Norm (Mathematik)

Kernidee und Definition

Eine Norm ist eine Abbildung, die einem mathematischen Objekt eine nicht-negative reelle Zahl als Maß für seine „Größe“ zuordnet. Je nach Objekt kann diese Größe zum Beispiel die Länge eines Vektors, der größte Singulärwert einer Matrix, die Variation einer Folge oder das Maximum einer Funktion sein. Eine Norm wird mit zwei senkrechten Strichen geschrieben, etwa \|x\|.

Formal ist eine Norm eine Abbildung \|\cdot\|:V\to \mathbb{R} auf einem Vektorraum V über \mathbb{R} oder \mathbb{C}. Für alle x,y\in V und alle Skalare \alpha\in\mathbb K müssen drei Axiome gelten: positive Definitheit \|x\|\geq 0 und \|x\|=0\iff x=0_V, absolute Homogenität \|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|, und Subadditivität oder Dreiecksungleichung \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|. Der Betrag |\cdot| bezieht sich dabei auf den Skalar.

Das Standardbeispiel ist die euklidische Norm in der Ebene: \|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2}. Sie entspricht der anschaulichen Länge eines Vektors; zum Beispiel hat (1,1) die Norm \sqrt2.

Eigenschaften und normierte Räume

Aus den Axiomen folgen wichtige Grundregeln. Aus der absoluten Homogenität ergibt sich \|-x\|=\|x\|, also Symmetrie bei Vorzeichenwechsel. Außerdem gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung |\|x\|-\|y\||\leq \|x-y\|. Jede Norm ist gleichmäßig stetig, sublinear und konvex; insbesondere gilt für t\in[0,1]: \|tx+(1-t)y\|\leq t\|x\|+(1-t)\|y\|.

Normkugeln beschreiben die Punkte, deren Abstand zu einem Zentrum x_0 kleiner, höchstens gleich oder genau gleich einem Radius r>0 ist. Offene Normkugel: \{x\in V:\|x-x_0\|<r\}, abgeschlossene Normkugel: \{x\in V:\|x-x_0\|\leq r\}, Normsphäre: \{x\in V:\|x-x_0\|=r\}. Normkugeln müssen konvex und punktsymmetrisch zu x_0 sein. Für x_0=0 und r=1 spricht man von Einheitskugel und Einheitssphäre; durch Normierung erhält man zu x\neq0 den Einheitsvektor x/\|x\|.

Eine Norm kann von einem Skalarprodukt induziert sein: \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}. Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung |\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\|y\|. Nach dem Satz von Jordan-von Neumann ist eine Norm genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie die Parallelogrammgleichung erfüllt.

Ein Vektorraum mit Norm heißt normierter Raum (V,\|\cdot\|). Jede Norm erzeugt durch d(x,y)=\|x-y\| eine Metrik und damit eine Topologie. Eine Folge (x_n)_n konvergiert gegen x, wenn \|x_n-x\|\to0. Ist jede Cauchy-Folge in diesem Raum konvergent, heißt der Raum vollständig oder Banachraum.

Normen in endlichen Dimensionen

Für Zahlen ist der Betrag eine Norm. Für z\in\mathbb R gilt \|z\|=|z|=\sqrt{z^2}. Für z\in\mathbb C gilt \|z\|=|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{(\operatorname{Re}z)^2+(\operatorname{Im}z)^2}; das ist die Länge des zugehörigen Vektors in der Gaußschen Zahlenebene.

Für Vektoren x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n sind mehrere Normen wichtig. Die Maximumsnorm ist \|x\|_\infty=\max_{i=1,\dots,n}|x_i|; sie nimmt den größten Komponentenbetrag. Ihre Einheitssphäre ist in zwei Dimensionen ein Quadrat und in drei Dimensionen ein Würfel. Die euklidische Norm ist \|x\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}; sie beschreibt in zwei und drei Dimensionen die übliche Länge und wird vom Standardskalarprodukt induziert. Die Summennorm ist \|x\|_1=\sum_{i=1}^n |x_i|; sie summiert die Beträge der Komponenten.

Allgemein definiert man für 1\leq p<\infty die p-Norm durch \|x\|_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}. Für p=1 erhält man die Summennorm, für p=2 die euklidische Norm und als Grenzwert für p\to\infty die Maximumsnorm. Für 1\leq p\leq r\leq\infty gilt \|x\|_r\leq\|x\|_p\leq n^{1/p-1/r}\|x\|_r, wobei 1/\infty=0 gesetzt wird. Für p<1 entstehen keine Normen, weil die Dreiecksungleichung verletzt wird.

Matrixnormen messen die Größe von Matrizen A\in\mathbb K^{m\times n}. Häufig fordert man zusätzlich Submultiplikativität \|AB\|\leq\|A\|\|B\|. Matrixnormen können entstehen, indem man die Matrixeinträge wie einen langen Vektor behandelt, indem man eine Operatornorm verwendet, oder indem man die Singulärwerte einer Matrix normiert. Eine induzierte Matrixnorm oder natürliche Matrixnorm ist \|A\|=\max_{x\neq0}\|Ax\|/\|x\|=\max_{\|x\|=1}\|Ax\|; sie beschreibt den größtmöglichen Streckungsfaktor einer Matrix.

Äquivalenz, Dualität und Erweiterungen

Zwei Normen \|\cdot\|_a und \|\cdot\|_b heißen äquivalent, wenn es positive Konstanten c_1,c_2 gibt mit c_1\|x\|_b\leq\|x\|_a\leq c_2\|x\|_b für alle x\in V. Äquivalente Normen erzeugen dieselbe Topologie; Konvergenz in einer Norm bedeutet dann auch Konvergenz in der anderen. Auf endlichdimensionalen Vektorräumen sind alle Normen äquivalent, auf unendlichdimensionalen Räumen jedoch nicht.

Der Dualraum V^* eines normierten Vektorraums besteht aus den stetigen linearen Funktionalen von V nach mathbb K. Die duale Norm eines Funktionals L\in V^* ist \|L\|^*=\sup_{\|x\|\leq1}|Lx|=\sup_{\|x\|\neq0}|Lx|/\|x\|. Daraus folgt die wichtige Abschätzung |Lx|\leq\|L\|^*\|x\|. Der Dualraum mit der Dualnorm ist stets vollständig.

Verzichtet man auf positive Definitheit, erhält man eine Halbnorm. Dann kann es Vektoren ungleich Null mit Norm Null geben. Die Menge Z=\{x\in V:\|x\|=0\} ist ein Untervektorraum, und durch Restklassenbildung bezüglich Z kann man wieder einen normierten Faktorraum erhalten.

Wird ein normierter Raum zusätzlich mit einem assoziativen und distributiven Produkt versehen und gilt \|x\circ y\|\leq\|x\|\|y\|, spricht man von einer normierten Algebra. Ist sie vollständig, heißt sie Banachalgebra; ein Beispiel ist der Raum quadratischer Matrizen mit einer submultiplikativen Matrixnorm.

Folgen, Funktionen und Operatoren

In unendlichdimensionalen Räumen müssen Folgen- und Funktionenräume oft eingeschränkt werden, damit Normwerte endlich bleiben. Für beschränkte Folgen ist die Supremumsnorm \|(a_n)\|_\infty=\|(a_n)\|_{\ell^\infty}=\sup_{n\in\mathbb N}|a_n|. Die Räume der beschränkten Folgen \ell^\infty, der konvergenten Folgen c und der Nullfolgen c_0 sind damit vollständig. Für 1\leq p<\infty ist \|(a_n)\|_{\ell^p}=(\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p)^{1/p}; die \ell^p-Räume sind vollständig, und \ell^2 ist ein Hilbertraum.

Für beschränkte Funktionen ist die Supremumsnorm \|f\|_\infty=\sup_{x\in\Omega}|f(x)|. Für stetige Funktionen auf kompakten Mengen wird daraus die Maximumsnorm \|f\|_{C^0(\Omega)}=\max_{x\in\Omega}|f(x)|. Weitere wichtige Funktionennormen sind die BV-Norm für Funktionen beschränkter Variation, Hölder-Normen für Hölder-stetige Funktionen, L^p-Normen \|f\|_{\mathcal L^p(\Omega)}=(\int_\Omega |f(x)|^p dx)^{1/p}, C^m-Normen für stetig differenzierbare Funktionen und Sobolev-Normen \|f\|_{W^{m,p}(\Omega)}=(\sum_{|s|\leq m}\|\partial^s f\|_{L^p(\Omega)}^p)^{1/p}. Viele dieser Räume sind mit ihren Normen vollständig; L^2 und W^{m,2} sind Hilberträume.

Für lineare Operatoren T:V\to W zwischen normierten Räumen ist die Operatornorm \|T\|=\sup_{x\neq0}\|Tx\|_W/\|x\|_V=\sup_{\|x\|_V=1}\|Tx\|_W. Sie verallgemeinert natürliche Matrixnormen und ist submultiplikativ. Weitere Operatornormen sind die nukleare Norm, die Hilbert-Schmidt-Norm und die Schatten-p-Normen, die über Darstellungen oder Singulärwerte von Operatoren definiert werden.

Verallgemeinerungen

Gewichtete Normen verwenden Gewichtsfunktionen, etwa bei Funktionennormen. Ein Beispiel ist \|f\|_w=\sqrt{\langle f,f\rangle_w} mit \langle f,g\rangle_w=\int_\Omega w(x)f(x)g(x)\,dx. Dadurch lassen sich Funktionenräume erweitern oder einschränken.

Quasinormen schwächen die Dreiecksungleichung ab: Es muss nur eine Konstante k>1 existieren, sodass \|x+y\|\leq k(\|x\|+\|y\|) gilt. Die \ell^p-Normen für 0<p<1 sind Quasinormen und führen zu quasinormierten Räumen beziehungsweise Quasi-Banachräumen.

Noch allgemeiner kann man Normen auf Vektorräumen über bewerteten Körpern (K,|\cdot|) oder auf R-Moduln über Ringen mit Betrag betrachten. Wird der Betrag im Grundring durch eine Pseudobewertung ersetzt und Homogenität zu Subhomogenität abgeschwächt, erhält man eine Pseudonorm.