Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
Einheitsvektor
Ein Einheitsvektor ist in der analytischen Geometrie ein Vektor der Länge eins. In der linearen Algebra und der Funktionalanalysis wird der Begriff der …
Inhalt5 Abschnitte
Grundidee und Definition
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge eins. In der analytischen Geometrie bedeutet das: Der Vektor hat den Betrag 1. In der linearen Algebra und Funktionalanalysis wird die Länge allgemeiner als Norm bezeichnet. Ein normierter Vektorraum ist ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist.
Ein Element v eines normierten Vektorraumes V heißt Einheitsvektor, wenn ||v|| = 1 gilt. Einheitsvektoren werden oft mit einem Zirkumflex geschrieben, zum Beispiel v̂. Weitere Schreibweisen sind v₀ oder e.
Normierung und Bedeutung
Jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor v kann in einen Einheitsvektor umgewandelt werden, indem man ihn durch seine Norm, also seinen Betrag, teilt:
v̂ = v / |v|.
Dieser Vorgang heißt Normierung. Der dadurch entstehende Einheitsvektor zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor v, hat aber die Länge 1. Umgekehrt kann jeder Vektor als Produkt aus seiner Länge und dem Einheitsvektor in seiner Richtung geschrieben werden:
v = |v| · v̂.
Einheitsvektoren sind nützlich, weil sie Richtungen beschreiben, ohne dass die Länge des ursprünglichen Vektors eine Rolle spielt. Sie treten zum Beispiel beim Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren und bei der Berechnung der Hesseschen Normalform auf. Basisvektoren werden oft als Einheitsvektoren gewählt, weil dadurch viele Rechnungen einfacher werden. In einem euklidischen Raum ist das Standardskalarprodukt zweier Einheitsvektoren gleich dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.
Kanonische Einheitsvektoren
In endlichdimensionalen reellen Vektorräumen Rⁿ verwendet man meist die Standardbasis aus Standard-Einheitsvektoren oder kanonischen Einheitsvektoren. Diese Vektoren haben jeweils an genau einer Stelle den Eintrag 1 und sonst nur Einträge 0:
e₁ = (1, 0, 0, ..., 0)ᵀ, e₂ = (0, 1, 0, ..., 0)ᵀ, e₃ = (0, 0, 1, ..., 0)ᵀ, ..., eₙ = (0, 0, 0, ..., 1)ᵀ.
Diese Einheitsvektoren zeigen jeweils in Richtung der entsprechenden Koordinatenachse. Fasst man sie zu einer Matrix zusammen, erhält man eine Einheitsmatrix.
Die Menge der kanonischen Einheitsvektoren des Rⁿ bildet bezüglich des kanonischen Skalarprodukts eine Orthonormalbasis. Das bedeutet: Je zwei verschiedene kanonische Einheitsvektoren stehen senkrecht aufeinander, alle sind normiert, und zusammen bilden sie eine Basis des Raumes.
Beispiel im dreidimensionalen Raum
Im dreidimensionalen Vektorraum R³ heißen die drei kanonischen Einheitsvektoren in den Naturwissenschaften oft i, j und k:
i = e₁ = (1, 0, 0)ᵀ, j = e₂ = (0, 1, 0)ᵀ, k = e₃ = (0, 0, 1)ᵀ.
Gelegentlich werden die ersten beiden auch als ı und ȷ geschrieben. In der Literatur kommen außerdem Schreibweisen mit Hütchen vor, zum Beispiel î, ĵ, k̂, sowie Schreibweisen im Fettdruck wie i, j, k; diese werden manchmal ebenfalls mit Hütchen kombiniert.
Unendlichdimensionale Räume
In unendlichdimensionalen unitären Vektorräumen, also Vektorräumen mit Skalarprodukt, bildet die unendliche Menge der kanonischen Einheitsvektoren noch ein Orthonormalsystem. Ein Orthonormalsystem besteht aus normierten Vektoren, die paarweise orthogonal sind.
Diese Menge ist aber nicht notwendig eine Vektorraum-Basis im üblichen Sinn. In Hilberträumen kann man jedoch unendliche Summen zulassen. Dadurch lässt sich jeder Vektor des Raumes darstellen, und man spricht weiterhin von einer Orthonormalbasis.
