Kurve (Mathematik)

Grundidee und Darstellungen

Eine Kurve ist in der Mathematik ein eindimensionales Objekt. Eindimensional bedeutet informell: Auf der Kurve kann man sich nur in eine Richtung oder in die Gegenrichtung bewegen. Eine Kurve muss nicht gerade sein, sondern kann beliebig verlaufen. Sie kann in der Ebene, in einem höherdimensionalen Raum oder auch in einer Mannigfaltigkeit liegen.

Eine wichtige Beschreibung ist die Parameterdarstellung. Dabei wird eine Kurve als Bild eines Weges verstanden. Ein Weg ist eine stetige Abbildung von einem Intervall in den betrachteten Raum, zum Beispiel in die euklidische Ebene \mathbb{R}^2. Der Weg liefert also zu jedem Parameterwert einen Punkt der Kurve. Man nennt Wege deshalb auch parametrisierte Kurven.

Beispiele sind die Abbildung [0,2\pi]\to \mathbb{R}^2,\ t\mapsto (\cos t,\sin t), die den Einheitskreis beschreibt, und die Abbildung \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2,\ t\mapsto (t^2-1,t(t^2-1)), die eine Kurve mit einem einfachen Doppelpunkt bei (0,0) beschreibt. Dieser Punkt gehört zu den Parameterwerten t=1 und t=-1.

Parameterwechsel, Richtung und Glattheit

Verschiedene Parameterdarstellungen können dieselbe Kurve beschreiben. Eine Parametertransformation \phi ist ein Homöomorphismus, also eine umkehrbar stetige Abbildung, die zwei parametrisierte Kurven ineinander überführt. Für zwei Darstellungen c\colon I\to C und c'\colon J\to C derselben Kurve gilt bei einem Parameterwechsel \phi\colon J\to I: c'=c\circ \phi. Umgekehrt gilt c=c'\circ \phi^{-1}.

Durch eine Parameterdarstellung bekommt die Kurve einen Richtungssinn: Man durchläuft sie in Richtung des wachsenden Parameters. Eine gerichtete oder orientierte Kurve ist eine Äquivalenzklasse von Wegen, die sich durch streng monoton steigende Parametertransformationen ineinander überführen lassen. Die Spur einer Kurve ist die eindeutige Menge ihrer Bildpunkte, unabhängig davon, welche Parameterdarstellung gewählt wird.

Bei glatten Kurven verlangt man zusätzlich Differenzierbarkeit. Genauer fordert man k-fache stetige Differenzierbarkeit für k=1,2,\ldots,\infty. Die entsprechenden Kurvenklassen heißen C^k.

Gleichungen und Funktionsgraphen

Kurven können nicht nur parametrisch, sondern auch durch Gleichungen in Koordinaten beschrieben werden. Der Einheitskreis in der Ebene hat zum Beispiel die Gleichung x^2+y^2=1. Die oben genannte Kurve mit Doppelpunkt kann durch y^2=x^2(x+1) beschrieben werden. Wenn die Gleichung durch ein Polynom gegeben ist, nennt man die Kurve algebraisch.

Funktionsgraphen sind ein Spezialfall von Parameterdarstellungen und Gleichungsdarstellungen. Für eine Funktion f\colon D\to \mathbb{R},\ x\mapsto f(x) kann der Graph parametrisch als D\to \mathbb{R}^2,\ t\mapsto (t,f(t)) angegeben werden. Als Menge schreibt man \Gamma_f=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=f(x)\}. Wenn in der Schulmathematik von Kurvendiskussion gesprochen wird, meint man üblicherweise diesen Spezialfall.

Länge, Bogenlänge und Krümmung

Für differenzierbare Kurven kann man Länge und Krümmung präzise definieren. Sei [a,b]\subset \mathbb{R} ein Intervall und c\colon [a,b]\to \mathbb{R}^n eine reguläre Kurve. Regulär bedeutet hier: |c'(x)|\neq 0 für alle x\in(a,b). Die Länge der Kurve ist l=\int_a^b |c'(t)|\,dt.

Die Funktion x\mapsto \int_a^x |c'(t)|\,dt ordnet jedem Punkt der Kurve die bis dahin zurückgelegte Bogenlänge zu. Sie ist ein Diffeomorphismus von [a,b] nach [0,l]. Mit ihrer Umkehrfunktion kann man die Kurve neu parametrisieren. Für die neue Kurve \tilde c\colon [0,l]\to \mathbb{R}^n gilt |\tilde c'(x)|=1 für alle x\in(0,l). Dann sagt man: Die Kurve ist nach der Bogenlänge parametrisiert.

Ist eine Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert, wird ihre Krümmung an der Stelle s durch \kappa(s)=|c''(s)| definiert. Für ebene Kurven kann die Krümmung zusätzlich ein Vorzeichen bekommen. Ist J die Drehung um 90°, so wird \kappa(s) durch c''(s)=\kappa(s)\cdot Jc'(s) festgelegt. Positive Krümmung entspricht Linkskurven, negative Krümmung Rechtskurven.

Geschlossene Kurven und Schleifen

Eine ebene Kurve c\colon [0,1]\to \mathbb{R}^2 heißt geschlossen, wenn c(0)=c(1). Sie heißt einfach geschlossen, wenn zusätzlich c auf [0,1) injektiv ist, also dort keine zwei verschiedenen Parameterwerte denselben Punkt liefern. Der Jordansche Kurvensatz besagt, dass eine einfach geschlossene Kurve die Ebene in einen beschränkten und einen unbeschränkten Teil zerlegt.

Ist c eine geschlossene Kurve mit c(t)\neq(0,0) für alle t\in[0,1], kann man ihr eine Umlaufzahl zuordnen. Diese gibt an, wie oft die Kurve um den Nullpunkt herumläuft. Für glatte geschlossene Kurven gibt es außerdem die Tangentenumlaufzahl. Ist die Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert, c\colon [0,l]\to \mathbb{R}^2, dann ist sie gegeben durch \frac{1}{2\pi}\int_0^l \kappa(t)\,dt. Der Umlaufsatz von Heinz Hopf besagt, dass eine einfache geschlossene Kurve Tangentenumlaufzahl 1 oder -1 hat.

In einem topologischen Raum X spricht man bei geschlossenen Wegen c\colon [0,1]\to X mit c(0)=c(1) auch von Schleifen mit Basispunkt c(0). Schleifen können als stetige Abbildungen S^1\to X aufgefasst werden. Zwei Schleifen mit demselben Basispunkt heißen homotop, wenn sie unter Beibehaltung des Basispunkts stetig ineinander deformiert werden können. Die Äquivalenzklassen solcher Schleifen bilden die Fundamentalgruppe von X. Für X=\mathbb{R}^2-\{0\} ist diese Fundamentalgruppe über die Windungszahl isomorph zu \mathbb{Z}.

Raumkurven und eigenständige Kurven

Bei Raumkurven betrachtet man Kurven in \mathbb{R}^3. Ist c\colon [a,b]\to \mathbb{R}^3 nach der Bogenlänge parametrisiert, verwendet man die Standardgrößen t(s)=c'(s), n(s)=\frac{t'(s)}{|t'(s)|} und b(s)=t(s)\times n(s), sofern t'(s)\neq 0. Dabei ist t(s) der Tangentialvektor, n(s) der Normalenvektor und b(s) der Binormalenvektor. Zusammen bilden sie das begleitende Dreibein.

Die Krümmung ist \kappa(s)=|t'(s)|=|c''(s)|. Die Windung \tau(s) ist durch b'(s)=-\tau(s)n(s) definiert. Die frenetschen Formeln lauten: t'=\kappa n, n'=-\kappa t+\tau b, b'=-\tau n. Der Hauptsatz der lokalen Kurventheorie besagt: Sind glatte Funktionen \kappa,\tau\colon [0,l]\to \mathbb{R} mit \kappa(s)>0 für alle s\in[0,l], dann gibt es bis auf Bewegungen genau eine entsprechende Kurve.

Die von je zwei Vektoren des Dreibeins aufgespannten Ebenen haben besondere Namen: Die Oskulationsebene oder Schmiegeebene wird von t und n aufgespannt, die Normalebene von n und b, die rektifizierende Ebene oder Streckebene von t und b.

Kurven ohne umgebenden Raum sind in der Differentialgeometrie relativ uninteressant, weil jede eindimensionale Mannigfaltigkeit diffeomorph zur reellen Geraden \mathbb{R} oder zur Einheitskreislinie S^1 ist. Intrinsische Eigenschaften wie Krümmung lassen sich dann nicht feststellen. In der algebraischen Geometrie und in der komplexen Analysis bezeichnet „Kurve“ dagegen meist eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten, oft Riemannsche Flächen; ein wichtiges Beispiel sind elliptische Kurven.