Orientierung (Mathematik)

Grundidee der Orientierung

Orientierung beschreibt in linearer Algebra und Differentialgeometrie, wie die geordnete Richtung eines Raumes, einer Basis oder eines geometrischen Objekts festgelegt ist. In einem n-dimensionalen Raum besitzen zwei geordnete Basen dieselbe Orientierung, wenn der Übergang zwischen ihnen durch eine lineare Abbildung mit positiver Determinante möglich ist, etwa durch Streckungen und Drehungen. Hat die Abbildung eine negative Determinante, enthält der Übergang eine Spiegelung und kehrt die Orientierung um.

Es gibt genau zwei mögliche Orientierungen. Durch Drehungen allein kann man nicht von der einen zur anderen wechseln. Anschauliche Gegensätze sind in einer Dimension die beiden Leserichtungen, in der Ebene gewöhnliche Schrift und Spiegelschrift sowie Rechts- und Linksdrehung. Im dreidimensionalen Raum haben ein Mensch und sein Spiegelbild sowie Rechts- und Linksgewinde verschiedene Orientierungen. Dabei ist die Dimension entscheidend: Ebene Figuren, die im Raum keine räumliche Tiefe besitzen, können dort so gedreht werden, dass der in der Ebene bestehende Orientierungsunterschied verschwindet.

Orientierung eines Vektorraums

Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit den geordneten Basen A = (a₁, …, aₙ) und B = (b₁, …, bₙ). Schreibt man

aⱼ = λ₁,ⱼb₁ + … + λₙ,ⱼbₙ,

so bilden die Koeffizienten λᵢ,ⱼ die Basiswechselmatrix Tᴬ_B. Sie ist bijektiv und besitzt deshalb eine von 0 verschiedene Determinante. Gilt det(Tᴬ_B) > 0, haben A und B dieselbe Orientierung und der Basiswechsel heißt orientierungserhaltend. Bei det(Tᴬ_B) < 0 sind die Orientierungen verschieden; der Basiswechsel heißt orientierungsumkehrend.

Diese Beziehung ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller geordneten Basen: Basen werden genau dann derselben Klasse zugeordnet, wenn sie gleich orientiert sind. Der Determinantenmultiplikationssatz und die Umkehrbarkeit der Basiswechsel sichern, dass genau zwei Äquivalenzklassen entstehen. Jede dieser Klassen heißt eine Orientierung des Vektorraums. Nach Auswahl einer Klasse heißen ihre Basen positiv orientiert, alle anderen negativ orientiert. Da die Definition zwischen positiven und negativen Zahlen unterscheidet, gilt sie nicht über beliebigen Körpern, sondern nur über geordneten Körpern.

Im ℝ² sind (e₁,e₂) und (e₂,e₁) Basen mit der Basiswechselmatrix M = ((0,1),(1,0)). Weil det(M) = −1 ist, vertreten sie die beiden unterschiedlichen Orientierungen. Anschaulich wird beim Vertauschen der Basisvektoren aus einem Koordinatensystem mit nach rechts gerichteter x-Achse und nach oben gerichteter y-Achse ein System mit nach oben gerichteter x-Achse und nach rechts gerichteter y-Achse. Im dreidimensionalen Raum unterscheidet man entsprechend Rechts- und Linkssysteme, etwa mithilfe der Drei-Finger-Regel.

Orientierung von Mannigfaltigkeiten

Eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit M ist orientiert, wenn für jeden Punkt p eine Orientierung 𝒪ₚ des Tangentialraums TₚM gewählt ist und diese Wahl stetig vom Punkt abhängt. Konkret muss um jeden Punkt p eine Karte φ: U → V ⊂ ℝⁿ mit Koordinaten x¹, …, xⁿ existieren, sodass an jedem q ∈ U die induzierte Tangentialraumbasis

(∂/∂x¹|q, …, ∂/∂xⁿ|q)

bezüglich 𝒪q positiv orientiert ist. Existiert eine solche Familie von Orientierungen, heißt M orientierbar. Das Möbiusband ist ein Beispiel einer nichtorientierbaren Mannigfaltigkeit.

Äquivalent dazu ist M genau dann orientierbar, wenn sie einen Atlas besitzt, dessen Kartenwechsel überall orientierungserhaltend sind. Für je zwei sich überschneidende Karten φ und ψ muss also an jedem geeigneten Punkt x gelten:

det(Dₓ(φ ∘ ψ⁻¹)) > 0,

wobei Dₓ die Jacobi-Matrix des Kartenwechsels bezeichnet. Koordinatenfrei lautet das Kriterium: Eine glatte n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist genau dann orientierbar, wenn auf ihr eine glatte, nicht-degenerierte n-Form α existiert.

Homologische Orientierungen

Orientierung kann auch mit Homologie beschrieben werden. Für einen reellen n-dimensionalen Vektorraum V gilt

Hₙ(V, V ∖ {0}; ℤ) ≃ ℤ.

Eine Orientierung von V entspricht der Wahl eines der beiden Erzeuger dieser relativen Homologiegruppe. Dazu kann man den n-dimensionalen Standardsimplex so in V einbetten, dass sein Baryzentrum auf 0 und seine Seitenflächen nach V ∖ {0} abgebildet werden. Diese Einbettung ist ein relativer Zykel. Zwei solche Einbettungen stellen genau dann denselben Erzeuger dar, wenn beide orientierungserhaltend oder beide nicht orientierungserhaltend sind. Da Hⁿ(V, V ∖ {0}; ℤ) dual zu Hₙ(V, V ∖ {0}; ℤ) ist, bestimmt die Orientierung zugleich einen Erzeuger der entsprechenden Kohomologiegruppe.

Für eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit M und einen Ring R erhält man für jeden Punkt x

Hₙ(M, M ∖ {x}) ≅ Hₙ(ℝⁿ, ℝⁿ ∖ {0}) ≅ R.

Eine R-Orientierung ist eine kompatible Auswahl von Erzeugern μₓ ∈ Hₙ(M, M ∖ {x}). Kompatibilität bedeutet: Zu jedem x gibt es eine offene Umgebung U und ein Element μU ∈ Hₙ(M, M ∖ U), das unter der von der Inklusion erzeugten Abbildung für jedes y ∈ U auf μy abgebildet wird. Für R = ℤ stimmt dies mit der gewöhnlichen Orientierung überein. Für andere Ringe kann sich das Ergebnis ändern; insbesondere ist jede Mannigfaltigkeit ℤ₂-orientierbar.

In einer durch ein Ringspektrum gegebenen verallgemeinerten Homologietheorie h̃* heißt für eine geschlossene n-Mannigfaltigkeit eine Klasse [M] ∈ h̃ₙ(M) eine h-Orientierung oder h-Fundamentalklasse, wenn für jeden Punkt m und jede Umgebung U ≃ Dⁿ gilt:

εᵐ,U_*[M] = ±sₙ.

Dabei ist εᵐ,U: M → Sⁿ auf U ein Homöomorphismus und außerhalb von U konstant; sₙ entsteht aus 1 ∈ h̃₀(S⁰) durch den iterierten Einhängungs-Isomorphismus. Für singuläre Homologie stimmt diese Definition mit der vorherigen überein.

Vektorbündel und verallgemeinerte Kohomologie

Eine Orientierung eines n-dimensionalen Vektorbündels p: E → B ist eine Familie von Orientierungen 𝒪b seiner Fasern Fb = p⁻¹(b), die stetig vom Basispunkt b abhängt. Um jeden Punkt muss eine lokale Trivialisierung h: U × ℝⁿ → p⁻¹(U) existieren, sodass x ↦ h(b,x) für jede Faser orientierungserhaltend ist. Daher ist eine Mannigfaltigkeit genau dann orientierbar, wenn ihr Tangentialbündel orientierbar ist.

Für ein orientierbares Vektorbündel mit Nullschnitt E₀ gilt Hⁱ(E, E − E₀; ℤ) = 0 für 0 < i < n. In Grad n gibt es einen Erzeuger

u ∈ Hⁿ(E, E − E₀; ℤ) ≃ ℤ,

dessen Einschränkung auf Hⁿ(Fb, Fb − 0; ℤ) der gewählten Orientierung jeder Faser entspricht. Diese Klasse u heißt Thom-Klasse oder Orientierungsklasse. Alternativ verwendet man den Thom-Raum Th(E), dessen Kohomologie zu H*(E, E − E₀; ℤ) isomorph ist. Unter dem Thom-Isomorphismus H*+n(Th(E); ℤ) ≃ H*(B; ℤ) entspricht die Thom-Klasse dem neutralen Element 1 ∈ H⁰(B; ℤ).

Für eine verallgemeinerte Kohomologietheorie h̃* wird σⁿ ∈ h̃ⁿ(Sⁿ) aus 1 ∈ h̃⁰(S⁰) durch iterierte Einhängung gewonnen. Die Faserinklusion ℝⁿ = Fb → E erzeugt eine Abbildung jb: Sⁿ → Th(E). Eine kohomologische Orientierung ist ein Element u ∈ h̃ⁿ(Th(E)̈ mit

jb*u = ±σⁿ

für alle b ∈ B. In der singulären Kohomologie mit ℤ-Koeffizienten ist u die Thom-Klasse; mit ℤ/2ℤ-Koeffizienten ist jedes Vektorbündel orientierbar. Bezüglich reeller K-Theorie ist ein Vektorbündel genau dann orientierbar, wenn es eine Spinstruktur besitzt, also die erste und zweite Stiefel-Whitney-Klasse verschwinden. Bezüglich komplexer K-Theorie ist es genau dann orientierbar, wenn es eine Spinᶜ-Struktur besitzt, also die erste gewöhnliche und dritte integrale Stiefel-Whitney-Klasse verschwinden.

Eine kohomologische Orientierung einer Mannigfaltigkeit ist die entsprechende Orientierung ihres Tangentialbündels. Für geschlossene Mannigfaltigkeiten liefert die Milnor-Spanier-Dualität bezüglich eines gegebenen Ringspektrums eine Bijektion zwischen homologischen und kohomologischen Orientierungen.