Komplexe Zahl

Begriff, Zweck und Definition

Die komplexen Zahlen ℂ erweitern die reellen Zahlen ℝ, sodass insbesondere Gleichungen wie x² + 1 = 0 beziehungsweise x² = −1 lösbar werden. Da das Quadrat jeder reellen Zahl mindestens 0 ist, führt man die imaginäre Einheit i mit i² = −1 ein. Jede komplexe Zahl besitzt genau eine Darstellung

z = a + b·i

mit reellen Zahlen a und b. Dabei heißt a = Re(z) Realteil und b = Im(z) Imaginärteil. Reelle Zahlen sind genau die komplexen Zahlen mit b = 0; rein imaginäre Zahlen haben a = 0. Es gelten die üblichen Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze. Jede Zahl z besitzt ein additives Inverses −z, und jede Zahl z ≠ 0 ein multiplikatives Inverses 1/z. Unter den Zahlbereichen mit ℝ und einem Element i mit i² = −1 ist ℂ minimal.

ℂ ist ein Körper, ein Erweiterungskörper von ℝ und zugleich ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit Basis {1, i}. Die Gleichung x² + 1 = 0 hat genau die Lösungen i und −i. Besonders wichtig ist die algebraische Abgeschlossenheit: Jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten besitzt eine komplexe Nullstelle; dies ist der Fundamentalsatz der Algebra. Außerdem ist jede auf einer offenen Menge einmal komplex differenzierbare Funktion dort bereits beliebig oft differenzierbar.

In der Elektrotechnik wird für die imaginäre Einheit meist j statt i verwendet, damit keine Verwechslung mit der Stromstärke i beziehungsweise i(t) entsteht. DIN 1302 legt diese Bezeichnung fest.

Zahlenebene, Betrag und Konjugation

Eine komplexe Zahl z = a + b·i wird in der gaußschen Zahlenebene durch den Punkt (a,b) dargestellt. Die waagerechte Achse ist die reelle, die senkrechte die imaginäre Achse. Addition und Subtraktion entsprechen der Addition und Subtraktion von Vektoren; die Multiplikation wirkt geometrisch als Drehstreckung.

Neben der kartesischen Form gibt es für z ≠ 0 die Polarform

z = r(cos φ + i sin φ) = r·cis φ = r·e^(iφ).

Dabei ist r = |z| = √(a²+b²) der Betrag und φ = arg(z) ein Argument, also der Winkel zur positiven reellen Achse. Es gelten cos φ = a/√(a²+b²) und sin φ = b/√(a²+b²). Für das Hauptargument verwendet man gewöhnlich −π < φ ≤ π. Die Zahl 0 besitzt kein Argument. Beispiel: |12+5i| = √(12²+5²) = 13.

Die konjugiert komplexe Zahl zu z = a+b·i ist z̄ = a−b·i. Geometrisch ist dies die Spiegelung an der reellen Achse; in Polarform bleibt der Betrag gleich und der Winkel wechselt sein Vorzeichen. Die Konjugation ist mit Addition und Multiplikation verträglich:

overline(y+z) = ȳ+z̄ und overline(yz) = ȳz̄.

Wichtige Beziehungen sind

z·z̄ = a²+b² = |z|², z+z̄ = 2 Re(z), z−z̄ = 2i Im(z).

Der Abstand zweier komplexer Zahlen ist dℂ(z₁,z₂) = |z₁−z₂|. Damit besitzt ℂ dieselbe metrische und topologische Struktur wie ℝ² und ist vollständig. Anders als ℝ ist ℂ kein geordneter Körper: Für zwei beliebige komplexe Zahlen lässt sich keine mit Addition und Multiplikation verträgliche allgemeine Aussage treffen, welche größer oder kleiner ist.

Grundrechenarten

Für z = a+b·i und w = c+d·i rechnet man komponentenweise beziehungsweise unter Verwendung von i² = −1:

• Addition: z+w = (a+c)+(b+d)i. • Subtraktion: z−w = (a−c)+(b−d)i. • Multiplikation: zw = (ac−bd)+(ad+bc)i.

Für die Division durch w ≠ 0 erweitert man mit der konjugierten Zahl w̄ = c−di. Dadurch wird der Nenner reell:

z/w = (z·w̄)/(w·w̄) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc−ad)/(c²+d²)i.

In Polarform sind Multiplikation und Division besonders einfach. Für z₁ = r₁e^(iφ₁) und z₂ = r₂e^(iφ₂) gilt

z₁z₂ = r₁r₂e^(i(φ₁+φ₂)), z₁/z₂ = (r₁/r₂)e^(i(φ₁−φ₂)), sofern r₂ ≠ 0.

Bei der Multiplikation werden somit die Beträge multipliziert und die Winkel addiert; bei der Division werden die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert. Für Addition und Subtraktion ist dagegen meist die kartesische Form günstiger.

Typische Beispiele sind:

(5+3i)+(4+2i) = 9+5i, (5+3i)−(4+2i) = 1+i, (5+3i)(4+2i) = 14+22i, (5+3i)/(4+2i) = 13/10+i/10.

Potenzen, Logarithmen und Mehrdeutigkeit

Für eine natürliche Zahl n und z = re^(iφ) liefert der Satz von de Moivre

zⁿ = rⁿe^(inφ) = rⁿ(cos(nφ)+i sin(nφ)).

Der Betrag wird also potenziert und das Argument mit n multipliziert. Beispielsweise gilt (1+i)⁸ = 16.

Ein komplexer Logarithmus von z ≠ 0 ist eine Zahl w mit e^w = z. Wegen der Periodizität der Exponentialfunktion ist er nicht eindeutig: Ist w ein Logarithmus, dann auch w+2πik für jedes k ∈ ℤ. Der Hauptwert wird für z = re^(iφ), r > 0 und −π < φ ≤ π, durch

Log(z) = ln r+iφ = ln|z|+i arg(z)

definiert. Die reelle Regel ln(xy)=ln(x)+ln(y) gilt für den Hauptzweig im Komplexen nicht allgemein; beim Überschreiten des gewählten Winkelbereichs können Vielfache von 2πi auftreten.

Für z ≠ 0 und einen komplexen Exponenten ω kann der Hauptwert durch

z^ω := e^(ω·Log(z))

definiert werden. Das Ergebnis hängt jedoch im Allgemeinen von der Wahl des Logarithmuszweiges ab. Nur für ganzzahliges ω stimmen alle möglichen Werte überein. Beispielsweise ist der Hauptwert i^i = e^(−π/2); alle möglichen Werte sind {e^−((4k+1)π/2) | k ∈ ℤ}. Auch vertraute Potenzgesetze können versagen: Beim Hauptzweig ist (−1)^(1/2)(−1)^(1/2) = i·i = −1, während ((−1)(−1))^(1/2) = 1.

Konstruktionen und algebraische Struktur

Komplexe Zahlen können formal als geordnete Paare reeller Zahlen konstruiert werden. Man setzt ℂ = ℝ² und definiert

(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d), (a,b)(c,d) = (ac−bd,ad+bc).

Die reelle Zahl a wird mit (a,0) identifiziert, und i wird als (0,1) definiert. Dann ist i² = (−1,0) = −1, und jedes Paar besitzt eindeutig die Form (a,b) = a+bi. Das Nullelement ist (0,0), das Einselement (1,0). Für (a,b) ≠ (0,0) lautet das multiplikative Inverse

(a,b)⁻¹ = (a/(a²+b²),−b/(a²+b²)).

Eine gleichwertige algebraische Konstruktion ist der Faktorring ℝ[X]/(X²+1). Dabei wird die Unbestimmte X zur imaginären Einheit; dieses Verfahren heißt Adjunktion. Die Körpererweiterung ℂ/ℝ hat den Grad [ℂ:ℝ] = 2, und X²+1 ist das Minimalpolynom von i über ℝ.

Ein weiteres Modell bilden die reellen 2×2-Matrizen

Z = ((a,−b),(b,a)).

Die Einheitsmatrix stellt 1 dar, die Matrix ((0,−1),(1,0)) stellt i dar und hat das Quadrat −E. Solche Matrizen beschreiben dieselben Drehstreckungen wie die Multiplikation mit a+bi in der gaußschen Ebene.

Die komplexen Zahlen ohne 0 bilden unter der Multiplikation die Gruppe ℂ×. Zahlen e^(iφ) haben Betrag 1 und bilden den Einheitskreis beziehungsweise die Kreisgruppe. Jede endliche Untergruppe von ℂ× ist zyklisch und besteht für ein n ∈ ℕ aus den n-ten Einheitswurzeln e^(2πik/n) mit k = 0,1,…,n−1.

Bedeutung und Anwendungen

Komplexe Zahlen sind in Mathematik, Physik und Technik wichtig, weil sie algebraische Gleichungen vervollständigen, Drehungen und Schwingungen einfach beschreiben und einen engen Zusammenhang zwischen Exponential- und trigonometrischen Funktionen herstellen.

In der Physik ist der Zustand eines quantenmechanischen Systems ein Element eines projektiven Hilbertraums über ℂ. Komplexe Zahlen treten außerdem in der Schrödinger- und Klein-Gordon-Gleichung auf. Bei Schwingungen lassen sich Produkte und Beziehungen von Sinus- und Kosinusfunktionen durch leichter zu behandelnde Exponentialfunktionen ersetzen. In der Optik werden brechende und absorbierende Eigenschaften durch eine komplexe Permittivität oder einen komplexen Brechungsindex zusammengefasst. In der Fluiddynamik dienen komplexe Funktionen zur Beschreibung ebener Potentialströmungen und konformer Abbildungen; für genaue Berechnungen reicht diese Methode im Allgemeinen jedoch nicht aus.

In der Elektrotechnik vereinfacht die komplexe Wechselstromrechnung Berechnungen sinusförmiger Spannungen und Ströme sowie von Widerständen, Kondensatoren, Spulen, Wirk- und Blindleistung. Auch unterschiedliche Phasenlagen lassen sich übersichtlich darstellen. Die digitale Signalverarbeitung beruht ebenfalls wesentlich auf komplexen Zahlen.

In der Körpertheorie ist ℂ der algebraische Abschluss von ℝ. Das Lefschetz-Prinzip ermöglicht die Übertragung bestimmter Ergebnisse zwischen algebraisch abgeschlossenen Körpern. In der Spektraltheorie können komplexe Zahlen Eigenwerte reeller Matrizen sein; nichtreelle Eigenwerte treten dabei zusammen mit ihrem konjugiert komplexen Partner auf. Das charakteristische Polynom zerfällt über ℂ stets in Linearfaktoren.

Die Funktionentheorie untersucht komplex differenzierbare, sogenannte holomorphe Funktionen. Sie ist starrer als die reelle Analysis: Eine einmal komplex differenzierbare Funktion ist bereits beliebig oft differenzierbar. Methoden wie der Residuensatz helfen auch bei reellen Integralen. In der analytischen Zahlentheorie werden Aussagen über ganze Zahlen mit komplexen Funktionen untersucht, etwa beim Zusammenhang zwischen dem Primzahlsatz und der riemannschen ζ-Funktion.