Hessesche Normalform

Grundidee und Bedeutung

Die hessesche Normalform, auch Hesse-Normalform oder hessesche Normalenform, ist eine spezielle Form einer Geraden- oder Ebenengleichung. Sie beschreibt eine Gerade oder Ebene durch einen normierten Normalenvektor, also einen senkrecht stehenden Vektor der Länge eins, und ihren Abstand d vom Koordinatenursprung.

Für eine Gerade in der Ebene oder eine Ebene im Raum gilt mit dem Ortsvektor x eines Punktes:

n₀ · x − d = 0 beziehungsweise n₀ · x = d.

Dabei ist n₀ derjenige Normaleneinheitsvektor, der vom Ursprung zur Gerade oder Ebene zeigt, und d ≥ 0 ihr Abstand vom Ursprung. Der Abstand ist damit unmittelbar aus der Gleichung ablesbar. Außerdem lässt sich der Abstand eines beliebigen Punktes von der Gerade oder Ebene durch Einsetzen seines Ortsvektors berechnen.

Mathematische Grundlage und Darstellung

Zu jeder Geraden g oder Ebene E gibt es zwei Normaleneinheitsvektoren n₀ und n₁, die senkrecht auf ihr stehen. Sie sind Gegenvektoren zueinander: n₁ = −n₀. Der vom Ursprung zur Gerade oder Ebene zeigende Vektor erfüllt für den Ortsvektor x₀ eines beliebigen Punktes auf ihr die Beziehung

n₀ · x₀ = d.

Der entgegengesetzte Normaleneinheitsvektor erfüllt entsprechend n₁ · x₀ = −d.

In der Vektordarstellung besteht eine Gerade beziehungsweise Ebene aus allen Punkten, deren Ortsvektoren die Hessesche Normalform erfüllen. Für n₀ · x > d liegt ein Punkt auf der Seite, in die der Normalenvektor zeigt; ansonsten liegt er auf der anderen Seite. Der Ursprung liegt bei einer Gerade oder Ebene, die nicht durch den Ursprung geht, auf der entgegengesetzten Seite.

Mit einem Stützvektor p kann die Gleichung auch geschrieben werden als

n₀ · x − n₀ · p = 0 beziehungsweise n₀ · (x − p) = 0.

Diese alternative Darstellung folgt aus d = n₀ · p und dem Distributivgesetz des Skalarprodukts.

Geraden in der Ebene

Für eine Gerade g in der euklidischen Ebene lautet die Hessesche Normalform

n₀ · x − d = 0.

Ist die Gerade in Normalenform n · (x − p) = 0 gegeben, wird zunächst der Normalenvektor normiert und gegebenenfalls sein Vorzeichen umgekehrt:

n₀ = n/|n|, falls n · p ≥ 0,

n₀ = −n/|n|, falls n · p < 0.

Danach berechnet man d = n₀ · p. Liegt die Gerade in Koordinatenform, Achsenabschnittsform, Parameterform oder Zweipunkteform vor, wird zunächst die zugehörige Normalenform bestimmt.

Für die allgemeine Koordinatenform g: ax + by + c = 0 ergibt sich durch Division durch √(a² + b²):

(ax + by + c)/√(a² + b²) = 0.

Ein Normaleneinheitsvektor ist n₀ = (a/√(a² + b²), b/√(a² + b²))ᵀ. Für einen Punkt Q = (x₀,y₀) gilt

d(Q,g) = |(ax₀ + by₀ + c)/√(a² + b²)|.

Insbesondere ist d((0,0),g) = |c/√(a² + b²)|. Bei y = mx + d gilt a = m, b = −1 und c = d. Die zur y-Achse parallele Gerade x = d hat die Hessesche Normalform x − d = 0.

Ebenen und Abstände

Für eine Ebene E im dreidimensionalen Raum gilt dieselbe Struktur:

n₀ · x − d = 0 beziehungsweise n₀ · x = d,

wobei n₀ ein vom Ursprung zur Ebene zeigender Normaleneinheitsvektor und d ≥ 0 der Abstand vom Ursprung ist. Ohne die Einschränkung d ≥ 0 gibt es zwei Hessesche Normalformen, eine für jeden der beiden entgegengesetzten Normaleneinheitsvektoren; der Betrag von d ist dann der Abstand vom Ursprung.

Aus einer Koordinatenform, Achsenabschnittsform, Parameterform oder Dreipunkteform wird zunächst gegebenenfalls die Normalenform E: n · (x − p) = 0 bestimmt. Anschließend wird n normiert und so orientiert, dass n₀ vom Ursprung in Richtung der Ebene zeigt. Der Abstand ist d = p · n₀.

Für einen Punkt Q mit Ortsvektor q beträgt der vorzeichenbehaftete Abstand

d(Q,E) = q · n₀ − d.

Ist dieser Wert positiv, liegt Q auf der Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt; ansonsten auf der anderen Seite. Der gewöhnliche, nicht vorzeichenbehaftete Abstand lautet

d(Q,E) = |q · n₀ − d|.

In der Stützvektordarstellung gilt entsprechend d(Q,E) = |n₀ · (q − p)|. Für Geraden gelten analog d(Q,g) = n₀ · q − d sowie d(Q,g) = |n₀ · q − d|.

Beispiele, Verallgemeinerung und Geschichte

Eine Gerade mit n₀ = (3/5, 4/5)ᵀ und d = 6/5 besitzt die Hessesche Normalform

(3/5, 4/5)ᵀ · (x,y)ᵀ − 6/5 = 0.

Mit dem Stützvektor p = (6, −3)ᵀ kann dieselbe Gerade auch als (3/5, 4/5)ᵀ · (x − 6, y + 3)ᵀ = 0 geschrieben werden.

Eine Ebene mit n₀ = (2/3, 1/3, −2/3)ᵀ und d = 4/3 hat die Form

(2/3, 1/3, −2/3)ᵀ · (x,y,z)ᵀ − 4/3 = 0.

Mit dem Stützvektor p = (2,2,1)ᵀ lautet die alternative Form n₀ · (x − p) = 0.

Im n-dimensionalen euklidischen Raum beschreibt die Gleichung x · n₀ − d = 0 eine Hyperebene. Sie verwendet n-komponentige Vektoren. Eine Hyperebene teilt den Raum in zwei Halbräume. Für x · n₀ > d liegt der Punkt in dem Halbraum, in den der Normalenvektor zeigt; ansonsten im anderen.

Otto Hesse führte 1865 neben ax + by + c = 0 die Normalform x cos α + y cos β − δ = 0 ein. Dabei sind α und β die Winkel der Normalen durch den Nullpunkt zu den Koordinatenachsen und δ der Abstand der Geraden vom Nullpunkt. Heute schreibt man wegen cos β = sin α meist x cos α + y sin α − δ = 0. Hesse hob die einfache Abstandsberechnung hervor. Die Umrechnung aus der allgemeinen Form erfolgt durch Multiplikation mit 1/√(a² + b²).