind projektive algebraische Kurven.

Eine riemannsche Metrik ist ein differenzierbar vom Basispunkt abhängendes Skalarprodukt auf jeder Tangentialebene. Jede reguläre Fläche in ℝ³ erhält eine solche Metrik durch Einschränkung des Standardskalarprodukts. Auf orientierbaren Flächen bestimmt eine riemannsche Metrik eine konforme Struktur, bei der Winkel, aber nicht die vollständige Längeninformation erhalten bleiben. Die 90°-Drehung auf den Tangentialräumen ist eine fastkomplexe Struktur; auf Flächen ist jede fastkomplexe Struktur eine komplexe Struktur.

Klassifikation und Verallgemeinerungen

Der Klassifikationssatz besagt, dass jede geschlossene Fläche zu genau einer Fläche aus einer bestimmten Liste homöomorph ist. Jede orientierbare Fläche ist homöomorph zur verbundenen Summe von g ≥ 0 Tori. Für g = 0 erhält man die Sphäre, für g = 1 den Torus; g ist das Geschlecht. Jede nicht orientierbare Fläche ist homöomorph zu einer verbundenen Summe von projektiven Ebenen. Für geschlossene differenzierbare Flächen gilt dieselbe Aussage mit Diffeomorphie. Bei geschlossenen Flächen stimmen außerdem die Klassifikationen nach Homotopieäquivalenz, Homöomorphie, PL-Äquivalenz und Diffeomorphie überein.

Für riemannsche Flächen gilt diese Klassifikation nicht unmittelbar, weil eine orientierbare geschlossene Fläche verschiedene komplexe Strukturen tragen kann. Für Geschlecht 0 gibt es nur eine riemannsche Fläche, die projektive Gerade oder riemannsche Zahlenkugel. Für Geschlecht 1 sind riemannsche Flächen bis auf die Wahl eines Basispunkts elliptische Kurven und werden durch ihre j-Invariante klassifiziert. Für g > 1 werden sie durch den Teichmüller-Raum parametrisiert, der eine (3g − 3)-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit ist.

Nach dem Uniformisierungssatz gibt es für die universelle Überlagerung einer riemannschen Fläche nur drei Möglichkeiten: die riemannsche Zahlenkugel, die komplexe Zahlenebene oder die obere Halbebene, entsprechend den Fällen g = 0, g = 1 und g > 1.

Geschlossene Flächen mit riemannscher Metrik sind für eine vollständige Klassifikation zu kompliziert. Einfach zusammenhängende, vollständige Flächen mit konstanter Krümmung lassen sich nach Skalierung auf die Krümmungen +1, 0 und −1 beschränken. Bis auf Isometrie gibt es jeweils genau eine: bei +1 die Einheitssphäre, bei 0 die euklidische Ebene und bei −1 die hyperbolische Ebene. Nach einem Satz von Jacques Hadamard ist jede einfach zusammenhängende vollständige Fläche mit überall nichtpositiver, nicht notwendigerweise konstanter Krümmung diffeomorph zur Ebene.

Nimmt man in der Definition einer topologischen oder differenzierbaren Fläche die Halbebene { (x,y) ∈ ℝ² : x ≥ 0 } als zusätzliches lokales Modell auf, erhält man eine Fläche mit Rand. Punkte, die auf die Gerade x = 0 abgebildet werden, heißen Randpunkte. Die abgeschlossene Einheitskreisscheibe ist eine differenzierbare Fläche mit Rand; das abgeschlossene Einheitsquadrat ist eine topologische Fläche mit Rand. Teilmengen von ℝⁿ mit ähnlichen Differenzierbarkeitseigenschaften heißen Untermannigfaltigkeiten; solche der Dimension n − 1 heißen Hyperflächen. Höherdimensionale Verallgemeinerungen sind topologische und differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Das Analogon zu riemannschen Flächen sind komplexe Mannigfaltigkeiten; komplexe Mannigfaltigkeiten der Dimension 2 heißen komplexe Flächen und sind vierdimensionale reelle Mannigfaltigkeiten.