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Lineare Algebra
Die lineare Algebra (auch Vektoralgebra) ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektorräumen beschäftigt. Ähnlich wie in anderen Teilgebieten der …
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Grundidee und Bedeutung
Die lineare Algebra, auch Vektoralgebra genannt, ist ein Teilgebiet der Mathematik, das Vektorräume und lineare Abbildungen untersucht. Ein Vektorraum ist eine Menge von Objekten, den Vektoren, in der man Vektoren addieren und mit Zahlen aus einem festen Körper multiplizieren kann. Lineare Abbildungen sind Abbildungen zwischen Vektorräumen, die diese Rechenregeln erhalten. Sie können in endlichdimensionalen Fällen durch Matrizen dargestellt werden.
Die lineare Algebra ist wichtig, weil sie ein gemeinsames Werkzeug für viele mathematische und angewandte Probleme liefert. Sie wird in der Mathematik selbst, in den Naturwissenschaften, in der Informatik und in den Wirtschaftswissenschaften verwendet, zum Beispiel in der Optimierung. Ihre beiden ursprünglichen Ausgangspunkte sind das Lösen linearer Gleichungssysteme und die rechnerische Beschreibung geometrischer Objekte in der analytischen Geometrie.
Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus Gleichungen, in denen die Unbekannten nur linear vorkommen, zum Beispiel
- x_1 + x_2 = 1
- 3x_1 + 6x_2 = 4
Der zentrale Abstraktionsschritt besteht darin, die linken Seiten als Funktion A der Unbekannten x = (x_1, x_2) aufzufassen:
A(x) = (x_1 + x_2, 3x_1 + 6x_2)^T.
Dann wird das Lösen des Gleichungssystems zur Aufgabe, ein x zu finden, sodass A(x) = (1, 4)^T gilt. Die relevanten Zahlen können als Matrix geschrieben werden:
A = ((1, 1), (3, 6)).
Eine solche Abbildung ist linear. Das bedeutet: Wenn x eine Lösung von A(x)=b und y eine Lösung von A(y)=c ist, dann ist x+y eine Lösung von A(x+y)=b+c. Außerdem gilt für jede reelle Zahl λ: A(λx)=λ·A(x). Diese beiden Eigenschaften sind die grundlegenden Rechenregeln linearer Abbildungen.
Geometrie und Vektorräume
In der analytischen Geometrie beschreibt man Punkte im zwei- oder dreidimensionalen euklidischen Raum mit Koordinaten. Im dreidimensionalen Raum ist ein Punkt zum Beispiel ein Tripel (x_1, x_2, x_3). Verschiebungen führen zum Begriff des Vektors: Ein Vektor hat eine Richtung und einen Betrag. Auch viele physikalische Größen, etwa Kräfte, haben einen Richtungsaspekt.
Da Vektoren ebenfalls durch Zahlentripel (a_1, a_2, a_3) beschrieben werden können, ist die Trennung zwischen Punkten und Vektoren in Koordinaten oft eng: Einem Punkt P entspricht sein Ortsvektor vom Ursprung nach P. Viele geometrische Abbildungen, zum Beispiel Drehungen um Achsen durch den Ursprung oder Spiegelungen an Ebenen durch den Ursprung, sind lineare Abbildungen.
Der Begriff des Vektorraums verallgemeinert diese Beispiele. Ein Vektorraum besitzt eine Addition von Vektoren und eine Skalarmultiplikation, also die Multiplikation von Vektoren mit Zahlen aus einem festen Körper. Jedem Vektorraum ist eine Dimension zugeordnet: Die Ebene hat Dimension 2, der Anschauungsraum Dimension 3. Es gibt auch unendlichdimensionale Vektorräume; mit zusätzlicher topologischer Struktur werden sie in der Funktionalanalysis untersucht. Der Artikel behandelt danach vor allem endlichdimensionale Vektorräume.
Zentrale Sätze und Begriffe
Jeder Vektorraum hat unter der Annahme des Auswahlaxioms mindestens eine Basis. Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, mit der sich alle Vektoren des Raums eindeutig darstellen lassen. Hat ein Vektorraum eine endliche Basis, dann haben alle seine Basen gleich viele Elemente; diese Anzahl heißt Dimension. Für Faktorräume eines endlichdimensionalen Vektorraums V gilt die Formel dim V/U = dim V - dim U.
Eine lineare Abbildung f: V → W ist eindeutig festgelegt, wenn man die Bilder einer Basis von V kennt. Bei fest gewählten Basen kann jede lineare Abbildung durch eine Matrix beschrieben werden. Die Hintereinanderausführung linearer Abbildungen entspricht dann der Multiplikation ihrer Darstellungsmatrizen.
Ein lineares Gleichungssystem A·x=b mit A ∈ K^{m×n}, b ∈ K^m und x ∈ K^n ist genau dann lösbar, wenn der Rang von A gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b) ist. Ist es lösbar, dann ist die Lösungsmenge ein affiner Unterraum von K^n mit Dimension n - rang(A). Für nicht zu große Systeme kann man Rang und Lösungsraum mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren berechnen.
Für Endomorphismen, also lineare Abbildungen f: V → V eines endlichdimensionalen Vektorraums, gilt: Sie sind invertierbar, sobald sie injektiv oder surjektiv sind. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms; ein wichtiger Satz dazu ist der Satz von Cayley-Hamilton. In Skalarprodukträumen definiert das Skalarprodukt eine Norm durch ||x|| := √⟨x,x⟩. Dort gibt es Orthonormalbasen, die etwa mit dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren konstruiert werden können.
Vektoren, Matrizen und Invertierbarkeit
Vektoren endlichdimensionaler Räume werden durch Komponenten beschrieben. Sie können als Spaltenvektoren, zum Beispiel a = (3, 7, 2)^T, oder als Zeilenvektoren, zum Beispiel b = (4, 6, 3, 7), geschrieben werden. Einzelne Elemente werden durch Indizes angegeben, etwa a_2 = 7. Eine Matrix ist ein rechteckiges Raster von Zahlen. Ihre Elemente werden mit zwei Indizes bezeichnet, zum Beispiel ist m_{2,3}=2 das Element in der zweiten Zeile und dritten Spalte.
Ein allgemeinerer Begriff ist der Tensor: Skalare sind Tensoren nullter Stufe, Vektoren Tensoren erster Stufe und Matrizen Tensoren zweiter Stufe. Ein Tensor n-ter Stufe kann durch einen n-dimensionalen Zahlenwürfel dargestellt werden.
Bei linearen Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums auf sich selbst, also Endomorphismen, erhält man quadratische Matrizen. Die zweimalige Anwendung der Abbildung entspricht der Multiplikation mit A^2; allgemein kann man Potenzen und Polynome in A als lineare Abbildungen auffassen. Eine Matrix A ist invertierbar, wenn eine inverse Matrix A^{-1} existiert mit A^{-1}A = AA^{-1} = E. Die nullte Potenz einer quadratischen Matrix ist die Einheitsmatrix E. Negative Potenzen sind nur für invertierbare Matrizen definiert. Eine quadratische Matrix ist invertierbar, wenn das Gleichungssystem Au=0 nur die Lösung 0 hat.
Die Determinante ordnet einer quadratischen Matrix eine Zahl zu. An ihr erkennt man unter anderem, ob eine Matrix invertierbar ist. Außerdem wird sie zur Berechnung des charakteristischen Polynoms und damit der Eigenwerte verwendet. Theoretische Berechnungsformeln sind der Laplace’sche Entwicklungssatz und die Leibniz-Formel; praktisch bringt man Matrizen oft mit dem Gauß-Algorithmus in Dreiecksform, sodass die Determinante das Produkt der Hauptdiagonalelemente ist.
Eigenwerte, Diagonalisierung und Fibonacci-Beispiel
Die Diagonalisierung hilft, Matrizen besser zu verstehen, besonders bei Potenzen. Eine Diagonalmatrix lässt sich leicht potenzieren, weil man nur die einzelnen Diagonaleinträge potenziert. Gibt es eine invertierbare Matrix T, sodass T^{-1}AT Diagonalform hat, dann gilt (T^{-1}AT)^n = T^{-1}A^nT. Damit kann man Potenzen von A über eine einfachere Diagonalmatrix berechnen.
Das Beispiel im Artikel nutzt die Fibonacci-Folge f_n mit f_0=0, f_1=1 und f_{n+1}=f_n+f_{n-1} für n≥1. Sie kann mit der Matrix A = ((1,1),(1,0)) beschrieben werden:
(f_{n+1}, f_n)^T = A^n · (1,0)^T für n≥0.
Für diese Matrix findet man eine Transformationsmatrix T, sodass T^{-1}AT = diag(φ, 1-φ), wobei φ = (1+√5)/2 der goldene Schnitt ist. Daraus ergibt sich die Formel von Binet:
f_n = 1/√5 · [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n].
Ein Eigenwert einer Matrix ist eine Zahl, zu der es einen von Null verschiedenen Vektor u gibt, sodass Au = xu gilt. Dieser Vektor heißt Eigenvektor. Bei Diagonalmatrizen sind die Eigenwerte die Diagonaleinträge. Eigenwerte bleiben bei Basiswechseln unverändert. Man findet sie, indem man untersucht, für welche x die Matrix xE-A nicht invertierbar ist; äquivalent setzt man det(xE-A)=0. Diese Determinante ist das charakteristische Polynom. Im Fibonacci-Beispiel entsteht x^2 - x - 1 = 0 mit den Lösungen x=φ und x=1-φ.
Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie durch einen Basiswechsel in Diagonalform gebracht werden kann. Das hängt vom Zahlbereich ab: Die Fibonacci-Matrix ist über den rationalen Zahlen nicht diagonalisierbar, weil φ und 1-φ irrational sind. Diagonalisierbarkeit kann auch scheitern, wenn nicht genügend Eigenwerte vorhanden sind, etwa bei der Matrix ((1,1),(0,1)), die nur den Eigenwert 1 hat. Über einem genügend großen Zahlbereich, zum Beispiel den komplexen Zahlen, kann jede Matrix diagonalisiert oder in jordansche Normalform gebracht werden.
