Geometrie

Grundidee der Geometrie

Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Im schulnahen Sinn meint sie vor allem die zwei- und dreidimensionale euklidische Geometrie, also die Elementargeometrie. Sie beschäftigt sich mit grundlegenden Objekten wie Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen und Winkeln. Früher wurde dieser Bereich im Unterricht auch Raumlehre genannt.

In einem weiteren, modernen Sinn umfasst Geometrie mehrere große Teilgebiete der Mathematik. Dabei geht es nicht nur um Figuren in Ebene und Raum, sondern allgemein um Strukturen und um Größen oder Eigenschaften, die bei bestimmten Veränderungen gleich bleiben. Solche gleichbleibenden Eigenschaften heißen Invarianten.

Geometrien und Axiome

Der Plural Geometrien bedeutet, dass Geometrie auch als mathematische Struktur verstanden werden kann. Eine solche Struktur besteht traditionell aus Elementen wie Punkten, Geraden und Ebenen. Ihre Beziehungen werden durch Axiome geregelt, also durch grundlegende Annahmen, aus denen weitere Aussagen bewiesen werden. Dieser Zugang geht auf Euklid zurück, der die ebene euklidische Elementargeometrie auf wenige Postulate zurückführen wollte.

Wichtige Beispiele sind:

Projektive und affine Geometrie: Sie bestehen meist aus Punkten und Geraden. Ihre Axiome betreffen zum Beispiel Verbindungsgeraden von Punkten und Schnittpunkte von Geraden. Eine affine Geometrie kann durch Hinzufügen von Fernelementen zu einer projektiven Geometrie werden. Umgekehrt entsteht aus einer zwei- oder dreidimensionalen projektiven Geometrie eine affine Geometrie, wenn man eine Gerade beziehungsweise Ebene mit ihren Punkten entfernt.
Euklidische Geometrie: Sie ist die Geometrie, die aus den Axiomen und Postulaten Euklids abgeleitet wird. Da der überlieferte Aufbau Lücken hatte, stellte David Hilbert in Grundlagen der Geometrie (1899 und viele weitere Auflagen) ein Axiomensystem auf. Damit konnte die euklidische Geometrie bis auf Isomorphie eindeutig aufgebaut werden. In dieser Darstellung entspricht sie dem dreidimensionalen reellen Vektorraum: Punkte werden durch Vektoren dargestellt, Geraden durch Nebenklassen eindimensionaler Unterräume. Begriffe wie Strecken, Senkrechtstehen und Winkel werden wie in der seit Descartes üblichen analytischen Geometrie erklärt.
Nichteuklidische Geometrie: Sie umfasst Geometrien, die in vielen Eigenschaften der euklidischen Geometrie ähneln, in denen aber das Parallelenpostulat, auch Parallelenaxiom genannt, nicht gilt. Man unterscheidet elliptische und hyperbolische Geometrien.
Absolute Geometrie: Sie ist der gemeinsame Unterbau der euklidischen und der nichteuklidischen Geometrien. Dazu gehören alle Sätze, die ohne das Parallelenpostulat bewiesen werden können.

Transformationen und Invarianten

In jeder Geometrie untersucht man Transformationen, die bestimmte Eigenschaften nicht zerstören. Solche eigenschaftserhaltenden Abbildungen heißen Automorphismen. In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie verändern zum Beispiel Parallelverschiebung, Drehung und Spiegelung die Abstände zwischen Punkten nicht. Umgekehrt ist jede Transformation, die Abstände von Punkten unverändert lässt, eine Zusammensetzung aus Parallelverschiebungen, Drehungen und Spiegelungen.

Die Gesamtheit solcher Abbildungen bildet die Transformationsgruppe einer Geometrie. Der Abstand zweier Punkte ist in der ebenen euklidischen Geometrie eine euklidische Invariante. Felix Klein definierte Geometrie in seinem Erlanger Programm allgemein als Theorie der Transformationsgruppen und ihrer Invarianten. Der Artikel weist aber darauf hin, dass dies nicht die einzige mögliche Definition ist.

Beispiele für Invarianten sind:

In der projektiven Geometrie bleiben die Kollinearität von Punkten und das Doppelverhältnis von vier Punkten einer Geraden invariant.
In der affinen Geometrie bleiben die Parallelität von Geraden, das Teilverhältnis von drei Punkten einer Geraden und Flächeninhaltsverhältnisse invariant.
In der Ähnlichkeitsgeometrie bleiben zusätzlich Streckenverhältnisse und Winkel invariant.
In der euklidischen Geometrie kommen als weitere Invarianten Abstände von Punkten und Winkel hinzu.
In nichteuklidischen Geometrien sind Kollinearität von Punkten, Abstände von Punkten und Winkel invariant. Die beiden nichteuklidischen Geometrien passen jedoch nicht in die zuvor beschriebene Hierarchie.

Wichtige Teilgebiete

Zur Geometrie gehören mehrere große Gebiete mathematischer Forschung. Die Elementargeometrie ist der grundlegende Bereich, der besonders für Schule und anschauliche Figuren wichtig ist.

Die Differentialgeometrie verwendet vor allem Methoden der Analysis und der Topologie. Zu ihr gehören unter anderem die elementare Differentialgeometrie, die Differentialtopologie, die Riemannsche Geometrie und die Theorie der Lie-Gruppen.

Die algebraische Geometrie kann auch als Gebiet der Algebra betrachtet werden. Seit Bernhard Riemann nutzt sie außerdem Kenntnisse aus der Funktionentheorie. Teilgebiete sind zum Beispiel die Theorie algebraischer Gruppen, die Theorie abelscher Varietäten sowie torische und tropische Geometrie.

Weitere Bereiche sind die Konvexgeometrie, die im Wesentlichen von Hermann Minkowski begründet wurde, die synthetische Geometrie, die algorithmische Geometrie und die diskrete Geometrie. Die synthetische Geometrie arbeitet mit abstrakten geometrischen Objekten wie Punkten und Geraden und deren Beziehungen, etwa Schnitt, Parallelität und Orthogonalität. Die diskrete Geometrie beschäftigt sich unter anderem mit Polyedern, Pflasterungen, Packungen der Ebene und des Raumes, Matroiden sowie in der endlichen Geometrie mit Inzidenzstrukturen und Blockplänen.

Geometrie in der Schule

Im Geometrieunterricht werden normalerweise Werkzeuge wie Zirkel, Lineal und Geodreieck verwendet. Auch der Computer spielt eine Rolle, besonders bei dynamischer Geometrie, bei der Figuren verändert werden können und geometrische Zusammenhänge sichtbar bleiben.

Zu den Grundlagen im Unterricht gehören geometrische Transformationen und das Messen geometrischer Größen. Dazu zählen Länge, Winkel, Fläche, Volumen und Verhältnisse. Auch komplexere Objekte wie spezielle Kurven oder Kegelschnitte können behandelt werden.

Ein besonderer Bereich ist die darstellende Geometrie. Sie befasst sich mit der zeichnerischen Darstellung der dreidimensionalen euklidischen Geometrie in der zweidimensionalen Ebene.

Kurzer historischer Rahmen

Die älteste erhaltene Geometrieabhandlung in deutscher Sprache stammt vom Beginn des 15. Jahrhunderts. Sie heißt Geometria Culmensis und wurde im Auftrag des Deutschorden-Hochmeisters Konrad von Jungingen im Raum Culm verfasst. Sie enthält neben einem lateinischen Text, der im Wesentlichen auf der Practica geometriae des Dominicus de Calvasio beruht, auch dessen deutsche Übersetzung.

Als erstes gedrucktes und eigenständiges Geometriebuch in deutscher Sprache gilt Albrecht Dürers Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen aus dem Jahr 1525.