Extremwert

Grundidee und Begriffe

Ein Extremwert oder Extremum ist in der Mathematik ein Oberbegriff für Maximum und Minimum einer Funktion. Ein globales Maximum ist der größte Wert, den eine Funktion auf ihrem ganzen Definitionsbereich annimmt; ein globales Minimum ist entsprechend der kleinste Wert. Ein lokales Maximum oder Minimum bezieht sich nur auf eine hinreichend kleine Umgebung einer Stelle. Die Stelle selbst heißt lokaler Maximierer oder Minimierer, Maximalstelle oder Minimalstelle; zusammen spricht man von einer Extremstelle. Die Kombination aus Stelle und Funktionswert heißt Extrempunkt, bei einem strengen lokalen Maximum Hochpunkt und bei einem strengen lokalen Minimum Tiefpunkt.

Ein globales Maximum wird auch absolutes Maximum genannt, ein lokales Maximum auch relatives Maximum. Für Minima gelten die entsprechenden Begriffe analog. Eine Extremwertaufgabe sucht solche Werte oder Stellen; ihre Lösung heißt extremale Lösung.

Definitionen im eindimensionalen Fall

Für eine Funktion f: D -> R mit D als Teilmenge der reellen Zahlen hat f an der Stelle x_0 in D ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung U von x_0 in D gibt, sodass f(x_0) <= f(x) für alle x in U gilt. Ein globales Minimum liegt vor, wenn f(x_0) <= f(x) für alle x in D gilt.

Entsprechend hat f an x_0 ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung U von x_0 in D gibt, sodass f(x_0) >= f(x) für alle x in U gilt. Ein globales Maximum liegt vor, wenn f(x_0) >= f(x) für alle x in D gilt.

Gilt in einer Umgebung sogar die strenge Ungleichung f(x_0) < f(x) für alle x != x_0, spricht man von einem strengen oder isolierten lokalen Minimum. Für ein strenges lokales Maximum gilt analog f(x_0) > f(x). Strenge globale Minima und Maxima werden entsprechend definiert. Jedes strikte lokale Minimum oder Maximum ist auch ein lokales Minimum oder Maximum; jedes globale Minimum oder Maximum ist zugleich ein lokales Minimum oder Maximum.

Existenz und einfache Kriterien

Eine wichtige Existenzaussage lautet: Jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall nimmt ein globales Maximum und ein globales Minimum an. Dieser Satz vom Minimum und Maximum folgt aus dem Satz von Heine-Borel und wird oft nach Karl Weierstraß oder Bernard Bolzano benannt. Er sagt nur, dass solche Extrema existieren, nicht wie man sie findet.

Ein hinreichendes Kriterium für lokale Extrema beruht auf Monotonie. Ist f auf einem Intervall (alpha, x_0] monoton fallend und auf [x_0, beta) monoton steigend, dann hat f bei x_0 ein lokales Minimum. Bei umgekehrtem Verhalten liegt ein lokales Maximum vor. Bei strenger Monotonie erhält man ein strenges lokales Minimum oder Maximum. Die Umkehrung gilt jedoch nicht immer: Die Funktion f(x)=x^2(1+sin(1/x)) für x != 0 und f(0)=0 hat bei x_0=0 ein lokales Minimum, ohne links davon monoton fallend und rechts davon monoton steigend zu sein.

Für stetige Funktionen auf Intervallen gilt außerdem: Zwischen zwei lokalen Minima liegt stets ein lokales Maximum, und zwischen zwei lokalen Maxima liegt stets ein lokales Minimum.

Extremstellen mit Ableitungen bestimmen

Bei differenzierbaren Funktionen auf einer offenen Menge U in R kann die Differentialrechnung zur Untersuchung von Extremstellen verwendet werden. Ein notwendiges Kriterium lautet: Hat f an x_0 ein lokales Extremum, dann gilt f'(x_0)=0. Dieses Kriterium ist aber nicht ausreichend. Auch Sattelpunkte können f'(x_0)=0 erfüllen, ohne Extremstellen zu sein; ein klassisches Beispiel ist f(x)=x^3 bei x=0.

Hinreichende Kriterien liefern zusätzliche Sicherheit. Ist f zweimal differenzierbar, f'(x_0)=0 und f''(x_0) != 0, dann hat f bei x_0 ein strenges lokales Extremum. Bei f''(x_0)>0 ist es ein strenges lokales Minimum, bei f''(x_0)<0 ein strenges lokales Maximum. Dies ist das Kriterium der 2. Ableitung.

Allgemeiner gilt: Ist f n-mal differenzierbar und f'(x_0)=f''(x_0)=...=f^(n-1)(x_0)=0, aber f^(n)(x_0) != 0, dann entscheidet die erste nicht verschwindende höhere Ableitung. Ist n gerade und f^(n)(x_0)<0, liegt ein strenges lokales Maximum vor; ist n gerade und f^(n)(x_0)>0, liegt ein strenges lokales Minimum vor. Ist n ungerade, ist f bei x_0 streng monoton steigend oder fallend und hat dort einen Sattelpunkt.

Ein weiteres Verfahren ist das Vorzeichenwechselkriterium. Wenn f'(x_0)=0 gilt und f' links von x_0 nichtpositiv sowie rechts von x_0 nichtnegativ ist, hat f bei x_0 ein lokales Minimum; bei umgekehrten Vorzeichen ein lokales Maximum. Wechseln die Vorzeichen streng, liegt ein strenges lokales Extremum vor. Es gibt jedoch Funktionen, bei denen diese Kriterien nicht weiterhelfen.

Beispiele und Anwendung

Die Betragsfunktion f: R -> R, f(x)=|x|, hat bei x_0=0 ein striktes globales Minimum. Denn |0|=0 und |x|>0 für x != 0, also f(0)<f(x) für alle x != 0. Der zugehörige Tiefpunkt ist (0,0). Lokale oder globale Maxima hat die Betragsfunktion nicht, weil in jeder Umgebung eines beliebigen x ein Punkt mit größerem Funktionswert liegt.

Für f(x)=x^2+3 gilt f'(x)=2x. Die einzige Nullstelle der ersten Ableitung ist x_0=0. Da f''(x)=2 positiv ist, hat f bei 0 ein lokales Minimum mit f(0)=3. Bei f(x)=x^4+3 ist f'(x)=4x^3 und f''(x)=12x^2, also ist auch die zweite Ableitung bei 0 gleich 0. Man kann dann die vierte Ableitung f^(4)(x)=24 verwenden: Sie ist die erste höhere Ableitung, die nicht 0 ist, sie hat positiven Wert und ihre Ordnung ist gerade. Daher liegt bei 0 ein lokales Minimum vor.

Ein praktisches Optimierungsbeispiel fragt: Wie muss ein Rechteck bei gegebenem Umfang aussehen, damit sein Flächeninhalt maximal wird? Mit Länge a, Breite b und a,b>0 gilt A=a*b und U=2(a+b). Daraus folgt b=1/2 U-a und damit A(a)=-a^2+1/2 Ua. Die Ableitung A'(a)=-2a+1/2 U wird gleich 0 gesetzt; daraus ergibt sich a_0=1/4 U. Da A''(a)=-2 negativ ist, liegt dort ein lokales Maximum vor, das zugleich global ist. Einsetzen ergibt b_0=1/4 U. Der maximale Flächeninhalt entsteht also, wenn beide Seiten gleich lang sind, das Rechteck also ein Quadrat ist. Umgekehrt hat ein Rechteck mit gegebenem Flächeninhalt den geringsten Umfang, wenn Länge und Höhe im Verhältnis 1:1 stehen.

Höhere Dimensionen und weitere Arten

Im mehrdimensionalen Fall wird eine Funktion f: D subset R^n -> R betrachtet. Lokale und globale Minima oder Maxima werden analog definiert: Man vergleicht f(x_0) entweder mit allen Funktionswerten in einer Umgebung von x_0 oder mit allen Funktionswerten im gesamten Definitionsbereich D.

Für eine total differenzierbare Funktion f: U subset R^n -> R ist das Verschwinden des Gradienten eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum im Inneren von U. Der Gradient enthält alle partiellen Ableitungen. Hat f bei x_0 ein lokales Extremum, muss grad f(x_0)=0 gelten. Ist f zweimal stetig differenzierbar, kann die Hesse-Matrix D^2f(x) entscheiden: Ist sie positiv definit, liegt ein lokales Minimum vor; ist sie negativ definit, ein lokales Maximum; ist sie indefinit, ein Sattelpunkt. Bei Semidefinitheit ist mit der Hesse-Matrix keine Entscheidung möglich.

Im unendlichdimensionalen Fall betrachtet man einen Vektorraum X, eine Teilmenge D von X und ein Funktional f: D -> R, also eine Funktion, deren Argumente Elemente eines Vektorraums sein können. Ein globales Minimum erfüllt f(x~) <= f(x) für alle x in D, ein globales Maximum f(x~) >= f(x) für alle x in D. Mit einer Topologie kann man auch lokale Extrema über Umgebungen definieren. Ein globales Minimum oder Maximum ist auch hier stets ein lokales Minimum oder Maximum.

Für Funktionale gibt es Existenzsätze, etwa: Ein schwach unterhalbstetiges Funktional auf einer schwach folgenkompakten Menge nimmt dort sein Minimum an. Praktischer ist oft die Aussage, dass jedes stetige quasikonvexe Funktional auf einer beschränkten, konvexen und abgeschlossenen Teilmenge eines reflexiven Banachraums ein Minimum annimmt; dies gilt auch für konvexe Funktionale. Strikte Konvexität kann Eindeutigkeit von Optimalpunkten sichern. Bei diskreter Optimierung verwendet man statt gewöhnlicher Umgebungen eine Nachbarschaftsfunktion N: D -> P(D). Ein lokales Maximum liegt dann vor, wenn f(x) <= f(x_0) für alle Nachbarn x in N(x_0) gilt; lokale Minima sind analog definiert. Extremwerte von Funktionen, deren Argumente selbst Funktionen sind, gehören zur Variationsrechnung.