Länge (Mathematik)

Grundbegriff und Streckenlängen

Die Länge ist eine mathematische Eigenschaft von Strecken, Wegen und Kurven. Die Länge einer Kurve heißt auch Bogenlänge.

Für zwei Punkte A(a₁|a₂) und B(b₁|b₂) in der Ebene ℝ² ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras:

AB̅ = √((b₁−a₁)² + (b₂−a₂)²).

Im dreidimensionalen Raum ℝ³ gilt für A(a₁|a₂|a₃) und B(b₁|b₂|b₃):

AB̅ = √((b₁−a₁)² + (b₂−a₂)² + (b₃−a₃)²).

Diese Formeln lassen sich verallgemeinern. Betrachtet man die Länge der Strecke als Länge des Vektors →AB, erhält man den Begriff der Norm. Betrachtet man allgemeiner den Abstand der Endpunkte, spricht man von einer Metrik.

Länge eines Weges

Ein Weg ist eine stetige Abbildung γ: [a,b] → X von einem Intervall in einen topologischen Raum X. Damit man ihm eine Länge zuordnen kann, muss X mit einer geeigneten Zusatzstruktur versehen sein, etwa dem üblichen Längenbegriff in ℝ² oder ℝ³, einer riemannschen Metrik oder einer allgemeinen Metrik. Die Länge des Weges γ wird mit L(γ) bezeichnet.

Ein ebener Weg hat die Form t ↦ (x(t), y(t)), ein räumlicher Weg die Form t ↦ (x(t), y(t), z(t)) für a ≤ t ≤ b. Für stückweise stetig differenzierbare Wege ist die Länge das Integral über die Länge des Ableitungsvektors:

L = ∫ₐᵇ √(x'(t)² + y'(t)²) dt

beziehungsweise im Raum:

L = ∫ₐᵇ √(x'(t)² + y'(t)² + z'(t)²) dt.

Herleitung und typische Beispiele

Zur Motivation wird ein ebener Weg durch kleine Geradenstücke Δs angenähert. Jedes Stück wird in die Komponenten Δx und Δy zerlegt. Nach dem Satz des Pythagoras gilt (Δs)² = (Δx)² + (Δy)². Die Summe der Geradenstücke nähert die Weglänge an:

L = Σ Δs = Σ √((Δx)² + (Δy)²) = Σ √((Δx/Δt)² + (Δy/Δt)²) Δt.

Im Grenzübergang wird daraus die Summe infinitesimal kleiner Stücke:

L = ∫ ds = ∫ √(ẋ² + ẏ²) dt = ∫ ‖ḟ(t)‖ dt.

In der Kinematik kann der Integrand als Betrag der Momentangeschwindigkeit verstanden werden; t ist dann die Zeit.

Die Kreislinie mit Radius r und Parametrisierung t ↦ (r cos t, r sin t) für 0 ≤ t ≤ 2π hat die Länge 2πr.

Ein Stück einer Schraubenlinie mit Radius r und Ganghöhe h, parametrisiert durch t ↦ (r cos t, r sin t, h/(2π) · t) für 0 ≤ t ≤ 2π, hat die Länge

√((2πr)² + h²).

Spezielle Berechnungsformeln

Für eine stetig differenzierbare Funktion f: [a,b] → ℝ ist die Länge des Funktionsgraphen zwischen (a|f(a)) und (b|f(b)):

L(a,b) = ∫ₐᵇ √(1 + f'(x)²) dx.

Sie folgt aus dL² = dy² + dx² und dy = dx · f'(x). Als Beispiel wird ein Kreis mit Radius r betrachtet. Für den oberen Halbkreis gilt f(x) = √(r² − x²) und f'(x) = −x/√(r² − x²). Mit der Formel ergibt sich für den gesamten Umfang:

L = 2∫₋ᵣʳ √(1 + x²/(r² − x²)) dx = 2r∫₋ᵣʳ dx/√(r² − x²) = 2πr.

Ist ein ebener Weg in Polarkoordinaten durch φ ↦ (r(φ) cos φ, r(φ) sin φ) für φ₀ ≤ φ ≤ φ₁ gegeben, dann lautet die Länge:

L = ∫φ₀φ₁ √((r'(φ))² + r²(φ)) dφ.

Dabei ergeben sich aus der Produktregel dx/dφ = r'(φ) cos φ − r(φ) sin φ und dy/dφ = r'(φ) sin φ + r(φ) cos φ; ihre quadrierte Summe ist (r'(φ))² + r²(φ).

Rektifizierbare Wege und Verallgemeinerungen

In einem metrischen Raum (X,d) sei γ: [0,1] → X ein Weg. Er heißt rektifizierbar oder streckbar, wenn das Supremum der Längen aller Approximationen durch Streckenzüge endlich ist:

L(γ) = sup { Σᵢ₌₀ᵏ⁻¹ d(γ(tᵢ), γ(tᵢ₊₁)) | k ∈ ℕ, 0 = t₀ < t₁ < … < tₖ₋₁ < tₖ = 1 }.

In diesem Fall ist L(γ) die Länge des Weges. Die Länge ist somit das Supremum der Längen aller polygonalen Approximationen. Für die betrachteten differenzierbaren Wege stimmt diese Definition mit der Integraldefinition überein.

Nicht jeder stetige Weg ist rektifizierbar. Beispiele sind die Koch-Kurve, andere Fraktale, raumfüllende Kurven sowie fast sicher die Pfade eines Wiener-Prozesses.

In einer riemannschen Mannigfaltigkeit M ist die Länge eines stückweise differenzierbaren Weges γ: [a,b] → M definiert durch

L(γ) = ∫ₐᵇ ‖γ̇(t)‖ dt.

Kurven und Parametrisierung nach der Bogenlänge

Zu einem Weg γ: [a,b] → X gehört die Bildmenge Γ = γ([a,b]); sie heißt Kurve oder Spur des Weges. Der Weg ist eine Parameterdarstellung beziehungsweise Parametrisierung der Kurve. Verschiedene Wege können dasselbe Bild und damit dieselbe Kurve haben.

Die Länge einer Kurve kann als Länge eines zugehörigen Weges definiert werden, wenn sie unabhängig von der Parametrisierung ist. Für zwei injektive Parametrisierungen γ₁: [a₁,b₁] → ℝⁿ und γ₂: [a₂,b₂] → ℝⁿ derselben Kurve Γ gilt:

L(γ₁) = L(γ₂) = L(Γ).

Eine besondere Parametrisierung ist die nach der Weglänge. Für eine rektifizierbare Kurve mit Parametrisierung γ: [a,b] → ℝⁿ bezeichnet man die Länge der Teilkurve γ|[a,t] mit ℓ(t). Die Weglängenfunktion ℓ ist stetig und monoton wachsend; bei injektivem γ ist sie streng monoton wachsend und hat das Bild [0,L(γ)]. Dann besitzt sie eine Umkehrfunktion ℓ⁻¹, und

γ̂(s) = γ(ℓ⁻¹(s)),  0 ≤ s ≤ L(γ),

ist die Parametrisierung mit der Bogenlänge als Parameter. Ist γ stetig differenzierbar und γ̇(τ) ≠ 0 für alle τ ∈ [a,b], dann ist auch γ̂ stetig differenzierbar und es gilt für alle s ∈ [0,L(Γ)]:

‖dγ̂(s)/ds‖ = 1.

Der Parameter s misst in dieser Darstellung unmittelbar die bis zu diesem Punkt zurückgelegte Weglänge.