Skalarprodukt

Grundidee und geometrische Definition

Das Skalarprodukt, auch inneres Produkt oder Punktprodukt, ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl, also einen Skalar, zuordnet. Es gehört zur analytischen Geometrie und linearen Algebra. Im euklidischen Anschauungsraum beschreibt es, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen: Es hängt von den Längen der Vektoren und vom eingeschlossenen Winkel ab.

Für zwei Vektoren a und b gilt geometrisch:

a · b = |a| |b| cos Winkel(a,b) = ab cos φ.

Dabei sind |a| und |b| die Längen der Vektoren, φ ist der eingeschlossene Winkel. Ist einer der beiden Vektoren der Nullvektor, wird das Skalarprodukt als 0 definiert, weil der Winkel dann nicht erklärt ist. Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, ist cos 90° = 0 und damit a · b = 0.

Geometrisch kann man das Skalarprodukt auch über Projektion deuten: Projiziert man b orthogonal auf die durch a bestimmte Richtung, dann ist a · b das Produkt aus der Länge von a und der vorzeichenbehafteten Länge dieser Projektion. Das Vorzeichen ist positiv, wenn die Projektion in Richtung von a zeigt, und negativ, wenn sie entgegengesetzt zeigt. Entsprechend gilt dieselbe Deutung auch umgekehrt mit der Projektion von a auf b.

Übliche Schreibweisen sind a · b, a ∘ b, a • b, ⟨a,b⟩ oder (a,b). Für a · a schreibt man auch kurz a².

Koordinatenform und Rechenbeispiele

In kartesischen Koordinaten lässt sich das Skalarprodukt besonders einfach berechnen: Man multipliziert jeweils die zusammengehörigen Koordinaten und addiert die Produkte.

In der Ebene gilt für a = (a1,a2) und b = (b1,b2):

a · b = a1b1 + a2b2.

Im dreidimensionalen Raum gilt für a = (a1,a2,a3) und b = (b1,b2,b3):

a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Allgemein wird dies in der linearen Algebra für n Dimensionen geschrieben als:

a · b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn.

Beispiel: Für a = (1,2,3) und b = (-7,8,9) erhält man

a · b = 1 · (-7) + 2 · 8 + 3 · 9 = 36.

Die geometrische Formel zeigt auch typische Werte: Haben zwei Vektoren die Längen |a| = 5 und |b| = 3, dann ergibt sich bei gleichem Richtungssinn und Winkel 0° das Skalarprodukt 5 · 3 · cos 0° = 15. Bei einem Winkel von 60° ist es 5 · 3 · cos 60° = 7,5. Bei 90° ist es 0. Bei 120° ist es 5 · 3 · cos 120° = -7,5.

Wichtige Eigenschaften

Aus der Definition folgen zentrale Regeln, die man zum Rechnen und Begründen braucht. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Quadrat seiner Länge:

a · a = |a|².

Daraus folgt a · a ≥ 0, und a · a = 0 gilt genau dann, wenn a der Nullvektor ist. Sind a und b parallel und gleichorientiert, dann gilt a · b = |a| |b|. Sind sie parallel und entgegengesetzt orientiert, gilt a · b = -|a| |b|. Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, also senkrecht zueinander, wenn a · b = 0. Bei einem spitzen Winkel ist das Skalarprodukt positiv, bei einem stumpfen Winkel negativ.

Für Einheitsvektoren â und b̂, also Vektoren der Länge 1, gilt:

â · b̂ = cos Winkel(â,b̂).

Für Vektoren ei und ej einer Orthonormalbasis gilt ei · ej = 1, falls i = j, und ei · ej = 0, falls i ≠ j. Eine Orthonormalbasis besteht also aus Einheitsvektoren, die paarweise orthogonal sind.

Außerdem gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:

|a · b| ≤ |a| |b|.

Gleichheit gilt genau dann, wenn a und b linear abhängig sind. Als Rechenoperation ist das Skalarprodukt symmetrisch, also a · b = b · a. Es ist homogen, etwa (r a) · b = r(a · b) = a · (r b), und additiv, etwa a · (b + c) = a · b + a · c. Zusammen bedeutet das: Im reellen Fall ist es bilinear. Ein Skalarprodukt von drei Vektoren ist jedoch nicht definiert; deshalb gibt es keine echte Assoziativität wie bei einer gewöhnlichen Multiplikation.

Anwendungen in Geometrie und Physik

Mit dem Skalarprodukt kann man Längen und Winkel aus Koordinaten berechnen. Für a = (a1,a2) gilt in der Ebene:

|a| = √(a · a) = √(a1² + a2²).

Im dreidimensionalen Raum gilt für a = (a1,a2,a3):

|a| = √(a1² + a2² + a3²).

Für zwei von null verschiedene Vektoren a und b erhält man den eingeschlossenen Winkel durch Umstellen der geometrischen Definition:

cos Winkel(a,b) = (a · b) / (|a| |b|),

also

φ = arccos((a · b) / (|a| |b|)).

Für a = (1,2,3) und b = (-7,8,9) sind |a| = √14 ≈ 3,74 und |b| = √194 ≈ 13,93. Mit a · b = 36 ergibt sich cos Winkel(a,b) = 36/(√14 · √194) ≈ 0,691 und damit Winkel(a,b) ≈ 46,3°.

Das Skalarprodukt beschreibt auch orthogonale Projektionen. Die Projektion von b auf die Richtung eines Vektors a ≠ 0 lautet:

b_a = ((b · a)/|a|²) a.

Der Vektor b - b_a steht senkrecht auf a. Wird auf einen Einheitsvektor e projiziert, vereinfacht sich die Formel zu b_e = (b · e)e.

Außerdem kann man mit einem Stützvektor p und einem Normalenvektor n Geraden, Ebenen oder Hyperebenen in Normalenform beschreiben:

(x - p) · n = 0.

In der Physik ist zum Beispiel die Arbeit W durch ein Skalarprodukt definiert:

W = F · s = |F| |s| cos φ.

Dabei sind F die Kraft und s der Weg. Im Beispiel einer schiefen Ebene ergibt sich W = 5 N · 3 m · cos 63° = 6,81 J.

Allgemeine Skalarprodukte

In der linearen Algebra wird der Begriff auf allgemeine reelle und komplexe Vektorräume übertragen. Ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt heißt Skalarproduktraum oder Prähilbertraum. Ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt heißt euklidischer Vektorraum, im komplexen Fall unitärer Vektorraum.

Auf einem reellen Vektorraum V ist ein Skalarprodukt eine positiv definite symmetrische Bilinearform ⟨·,·⟩: V × V → R. Für x,y,z ∈ V und λ ∈ R gilt: Es ist linear in beiden Argumenten, symmetrisch mit ⟨x,y⟩ = ⟨y,x⟩, und positiv definit mit ⟨x,x⟩ ≥ 0 sowie ⟨x,x⟩ = 0 genau dann, wenn x = 0.

Auf einem komplexen Vektorraum V ist ein Skalarprodukt eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform ⟨·,·⟩: V × V → C. Nach der im Artikel verwendeten Konvention ist sie semilinear im ersten Argument und linear im zweiten: ⟨λx,y⟩ = λ̄⟨x,y⟩ und ⟨x,λy⟩ = λ⟨x,y⟩. Außerdem gilt die Hermitezität ⟨x,y⟩ = überline(⟨y,x⟩) und die positive Definitheit. In der Mathematik wird manchmal die alternative Konvention verwendet, bei der das erste Argument linear und das zweite semilinear ist; die daraus gewonnenen Normen sind identisch.

Aus jedem Skalarprodukt entsteht eine Norm, also eine Längenfunktion:

||x|| = √⟨x,x⟩.

Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung lautet allgemein:

|⟨x,y⟩|² ≤ ⟨x,x⟩ · ⟨y,y⟩.

In reellen Skalarprodukträumen kann man damit für x,y ≠ 0 auch Winkel definieren:

φ = arccos(⟨x,y⟩/(√⟨x,x⟩ · √⟨y,y⟩)).

Orthogonalität bedeutet allgemein: x ⟂ y genau dann, wenn ⟨x,y⟩ = 0.

Beispiele und Matrixdarstellung

Das Standardskalarprodukt im R^n ist für x,y ∈ R^n definiert durch

⟨x,y⟩ = Σ von i=1 bis n xi yi = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn.

Im komplexen Vektorraum C^n lautet es nach der im Artikel verwendeten Konvention:

⟨x,y⟩ = Σ von i=1 bis n überline(xi) yi.

Als Matrixprodukt schreibt man im reellen Fall ⟨x,y⟩ = x^T y, im komplexen Fall ⟨x,y⟩ = x^H y, wobei x^T der transponierte Zeilenvektor und x^H der hermitesch adjungierte Zeilenvektor ist.

Allgemeiner definiert jede symmetrische positiv definite Matrix A im reellen Fall ein Skalarprodukt durch ⟨x,y⟩_A = x^T A y. Im komplexen Fall leistet dies jede positiv definite hermitesche Matrix A durch ⟨x,y⟩_A = x^H A y.

Auch Funktionen und Matrizen können Skalarprodukte haben. Für stetige reellwertige Funktionen auf [a,b] ist das L^2-Skalarprodukt definiert durch

⟨f,g⟩_L² = ∫ von a bis b f(x)g(x) dx.

Ein H^1-Skalarprodukt kann zusätzlich Ableitungsterme enthalten:

⟨f,g⟩_H¹ = ⟨f,g⟩_L² + ⟨f',g'⟩_L².

Für reelle m × n-Matrizen A und B ist das Frobenius-Skalarprodukt

⟨A,B⟩ = spur(A^T B) = Σ von i=1 bis m Σ von j=1 bis n aij bij.

Im komplexen Fall lautet es ⟨A,B⟩ = spur(A^H B) = Σ überline(aij) bij; die zugehörige Norm heißt Frobeniusnorm.

In einem n-dimensionalen Vektorraum kann jedes Skalarprodukt bezüglich einer Basis B = (b1,...,bn) durch die Gramsche Matrix G beschrieben werden. Ihre Einträge sind gij = ⟨bi,bj⟩. Im reellen Fall gilt dann ⟨x,y⟩ = x_B^T G y_B, im komplexen Fall ⟨x,y⟩ = x_B^H G y_B. Ist B eine Orthonormalbasis, ist G die Einheitsmatrix und das Skalarprodukt entspricht dem Standardskalarprodukt der Koordinatenvektoren.

Eine Verallgemeinerung ist das Pseudoskalarprodukt: eine im Allgemeinen nicht positiv definite symmetrische Bilinearform. Ein Beispiel ist der Minkowski-Vektorraum der Speziellen Relativitätstheorie.