Reelle Zahl

Bedeutung und Einteilung

Die reellen Zahlen bilden einen zentralen Zahlenbereich der Mathematik. Sie erweitern die rationalen Zahlen und eignen sich deshalb als Maßzahlen für übliche physikalische Größen wie Länge, Temperatur oder Masse. Auch Längen, Flächeninhalte und Rauminhalte vielfältiger geometrischer Objekte lassen sich sinnvoll als reelle Zahlen, nicht aber stets als rationale Zahlen auffassen. Die reellen Zahlen werden mit ℝ oder gelegentlich mit 𝐑 bezeichnet und in der Schule häufig durch die Zahlengerade veranschaulicht.

Es gilt die Mengeninklusion ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ:

Die natürlichen Zahlen ℕ sind entweder {1, 2, 3, …} ohne 0 oder {0, 1, 2, 3, …} mit 0; letztere Menge wird auch ℕ₀ genannt.
Die ganzen Zahlen sind ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}.
Die rationalen Zahlen sind genau diejenigen Zahlen, die sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben lassen: ℚ = {p/q | p ∈ ℤ, q ∈ ℕ \ {0}}. Beispiele sind −2/1, −1/2, 0, 1/2 und 1/3.
Die irrationalen Zahlen sind ℝ \ ℚ, also die reellen Zahlen, die nicht rational sind. Beispiele sind √2 und ∛7.

Die reellen algebraischen Zahlen sind die reellen Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. Dazu gehören sämtliche reellen n-ten Wurzeln aus rationalen Zahlen für n ∈ ℕ und deren endliche Summen, aber auch weitere Zahlen, etwa Lösungen geeigneter Gleichungen 5. Grades. Das Komplement dieser Menge in ℝ bilden die reellen transzendenten Zahlen. Jede transzendente Zahl ist irrational. Beispiele sind die Kreiszahl π und die Eulersche Zahl e. Die genannten Beispiele sind berechenbar; im Gegensatz dazu ist der Grenzwert einer Specker-Folge nicht berechenbar.

Die besondere Vollständigkeit der reellen Zahlen ist für „stetige Probleme“ wichtig: Wenn beliebig gute, nahe beieinander liegende Näherungslösungen existieren, gibt es unter geeigneten Voraussetzungen auch eine reelle Zahl als exakte Lösung. Deshalb werden reelle Zahlen besonders in Analysis, Topologie und Geometrie verwendet.

Häufige Teilmengen und Schreibweisen

Für a ∈ ℝ werden wichtige Teilmengen der reellen Zahlen folgendermaßen bezeichnet:

ℝ^{≠a} = ℝ \ {a}: alle reellen Zahlen außer a.
ℝ^{≥a} = {x ∈ ℝ | x ≥ a}.
ℝ^{>a} = {x ∈ ℝ | x > a}.
ℝ^{≤a} = {x ∈ ℝ | x ≤ a}.
ℝ^{<a} = {x ∈ ℝ | x < a}.

Für a = 0 bezeichnet ℝ^{>0} die positiven reellen Zahlen und ℝ^{≥0} die nichtnegativen reellen Zahlen. Manchmal werden für den Spezialfall a = 0 auch ℝ⁺ oder ℝ₀⁺ verwendet. Dabei ist Vorsicht nötig: Bei manchen Autoren enthält ℝ⁺ die 0, bei anderen nicht.

Konstruktion aus den rationalen Zahlen

Die Konstruktion der reellen Zahlen als Erweiterung der rationalen Zahlen war im 19. Jahrhundert wichtig, um die Analysis auf ein solides mathematisches Fundament zu stellen. Die erste exakte Konstruktion geht wohl auf Karl Weierstraß zurück, der reelle Zahlen über beschränkte Reihen mit positiven Gliedern definierte.

Heute sind insbesondere vier Konstruktionen gebräuchlich:

Dedekindsche Schnitte: Reelle Zahlen werden als kleinste obere Schranken von nach oben beschränkten Teilmengen der rationalen Zahlen dargestellt.
Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen: Eine Cauchy-Folge ist eine Folge rationaler Zahlen, deren Glieder sich untereinander beliebig nahekommen. Zwei solche Folgen gelten als äquivalent, wenn ihre punktweisen Differenzen eine Nullfolge bilden. Die Äquivalenzrelation ist reflexiv, transitiv und symmetrisch.
Äquivalenzklassen von Intervallschachtelungen rationaler Intervalle.
Vervollständigung der topologischen Gruppe der rationalen Zahlen durch Vervollständigung ihrer kanonischen uniformen Struktur.

Alle vier Methoden vervollständigen die rationalen Zahlen und führen bis auf Isomorphie zur gleichen Struktur, dem Körper der reellen Zahlen. Die Dedekind-Schnitte vervollständigen die Ordnung: Die rationalen Zahlen liegen in der Ordnung dicht in ℝ, und jede nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum. Die Cauchy-Folgen vervollständigen die rationalen Zahlen als metrischen Raum: Jede Cauchy-Folge besitzt einen Grenzwert, und ℚ liegt topologisch dicht in ℝ. Intervallschachtelungen spiegeln numerische Berechnungen wider, bei denen ein Wert durch Näherungswerte und Intervalle mit kontrolliertem Näherungsfehler eingeschlossen wird. Die Vervollständigung einer uniformen Struktur ist besonders allgemein und nicht auf geordnete oder mit einem Abstand versehene Strukturen beschränkt.

Die aus der Addition und Multiplikation rationaler Zahlen induzierten Operationen auf den Äquivalenzklassen sind wohldefiniert, also unabhängig von der Wahl der Repräsentanten. Zusammen mit der induzierten totalen Ordnung bilden die reellen Zahlen einen geordneten Körper.

Axiomatische Beschreibung und Vollständigkeit

Statt die reellen Zahlen zu konstruieren, kann man sie durch drei Gruppen von Axiomen charakterisieren: Körperaxiome, Axiome der Ordnungsstruktur und ein Vollständigkeitsaxiom. Die reellen Zahlen sind ein Körper und total geordnet. Für a, b, c ∈ ℝ gilt:

Genau eine der Beziehungen a < b, a = b oder b < a gilt (Trichotomie).
Aus a < b und b < c folgt a < c (Transitivität).
Aus a < b folgt a + c < b + c (Verträglichkeit mit der Addition).
Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc (Verträglichkeit mit der Multiplikation).

Das Supremumsaxiom lautet: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von ℝ besitzt ein Supremum in ℝ. Das Supremum ist dabei die kleinste obere Schranke.

Die Konstruktion aus der Mengenlehre über ℕ, ℤ und ℚ bis zu ℝ dient als Existenzbeweis für ein Modell dieser Axiome. Die Axiome bestimmen den Körper der reellen Zahlen bis auf Isomorphie eindeutig. Wesentlich ist dabei, dass ein Modell der reellen Zahlen außer der Identität keinen weiteren Automorphismus besitzt.

Zum Supremumsaxiom gleichwertige Aussagen

Die Vollständigkeit kann anstelle des Supremumsaxioms auch durch andere, gleichwertige Axiome beschrieben werden:

Archimedisches Axiom zusammen mit dem Vollständigkeitsaxiom, dass jede Cauchy-Folge in ℝ konvergiert.
Archimedisches Axiom zusammen mit dem Intervallschachtelungsaxiom: Der Durchschnitt jeder monoton fallenden Folge abgeschlossener beschränkter Intervalle ist nichtleer.
Infimumsaxiom: Jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge von ℝ besitzt ein Infimum.
Heine-Borel-Axiom: Wird ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall von beliebig vielen offenen Mengen überdeckt, reichen stets endlich viele dieser offenen Mengen zur Überdeckung aus.
Bolzano-Weierstraß-Axiom: Jede unendliche beschränkte Teilmenge von ℝ besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Monotonieaxiom: Jede monotone beschränkte Folge in ℝ konvergiert.
Zusammenhangsaxiom: ℝ bildet mit der üblichen Topologie einen zusammenhängenden topologischen Raum.

Auch Eigenschaften stetiger Funktionen können als Vollständigkeitsaxiome dienen. Das Zwischenwertaxiom besagt, dass eine auf einem Intervall definierte stetige reelle Funktion jeden Zwischenwert ihres Wertebereichs annimmt. Nach dem Beschränktheitsaxiom hat eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall definierte stetige reelle Funktion einen nach oben beschränkten Wertebereich. Das Maximumsaxiom fordert, dass eine solche Funktion stets eine Maximumsstelle besitzt.

Mächtigkeit, Topologie und Erweiterung

Die Mächtigkeit der reellen Zahlen wird mit 𝔠, der Mächtigkeit des Kontinuums, bezeichnet. Sie ist größer als die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen, die als kleinste unendliche Mächtigkeit ℵ₀ heißt. ℝ ist daher überabzählbar: Jede Liste x₁, x₂, x₃, … reeller Zahlen ist unvollständig. Ein Beweis dafür ist Cantors zweites Diagonalargument. Weil ℝ gleichmächtig zur Potenzmenge der natürlichen Zahlen ist, gilt außerdem 𝔠 = 2^{ℵ₀}.

ℕ, ℤ, ℚ, die algebraischen Zahlen und allgemeiner die berechenbaren Zahlen sind dagegen abzählbar. Die Überabzählbarkeit entsteht erst durch die nicht berechenbaren transzendenten Zahlen. Die Kontinuumshypothese fragt, ob es eine Mächtigkeit zwischen ℵ₀ und 𝔠 gibt beziehungsweise ob jede überabzählbare Teilmenge von ℝ gleichmächtig zu ℝ ist. Sie wird als ℵ₁ = 𝔠 beziehungsweise 2^{ℵ₀} = ℵ₁ formuliert und ist unabhängig von den üblichen Axiomensystemen wie der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC).

Die übliche Topologie auf ℝ wird durch die offenen Intervalle (a,b) = {x ∈ ℝ | a < x < b} erzeugt. Diese Ordnungstopologie ist zugleich die Topologie des metrischen Raums mit d(x,y) = |x − y|. Offene Kugeln haben die Form Bᵣ(p) = {x ∈ ℝ | |x − p| < r} beziehungsweise ]p − r, p + r[. Da ℚ topologisch dicht in ℝ liegt, können für Intervallgrenzen, Mittelpunkte und Radien rationale Zahlen verwendet werden; die Topologie genügt daher beiden Abzählbarkeitsaxiomen.

ℝ ist lokalkompakt, aber nicht kompakt. Für jedes x ∈ ℝ gibt es eine offene Umgebung mit kompaktem Abschluss; jede beschränkte offene Menge U mit x ∈ U erfüllt dies nach dem Satz von Heine-Borel. Eine verbreitete Kompaktifizierung sind die erweiterten reellen Zahlen ℝ̄ = ℝ ∪ {−∞, +∞}. Umgebungen von −∞ werden durch Bᵣ(−∞) = {x ∈ ℝ | x < −1/r}, Umgebungen von +∞ durch Bᵣ(+∞) = {x ∈ ℝ | x > 1/r} für r ∈ ℚ⁺ beschrieben. In dieser Topologie ist etwa limₙ→∞ n² = +∞ ein echter Grenzwert. ℝ̄ bleibt total geordnet, besitzt aber keine Körperstruktur; beispielsweise hat ∞ + x = ∞ keine eindeutige Lösung.

Für Computer werden reelle Zahlen näherungsweise durch Gleitkommazahlen dargestellt. Intervallarithmetik berücksichtigt bei Berechnungen die Näherungsfehler. Zahlen werden außerdem in einem Zahlensystem dargestellt; Nicht-Standard-Modelle der Analysis gehören zu den verwandten Themen.