Vektorraum

Grundidee und Definition

Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, deren Elemente Vektoren heißen. Vektoren können addiert und mit Skalaren multipliziert werden; das Ergebnis ist jeweils wieder ein Vektor desselben Raums. Die Skalare stammen aus einem Körper K, meist aus dem Körper der reellen Zahlen ℝ oder der komplexen Zahlen ℂ. Entsprechend spricht man von einem reellen oder komplexen Vektorraum.

Formal besteht ein K-Vektorraum aus einer Menge V, einer Vektoraddition ⊕: V × V → V und einer Skalarmultiplikation ⊙: K × V → V. Für alle u, v, w ∈ V und α, β ∈ K gelten:

• V1: u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w (Assoziativgesetz).
• V2: Es gibt einen Nullvektor 0_V mit v ⊕ 0_V = 0_V ⊕ v = v.
• V3: Zu jedem v gibt es einen inversen Vektor −v mit v ⊕ (−v) = (−v) ⊕ v = 0_V.
• V4: v ⊕ u = u ⊕ v (Kommutativgesetz).
• S1: α ⊙ (u ⊕ v) = (α ⊙ u) ⊕ (α ⊙ v).
• S2: (α + β) ⊙ v = (α ⊙ v) ⊕ (β ⊙ v).
• S3: (α · β) ⊙ v = α ⊙ (β ⊙ v).
• S4: 1 ⊙ v = v für das Einselement 1 des Körpers K.

Die Axiome V1 bis V4 machen V bezüglich der Addition zu einer abelschen Gruppe. S1 und S2 sind Distributivgesetze; S3 beschreibt die Verträglichkeit der Skalarmultiplikation mit der Körpermultiplikation. Üblicherweise werden Körperaddition und Vektoraddition beide mit + sowie Körpermultiplikation und Skalarmultiplikation beide mit · bezeichnet. Dadurch schreibt man beispielsweise α · (u + v) = α · u + α · v.

Wichtige Eigenschaften, Basen und Unterräume

Aus den Axiomen folgen unter anderem für α ∈ K und v, w ∈ V:

• (−α) ⊙ v = −(α ⊙ v) = α ⊙ (−v).
• α ⊙ v = 0_V genau dann, wenn α = 0_K oder v = 0_V.
• Die Gleichung v ⊕ x = w besitzt eindeutig die Lösung x = w ⊕ (−v).

Eine Linearkombination der Vektoren v₁, …, vₙ ist eine Summe s = α₁v₁ + … + αₙvₙ = ∑ᵢ₌₁ⁿ αᵢvᵢ mit Skalaren α₁, …, αₙ ∈ K. Die lineare Hülle einer Menge S ⊆ V besteht aus allen Linearkombinationen von Vektoren aus S. Sie ist der kleinste Untervektorraum, der S enthält.

Eine Menge S heißt linear abhängig, wenn sich der Nullvektor als Linearkombination ihrer Vektoren darstellen lässt, bei der mindestens ein Koeffizient von null verschieden ist. Andernfalls heißt S linear unabhängig. Eine Basis B von V ist eine linear unabhängige Menge, deren lineare Hülle ganz V ist. Jeder Vektor lässt sich bezüglich einer Basis eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren schreiben. Die dabei auftretenden Koeffizienten heißen Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis.

Die Anzahl der Basisvektoren heißt Dimension. Sie ist unabhängig von der gewählten Basis und kann auch unendlich sein. Unter Voraussetzung des Auswahlaxioms besitzt jeder Vektorraum eine Basis; dies lässt sich mit dem Lemma von Zorn beweisen. Zwei Vektorräume über demselben Körper sind genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension besitzen. Ein Isomorphismus ist eine bijektive lineare Abbildung. In endlichdimensionalen Räumen können lineare Abbildungen mithilfe von Matrizen dargestellt werden. Auch in unendlichdimensionalen Räumen ist eine entsprechende Darstellung möglich, wenn jede verallgemeinerte Spalte nur endlich viele von null verschiedene Einträge besitzt.

Ein Untervektorraum U ist eine Teilmenge eines Vektorraums V, die mit den geerbten Operationen selbst ein Vektorraum über demselben Körper ist. Dafür muss U nichtleer und bezüglich Addition sowie Skalarmultiplikation abgeschlossen sein: Für u, v ∈ U gilt u + v ∈ U, und für v ∈ U, α ∈ K gilt αv ∈ U. Jeder Untervektorraum enthält insbesondere den Nullvektor. Die trivialen Untervektorräume sind V selbst und der Nullvektorraum {0}. Untervektorräume können als Bilder oder Kerne linearer Abbildungen auftreten; aus einem Vektorraum und einem Untervektorraum lässt sich außerdem ein Quotienten- oder Faktorraum bilden.

Typische Beispiele

Die zweidimensionale euklidische Ebene ℝ² ist ein anschaulicher Vektorraum. Seine Vektoren können als Verschiebungen oder Translationen, seine Skalare als reelle Zahlen aufgefasst werden. Für v⃗ = (2, 3) und w⃗ = (3, −5) gilt komponentenweise

v⃗ + w⃗ = (5, −2).

Dies entspricht einer Verschiebung um 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten. Der Nullvektor 0⃗ = (0, 0) lässt alle Punkte an ihrem Platz. Mit dem Skalar a = 3 ergibt sich

3 · v⃗ = 3 · (2, 3) = (6, 9).

Allgemeiner bildet für einen Körper K und eine natürliche Zahl n das kartesische Produkt Kⁿ = {(v₁, …, vₙ) | v₁, …, vₙ ∈ K} einen Vektorraum über K. Addition und Skalarmultiplikation erfolgen komponentenweise:

(u₁, …, uₙ) + (v₁, …, vₙ) = (u₁ + v₁, …, uₙ + vₙ),

α · (v₁, …, vₙ) = (αv₁, …, αvₙ).

Jeder n-dimensionale K-Vektorraum ist isomorph zu Kⁿ. Eine Basis ermöglicht es, seine Elemente eindeutig durch Koordinatentupel darzustellen.

Auch Funktionenräume sind Vektorräume. Ist V ein K-Vektorraum und A eine beliebige Menge, so bildet die Menge F(A, V) aller Funktionen f: A → V mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation einen K-Vektorraum:

(f + g)(x) = f(x) + g(x),

(α · f)(x) = α · f(x).

Das gilt insbesondere für F(A, K). Häufig sind K = ℝ oder K = ℂ. Beispiele für Untervektorräume sind C⁰(ℝ, ℝ), der Raum der stetigen Funktionen, und Cᵏ(ℝ, ℝ), der Raum der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen.

Der zweidimensionale Raum der reellen linearen Funktionen besteht aus Funktionen f: ℝ → ℝ der Form f(x) = ax + b. Für f(x) = 2x + 3 und g(x) = 3x − 5 gilt

(f + g)(x) = 5x − 2,

und das Dreifache von f ist (3f)(x) = 6x + 9. Die Menge dieser Funktionen ist ein Untervektorraum, weil Summen und skalare Vielfache linearer Funktionen wieder linear sind.

Der Polynomraum K[X] ist mit der üblichen Addition und Skalarmultiplikation ein unendlichdimensionaler Vektorraum. Die Monome {1, x, x², x³, …} bilden eine Basis. Polynome vom Grad höchstens n bilden einen Untervektorraum der Dimension n + 1. Die Polynome vom Grad höchstens 4, also ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, bilden beispielsweise einen 5-dimensionalen Raum mit der Basis {1, x, x², x³, x⁴}.

Ist L ein Oberkörper von K, so ist L mit seiner Addition und der eingeschränkten Multiplikation K × L → L ein K-Vektorraum. Beispielsweise ist ℂ ein zweidimensionaler ℝ-Vektorraum mit der Basis {1, i}; ℝ ist ein unendlichdimensionaler ℚ-Vektorraum, wobei eine Basis nicht konkret angegeben werden kann.

Lineare Abbildungen und Verknüpfungen

Eine lineare Abbildung erhält die Vektorraumstruktur. Eine Funktion f: U → V zwischen Vektorräumen U und V über demselben Körper K ist genau dann linear, wenn für alle a, b ∈ U und λ ∈ K gilt:

f(a + b) = f(a) + f(b),

f(λa) = λf(a).

Lineare Abbildungen sind damit mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich. Sind sie zusätzlich bijektiv, heißen sie Isomorphismen. Die Umkehrfunktion eines Isomorphismus ist automatisch ebenfalls linear; isomorphe Vektorräume besitzen dieselbe Vektorraumstruktur.

Mehrere Vektorräume über demselben Körper können zu neuen Vektorräumen verbunden werden. Die direkte Summe zweier Vektorräume V und W ist die Menge V ⊕ W = {(v, w) | v ∈ V, w ∈ W}. Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert. Es gilt

dim(V ⊕ W) = dim(V) + dim(W).

Die direkte Summe kann auf endlich viele und unendlich viele Vektorräume erweitert werden. Bei einer unendlichen direkten Summe dürfen nur endlich viele Komponenten ungleich dem Nullvektor sein.

Das direkte Produkt V × W besteht ebenfalls aus allen Paaren (v, w) mit v ∈ V und w ∈ W; Operationen und Dimension verhalten sich bei zwei Räumen wie bei der direkten Summe. Bei unendlich vielen Vektorräumen dürfen im direkten Produkt jedoch unendlich viele Komponenten ungleich dem Nullvektor sein. Dadurch unterscheiden sich direktes Produkt und direkte Summe in diesem Fall.

Das Tensorprodukt zweier Vektorräume wird mit V ⊗ W bezeichnet. Seine Elemente besitzen Darstellungen der Form

∑ᵢ∈I ∑ⱼ∈J aᵢⱼ(vᵢ ⊗ wⱼ),

wobei aᵢⱼ Skalare, (vᵢ)ᵢ∈I eine Basis von V und (wⱼ)ⱼ∈J eine Basis von W sind. Bei unendlicher Dimension dürfen nur endlich viele Summanden ungleich null sein. Die Dimension erfüllt

dim(V ⊗ W) = dim(V) · dim(W).

Das Tensorprodukt kann auf mehrere Vektorräume verallgemeinert werden.

Zusätzliche Strukturen und Verallgemeinerungen

Die reine Vektorraumstruktur reicht in Geometrie und Analysis häufig nicht aus, weil sie insbesondere keine Grenzwertprozesse festlegt. Deshalb versieht man Vektorräume mit zusätzlichen, kompatiblen Strukturen:

• Ein euklidischer Vektorraum ist meist ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt.
• Ein normierter Raum ist ein Vektorraum, dessen Vektoren eine Länge, die Norm, besitzen. Die Norm ist eine nichtnegative reelle Zahl und erfüllt die Dreiecksungleichung.
• Ein Prähilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum mit einem inneren Produkt, also einem Skalarprodukt beziehungsweise einer positiv definiten hermiteschen Form. Dadurch lassen sich Länge und Winkel definieren.
• Ein topologischer Vektorraum ist ein topologischer Raum V mit kompatibler K-Vektorraumstruktur; die Abbildungen +: V × V → V und ·: K × V → V sind stetig.
• Ein unitärer Vektorraum ist meist ein komplexer Vektorraum mit positiv definiter hermitescher Form und damit ein Spezialfall eines Prähilberraums.

Diese Beispiele sind topologische Vektorräume. In ihnen können Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz und Vollständigkeit untersucht werden. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum, ein vollständiger Prähilbertraum Hilbertraum.

Ersetzt man in der Definition den Körper K durch einen kommutativen Ring, erhält man einen Modul. Moduln verallgemeinern sowohl abelsche Gruppen als auch Vektorräume. Manche Autoren lassen bei Körpern die Kommutativität der Multiplikation weg und betrachten Moduln über Schiefkörpern ebenfalls als Vektorräume. Dann muss zwischen K-Linksvektorräumen und K-Rechtsvektorräumen unterschieden werden; viele grundlegende Ergebnisse, etwa die Existenz einer Basis, gelten weiterhin analog. Über einem Halbkörper erhält man einen Halbvektorraum. Eine weitere Verallgemeinerung sind Vektorbündel, die für jeden Punkt eines topologischen Basisraums einen Vektorraum vorsehen.