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Ebene in Koordinatenform aufstellen – mit Normalenvektor
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 30 Zeilen
- hallo ihr Lieben heute möchte ich euch zeigen wie man eine Ebene in Koordinatenform aufstellen kann stelle eine Gleichung der Ebene in
- Koordinatenform auf die durch den Punkt 205 verläuft und den normalen Vektor 53- 4 hat wir bekommen also zwei Informationen über unsere Ebene einmal
- einen Punkt der in unserer Ebene liegen soll das heißt wenn wir hier mal gerade eine kleine Zeichnung von unserer Ebene machen dann liegt dieser Punkt den nenne
- ich einfach mal P liegt der eben in unserer Ebene und wir bekommen den normalen Vektor von unserer Ebene gegeben das ist ja ein spezieller Vektor
- von dem weiß man immer dass der senkrecht auf unserer Ebene steht das ist der normalen Vektor n sehr wichtiger Vektor sehr gut dass er gegeben ist und
- mit diesen beiden Informationen die sind jetzt ausreichend um unsere Ebene aufzustellen lass uns das mal gerade noch mal sammeln also den Vektor den
- nennen wir n ab sofort der hat die Koordinaten 5 3 und -4 und unser Punkt P den wir P genannt haben der hat die Koordinaten
- 205 okay wir sollen unsere Ebene in Koordinatenform aufstellen wie sieht die aus die sieht grundsätzlich immer so aus dass sie wir a mal X + B y + C* Z = D
- haben die kann bei euch ein bisschen anders aussehen manche nutzen statt X Y und Z eben x1 x2 und X3 das ist eine Möglichkeit dass es anders aussieht hat
- aber natürlich dieselbe Struktur und andere Leute haben das den nicht auf der rechten Seite stehen sondern auf der linken Seite also wenn ihr das jetzt
- nach links bringen würdet würdet ihr - D rechnen die haben dann hier -d und auf der anderen Seite steht dann aber gleich 0 letztendlich wie sagt das hat dieselbe
- Struktur schnappt euch eure Form wie die bei euch aussieht und macht dann alle Schritte dementsprechend okay unsere Aufgabe ist
- es jetzt die Zahlen für a herauszufinden für B für C und für D das X Y und Z das bleibt bis zum Schluss hier in dieser Gleichung drin also unsere Aufgabe ist
- nur A B C und D zu finden das Gute ist dass A B und C super schnell zu finden sind wenn der normalen or gegeben ist denn das sind exakt die Koordinaten von
- dem normalen Vektor super praktisch also für a setzen wir die erste Koordinate von unserem Normalenvektor ein das ist die 5 das X bleibt stehen dann für B
- setzen wir die zweite Koordinate vom normalenveektor an das ist die 3 also haben wir hier + 3 und das Y bleibt stehen und für das C ihr ahnt es schon
- die dritte Koordinate von unserem Normalenvektor aufpassen dass hier jetzt -4 steht also muss dann auch hier - 4 für das C rein und dann das Z hinten
- dran das D hat mit dem normalen Vektor nichts zu tun das bleibt erstmal so stehen das müssen wir gleich anders herausfinden aber damit haben wir schon
- mal was herausgefunden das habe ich jetzt noch mal auf die nächste Seite geschrieben und für euch ganz wichtig dieser Zusammenhang immer zwischen der
- Koordinatenform und dem normalen Vektor die Zahlen die hier vorne dran stehen das ist kein Zufall das sind immer die Koordinaten von dem normalen Vektor also
- falls ihr den man nicht haben solltet aber ihr habt die Gleichung schon dann wisst ihr sofort wie der Normalenvektor aussieht okay dann gehen wir auf die
- Suche nach unserem D wir haben den Punkt ja noch nicht benutzt ne den Normalvektor haben wir schon benutzt das heißt den können wir jetzt ignorieren
- aber den Punkt der in unserer Ebene liegt den können wir noch verwenden um d herauszufinden und zwar müssen wir den Punkt dafür einfach nur in die Gleichung
- einsetzen dieser Punkt hat ja eine x Koordinate eine ykoordinate und eine Z Koordinate und hier stehen noch ein paar X Y und Z jetzt können wir da einsetzen
- und unser D berechnen also die 2 für das X rein dann haben wir hier 5* 2 + 3 x und die ykoordinate von unserem Punkt rein 0 sehr gut - 4 x die z-Koordinate
- von unserem Punkt ist die 5 und das muss dann unser D ergeben weil dieser Punkt muss soll ja in der Ebene liegen das heißt diese Gleichung muss dann erfüllt
- sein und wir können unser D berechnen wir haben 5 x 2 das sind 10 + 3 x 0 sind 0 - 4 x 5 sind 20 also haben wir hier 10- 200 das sind
- -10 insgesamt und das ist unser D damit haben wir d gefunden können das dann hier schön einsetzen die -10 hier rein und das ist unsere gesuchte
- Ebenengleichung in Koordinatenform mehr ist es nicht ich hoffe es ist klar geworden wie man vorgehen kann falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die
- Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut
Zum Nachlesen
Allgemeine KoordinatenformBei der allgemeinen Form wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum in Form einer linearen Gleichung beschrieben. Die …
EbenengleichungEine Ebenengleichung ist in der analytischen Geometrie eine Gleichung, die eine Ebene im dreidimensionalen Raum beschreibt. Ebenen lassen sich auf …
NormalenformDie Normalenform, Normalform oder Normalengleichung ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung.
ParameterformEine Ebene wird durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren dargestellt. Jeder Punkt der Ebene wird dann in Abhängigkeit von zwei Parametern beschrieben.