Normalenform

Grundidee

Die Normalenform, auch Normalform oder Normalengleichung, ist eine besondere Form einer Geraden- oder Ebenengleichung. Sie beschreibt eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum mit zwei Vektoren: einem Stützvektor und einem Normalenvektor.

Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Gerade oder in der Ebene. Der Normalenvektor steht senkrecht zur Gerade beziehungsweise senkrecht zur Ebene. Ein Punkt gehört genau dann zur Gerade oder Ebene, wenn der Differenzvektor aus seinem Ortsvektor und dem Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor steht. Mathematisch wird das mit dem Skalarprodukt ausgedrückt, denn das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren ist 0.

Ein Spezialfall ist die hessesche Normalform. Dort ist der Normalenvektor normiert und orientiert, und statt des Stützvektors wird der Abstand vom Koordinatenursprung verwendet.

Geraden in der Ebene

Eine Gerade in der Ebene wird in Normalenform durch einen Stützvektor {\vec p} und einen Normalenvektor {\vec n} beschrieben. Für den Ortsvektor {\vec x} eines Punktes der Geraden gilt:

( {\vec x}-{\vec p})\cdot {\vec n}=0

Äquivalent dazu ist:

{\vec x}\cdot {\vec n}={\vec p}\cdot {\vec n}

Der Normalenvektor bildet mit der Gerade einen rechten Winkel. Erfüllt ein Punkt die Gleichung nicht, liegt er nicht auf der Gerade. Gilt {\vec x}\cdot {\vec n}>{\vec p}\cdot {\vec n}, dann liegt der Punkt auf der Seite der Gerade, in die der Normalenvektor zeigt; sonst liegt er auf der anderen Seite.

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit {\vec x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}, {\vec p}=\begin{pmatrix}p_1\\p_2\end{pmatrix} und {\vec n}=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\end{pmatrix} lautet die Koordinatengleichung:

(x_1-p_1)\cdot n_1+(x_2-p_2)\cdot n_2=0

oder gleichwertig:

n_1x_1+n_2x_2=n_1p_1+n_2p_2

Geraden umformen

Aus anderen Darstellungsformen einer Geraden kann man die Normalenform berechnen.

Aus der Parameterform erhält man einen Normalenvektor, indem man beim Richtungsvektor {\vec u}=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix} die beiden Komponenten vertauscht und bei einer Komponente das Vorzeichen ändert:

{\vec n}=\begin{pmatrix}-u_2\\u_1\end{pmatrix}

Der Stützvektor {\vec p} kann aus der Parameterform übernommen werden.

Aus der Zweipunkteform bildet man zuerst aus den Ortsvektoren {\vec p} und {\vec q} zweier Punkte einen Richtungsvektor. Danach verfährt man wie bei der Parameterform:

{\vec n}=\begin{pmatrix}-(q_2-p_2)\\q_1-p_1\end{pmatrix}

Als Stützvektor kann der Ortsvektor eines der beiden Punkte verwendet werden.

Aus der allgemeinen Koordinatenform mit Parametern a,b und c liest man den Normalenvektor direkt ab:

{\vec n}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}

Einen Stützvektor erhält man, falls a\neq 0, durch {\vec p}=\begin{pmatrix}c/a\\0\end{pmatrix}, oder falls b\neq 0, durch {\vec p}=\begin{pmatrix}0\\c/b\end{pmatrix}. Entsprechend geht es auch bei der Achsenabschnittsform.

Ebenen im Raum

Eine Ebene im dreidimensionalen Raum wird ebenfalls durch einen Stützvektor {\vec p} und einen Normalenvektor {\vec n} beschrieben. Die Punkte der Ebene sind genau die Punkte mit Ortsvektor {\vec x}, für die gilt:

( {\vec x}-{\vec p})\cdot {\vec n}=0

Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes in der Ebene. Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene; er bildet also mit allen Geraden der Ebene, die durch den Stützpunkt verlaufen, einen rechten Winkel. Auch hier gilt die äquivalente Darstellung:

{\vec x}\cdot {\vec n}={\vec p}\cdot {\vec n}

Liegt {\vec x} auf der Ebene, erfüllt der Punkt die Gleichung. Gilt {\vec x}\cdot {\vec n}>{\vec p}\cdot {\vec n}, liegt der Punkt auf der Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt; sonst auf der anderen Seite.

In kartesischen Koordinaten lautet die Normalenform:

(x_1-p_1)\cdot n_1+(x_2-p_2)\cdot n_2+(x_3-p_3)\cdot n_3=0

oder gleichwertig:

n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3

Aus der Parameterform einer Ebene mit Richtungsvektoren {\vec u} und {\vec v} berechnet man einen Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt {\vec n}={\vec u}\times {\vec v}. Aus der Dreipunkteform verwendet man zwei Differenzvektoren und bildet {\vec n}=({\vec q}-{\vec p})\times({\vec r}-{\vec p}). Aus der allgemeinen Koordinatenform mit Parametern a,b,c und d liest man {\vec n}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} ab; ein Stützvektor kann zum Beispiel \begin{pmatrix}d/a\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\d/b\\0\end{pmatrix} oder \begin{pmatrix}0\\0\\d/c\end{pmatrix} sein, je nachdem welche der Zahlen a,b,c ungleich null ist.

Typische Beispiele

Für eine Gerade g in der Ebene mit Stützvektor {\vec p}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} und Normalenvektor {\vec n}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} lautet die Normalenform:

(x_1-3)\cdot 2+(x_2-3)\cdot 1=0

Äquivalent dazu ist die Koordinatengleichung:

2x_1+x_2=9

Jede Wahl von (x_1|x_2), die diese Gleichung erfüllt, ist ein Geradenpunkt, zum Beispiel (2|5) oder (3{,}5|2).

Für eine Ebene E mit Stützvektor {\vec p}=\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix} und Normalenvektor {\vec n}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix} lautet die Normalenform:

(x_1-3)\cdot 1+(x_2-3)\cdot 3+(x_3-4)\cdot (-1)=0

Ausmultipliziert ergibt sich:

x_1+3x_2-x_3=8

Der Punkt X(4|2|2) liegt in der Ebene, weil (4-3)\cdot 1+(2-3)\cdot 3+(2-4)\cdot (-1)=0 gilt.

Verallgemeinerung und Gleichungssysteme

Allgemein beschreibt eine Normalengleichung eine Hyperebene im n-dimensionalen euklidischen Raum. Eine Hyperebene besteht aus allen Punkten mit Ortsvektor {\vec x}, die die Gleichung

( {\vec x}-{\vec p})\cdot {\vec n}=0

oder äquivalent

{\vec x}\cdot {\vec n}={\vec p}\cdot {\vec n}

erfüllen. Dabei rechnet man mit n-komponentigen Vektoren statt mit zwei- oder dreikomponentigen Vektoren. Eine solche Gleichung wird in der Literatur auch Hessesche Normalform genannt, selbst wenn der Normalenvektor {\vec n} nicht normiert ist.

Eine Hyperebene teilt den n-dimensionalen Raum in zwei Halbräume. Gilt {\vec x}\cdot {\vec n}>{\vec p}\cdot {\vec n}, liegt der Punkt in dem Halbraum, in den der Normalenvektor zeigt; sonst liegt er im anderen Halbraum. Erfüllt der Punkt die Normalengleichung, liegt er genau auf der Hyperebene.

Jede Gleichung eines linearen Gleichungssystems kann als Normalenform einer Hyperebene in einem n-dimensionalen Vektorraum verstanden werden, wobei n die Anzahl der Variablen beziehungsweise Unbekannten ist. Für n=2 sind das Geraden in der Ebene, für n=3 Ebenen im Raum. Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems wird dadurch zu einem Schnittproblem von Hyperebenen: Gesucht ist die Menge der gemeinsamen Punkte aller Hyperebenen. Aus der Lage der Normalenvektoren und der Hyperebenen zueinander kann man auf die Lösbarkeit und die Anzahl der Lösungen schließen.