Nullvektor

Grundidee und Definition

Der Nullvektor ist in einem Vektorraum ein besonderer Vektor: Er ist das eindeutig bestimmte neutrale Element der Vektoraddition. Das bedeutet, dass das Addieren des Nullvektors keinen Vektor verändert. Für einen Vektorraum V heißt der Nullvektor 0_V und erfüllt für alle v ∈ V die Gleichung v + 0_V = 0_V + v = v.

Er ist für die lineare Algebra wichtig, weil viele Grundbegriffe wie lineare Unabhängigkeit, Basis, Kern einer linearen Abbildung und die Lösungsstruktur linearer Gleichungen mit ihm formuliert werden.

Schreibweise und Beispiele

Der Nullvektor wird meist als \vec{0}, fett 0 oder einfach als 0 geschrieben. Dabei darf man ihn nicht immer mit der skalaren Null 0_K des Skalarkörpers K verwechseln. Wenn eine Verwechslung möglich ist, schreibt man 0_V für den Nullvektor des Vektorraums und 0_K für die Null des Skalarkörpers. In der euklidischen Ebene kann der Nullvektor als einziger Vektor nicht durch einen Pfeil dargestellt werden, weil ihm keine Richtung zugeordnet werden kann.

Beispiele: Im Vektorraum R ist der Nullvektor die Zahl 0. Im Vektorraum C ist er 0 + 0i. Im Koordinatenraum K^n ist er das n-Tupel (0_K, ..., 0_K). Im Matrizenraum K^{m×n} ist er die Nullmatrix, deren Einträge alle 0_K sind. Im Folgenraum K^N ist er die Folge (0_K, 0_K, ...), was nicht dasselbe ist wie der Begriff Nullfolge. In einem linearen Funktionenraum ist der Nullvektor die Nullfunktion f ≡ 0_W, wobei 0_W der Nullvektor des Zielraums W ist.

Eindeutigkeit und Rechenregeln

Der Nullvektor eines Vektorraums ist eindeutig. Wenn es zwei Nullvektoren 0 und \bar{0} gäbe, dann gilt 0 = 0 + \bar{0} = \bar{0}; also sind beide gleich.

Für die Skalarmultiplikation gelten wichtige Regeln. Für alle Skalare α ∈ K gilt α · 0_V = 0_V. Für alle Vektoren v ∈ V gilt außerdem 0_K · v = 0_V. Zusammen folgt: α · v = 0_V genau dann, wenn α = 0_K oder v = 0_V. Ist nämlich α nicht 0_K, dann kann man mit α^{-1} schließen, dass v = 0_V sein muss.

Besondere Vektorräume

In einem normierten Vektorraum gilt für die Norm des Nullvektors ||0_V|| = 0_R. Wegen der Definitheit der Norm ist der Nullvektor dort der einzige Vektor mit Norm null.

In einem Skalarproduktraum, also einem euklidischen oder unitären Vektorraum mit Skalarprodukt, ist der Nullvektor orthogonal zu allen Vektoren. Für alle v ∈ V gilt ⟨0_V, v⟩ = ⟨v, 0_V⟩ = 0_K. Insbesondere ist der Nullvektor auch zu sich selbst orthogonal. Wegen der Definitheit des Skalarprodukts ist er der einzige Vektor mit dieser Eigenschaft.

In halbnormierten Räumen kann es mehr als einen Vektor mit Norm null geben. Solche Vektoren werden manchmal ebenfalls Nullvektoren genannt, entsprechen dann aber nicht der Standarddefinition als neutrales Element der Addition. In Vektorräumen mit Pseudo-Skalarprodukt werden auch Vektoren v mit v · v = 0 als Nullvektoren bezeichnet; die Menge dieser Vektoren heißt Nullkegel. Ein physikalisch wichtiges Beispiel ist der vierdimensionale Minkowski-Vektorraum, in dem diese Vektoren die lichtartigen Vektoren sind. Bei einer nicht notwendig positiv definiten quadratischen Form Ψ nennt man Vektoren v mit Ψ(v) = 0 eindeutiger isotrop; ihre Menge heißt isotroper Kegel oder Nullkegel.

Kreuzprodukt

Im dreidimensionalen euklidischen Raum V = R^3 ergibt das Kreuzprodukt eines beliebigen Vektors mit dem Nullvektor wieder den Nullvektor: v × 0 = 0 × v = 0.

Auch das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ist der Nullvektor: v × v = 0. Außerdem gilt die Jacobi-Identität: u × (v × w) + v × (w × u) + w × (u × v) = 0. Auch hier entsteht also der Nullvektor.

Verwendung in der linearen Algebra

Der Nullvektor kann zu jeder Familie von Vektoren (v_i){i∈I} als Linearkombination geschrieben werden: 0_V = Σ{i∈I} α_i · v_i. Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn in jeder solchen Darstellung alle Koeffizienten α_i = 0_K sein müssen. Der Nullvektor kann deshalb nie Teil einer Basis sein, denn er ist schon allein linear abhängig. Jeder Untervektorraum enthält mindestens den Nullvektor. Die Menge {0_V} ist der kleinste Untervektorraum und heißt Nullvektorraum; seine Basis ist die leere Menge ∅, weil die leere Summe definitionsgemäß den Nullvektor ergibt.

Eine lineare Abbildung T: V → W bildet den Nullvektor immer auf den Nullvektor ab: T(0_V) = T(0_K · 0_V) = 0_K · T(0_V) = 0_W. Es können aber auch weitere Vektoren aus V auf 0_W abgebildet werden. Diese Menge heißt Kern der linearen Abbildung und ist ein Untervektorraum von V. Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern nur aus dem Nullvektor besteht.

Eine homogene lineare Gleichung T(v) = 0_W besitzt immer mindestens die Lösung v = 0_V. Sie ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Kern von T nur aus dem Nullvektor besteht. Eine inhomogene lineare Gleichung T(v) = w mit w ≠ 0_W wird nie durch den Nullvektor gelöst. Sie ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die zugehörige homogene Gleichung nur den Nullvektor als Lösung besitzt.