Geradengleichung

Grundidee und Darstellungsarten

Eine Geradengleichung ist in der analytischen Geometrie eine Gleichung, die eine Gerade eindeutig beschreibt. Sie ist wichtig, weil man damit Punkte auf einer Geraden berechnen, Geraden vergleichen und geometrische Zusammenhänge algebraisch untersuchen kann.

Es gibt verschiedene Arten von Geradengleichungen. Bei einer Koordinatengleichung besteht die Gerade aus allen Punkten, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen; damit lassen sich nur Geraden in einer Ebene beschreiben. Bei einer Vektorgleichung wird die Gerade mit Vektoren beschrieben. Häufig wird dabei ein Parameter verwendet, der alle reellen Zahlen durchläuft; dann heißt die Darstellung Parametergleichung. Eine Normalengleichung verwendet einen Normalenvektor, also einen Vektor, der senkrecht auf der Geraden steht. Parametergleichungen eignen sich für Geraden in der Ebene, im Raum und in höherdimensionalen Räumen.

Koordinatengleichungen in der Ebene

In einem kartesischen Koordinatensystem hat jeder Punkt der Ebene zwei Koordinaten x und y. Man schreibt zum Beispiel P(x|y) oder P=(x,y). Eine Gleichung mit x und y beschreibt dann die Menge aller Punkte, deren Koordinaten diese Gleichung erfüllen.

Beispiel: Die Schreibweise g: y=2x bedeutet, dass die Gerade g aus allen Punkten (x,y) besteht, für die y=2x gilt. In Mengenschreibweise lautet das g={(x,y) | y=2x}.

Für Geraden in der Ebene gibt es mehrere Koordinatenformen. Jede Form hebt andere gegebene Informationen hervor, zum Beispiel Steigung, Achsenabschnitte oder zwei bekannte Punkte.

Wichtige Formen in der Ebene

Die Normalform oder Hauptform lautet y=m·x+n. Sie beschreibt jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse ist. Dabei ist m die Steigung der Geraden und n der y-Achsenabschnitt, also der Schnittpunkt mit der y-Achse. Für n=0 verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung und die zugehörige Funktion ist eine Proportionalität. Für m=0 verläuft die Gerade parallel zur x-Achse. Geraden parallel zur y-Achse sind keine Funktionsgraphen und können daher nicht in Normalform dargestellt werden.

Die allgemeine Form lautet ax+by=c, wobei a und b nicht beide 0 sein dürfen. Falls b≠0, kann man sie nach y auflösen und erhält y=−a/b·x+c/b. Der Vorteil dieser Form ist, dass jede Gerade damit beschrieben werden kann, auch eine Gerade parallel zur y-Achse: x=a. Der Nachteil ist, dass man geometrische Eigenschaften meist nicht direkt ablesen kann.

Wenn eine Gerade durch zwei Punkte (x1,y1) und (x2,y2) mit x1≠x2 verläuft, berechnet man die Steigung mit m=(y2−y1)/(x2−x1). Daraus ergibt sich die Zweipunkteform (y−y1)/(x−x1)=(y2−y1)/(x2−x1) oder aufgelöst y=((y2−y1)/(x2−x1))·(x−x1)+y1.

Die Punktsteigungsform beschreibt eine Gerade durch den Punkt (x1,y1) mit Steigung m: y−y1=m·(x−x1). Sie ist nützlich, wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind oder wenn man aus zwei Punkten arbeiten möchte, ohne den y-Achsenabschnitt n ausdrücklich zu bestimmen.

Schneidet eine Gerade die x-Achse bei x0≠0 und die y-Achse bei y0≠0, dann kann man sie in Achsenabschnittsform schreiben: x/x0 + y/y0 = 1. Aufgelöst nach y erhält man y=−y0/x0·x+y0; die Steigung ist also m=−y0/x0.

Vektor- und Normalengleichungen

Geraden in der Ebene lassen sich auch mit Vektoren beschreiben. Der Ortsvektor eines Punktes P=(p1,p2) wird mit p⃗=(p1,p2) geschrieben. Bei einer Parametergleichung werden nicht Bedingungen an Koordinaten angegeben, sondern die Punkte der Geraden werden abhängig von einem Parameter erzeugt. Läuft der Parameter durch alle reellen Zahlen, entstehen alle Punkte der Geraden.

Eine wichtige Parametergleichung ist die Punktrichtungsform x⃗=p⃗+s·u⃗. Dabei ist p⃗ der Stützvektor, also der Ortsvektor eines festen Punktes der Geraden, u⃗≠0⃗ der Richtungsvektor und s der Parameter. In Komponenten lautet sie (x1,x2)=(p1,p2)+s·(u1,u2). Ist u⃗ ein Einheitsvektor, dann gibt |s| den Abstand eines Punktes auf der Geraden vom Aufpunkt an.

Geht die Gerade durch die Punkte P und Q, kann man sie auch als x⃗=p⃗+t(q⃗−p⃗) schreiben. Der Vektor q⃗−p⃗ ist dann der Richtungsvektor. Äquivalent ist x⃗=(1−t)p⃗+tq⃗; diese Darstellung heißt lineare Interpolation oder Affinkombination der Punkte p⃗ und p⃗.

Bei einer Normalengleichung nutzt man einen Normalenvektor n⃗, der im rechten Winkel zur Geraden steht. Die Normalenform lautet n⃗·(x⃗−p⃗)=0 beziehungsweise n⃗·x⃗=n⃗·p⃗. Das Zeichen · steht für das Skalarprodukt. In einem ebenen rechtwinkligen Koordinatensystem ergibt sich (x1−p1)·n1+(x2−p2)·n2=0 beziehungsweise x1n1+x2n2=p1n1+p2n2. Eine besondere Normalenform ist die hessesche Normalform n⃗0·x⃗=d, bei der n⃗0 normiert und orientiert ist und d≥0 den Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung bezeichnet.

Geraden im Raum

Geraden im Raum lassen sich nicht durch eine einzelne Koordinatengleichung beschreiben, sondern nur durch ein System von zwei linearen Gleichungen. Jede dieser Gleichungen beschreibt eine Ebene; die Gerade ist die Schnittmenge der beiden Ebenen. Diese Form ist oft unhandlich.

Praktischer ist die Parametergleichung x⃗=p⃗+s·u⃗, wobei x⃗, p⃗ und u⃗ Vektoren im Raum sind. In Komponenten lautet sie (x1,x2,x3)=(p1,p2,p3)+s·(u1,u2,u3).

Mit dem Vektorprodukt gibt es außerdem eine parameterfreie Beschreibung. Ein Punkt mit Ortsvektor x⃗ liegt genau dann auf der Geraden, wenn x⃗−p⃗ kollinear zum Richtungsvektor u⃗ ist, also in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung zeigt. Zwei Vektoren sind genau dann kollinear, wenn ihr Kreuzprodukt der Nullvektor ist. Daher beschreibt u⃗×(x⃗−p⃗)=0⃗ beziehungsweise u⃗×x⃗−u⃗×p⃗=0⃗ die Gerade. Ist u⃗ ein Einheitsvektor, entspricht |u⃗×p⃗| dem Abstand der Geraden vom Ursprung.

Höherdimensionale Räume

Auch in höherdimensionalen Räumen kann man Geraden mit der Parameterdarstellung definieren. Ein n-Tupel (x1,x2,...,xn) wird dabei als Punkt oder Ortsvektor im R^n aufgefasst. Zwei n-Tupel (p1,p2,...,pn) und (u1,u2,...,un) können als Stützvektor und Richtungsvektor dienen.

Die Gleichung x⃗=p⃗+s·u⃗ definiert eine Gerade im R^n. Sie besteht aus allen x⃗=(x1,x2,...,xn), für die ein s∈R existiert, sodass die Gleichung erfüllt ist. Das entspricht dem linearen n×1-Gleichungssystem x1=p1+su1, x2=p2+su2, ..., xn=pn+sun.