Matrix (Mathematik)

Grundidee, Aufbau und Schreibweise

Eine Matrix ist eine rechteckige Tabelle mathematischer Objekte, meist Zahlen. Ihre Elemente sind in Zeilen und Spalten angeordnet. Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra: Sie stellen insbesondere lineare Abbildungen und lineare Gleichungssysteme übersichtlich dar und ermöglichen systematische Rechnungen.

Für natürliche Zahlen m,n ≥ 1 und einen Körper K, manchmal allgemeiner einen Ring, ist eine Matrix A eine Familie A = (aᵢⱼ) mit (i,j) ∈ I × J, wobei gewöhnlich I = {1,…,m} und J = {1,…,n} gilt. Formal ist sie eine Funktion A: {1,…,m} × {1,…,n} → K, (i,j) ↦ aᵢⱼ. Die Menge aller m×n-Matrizen über K wird mit K^(m×n) bezeichnet.

Das Element aᵢⱼ steht in der i-ten Zeile und j-ten Spalte; die Merkregel lautet: Zeile zuerst, Spalte später. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten heißt m×n-Matrix oder Matrix vom Typ (m,n). Sind m = n, ist sie quadratisch. Eine Matrix mit nur einer Spalte beziehungsweise Zeile wird als Spalten- beziehungsweise Zeilenvektor aufgefasst; eine 1×1-Matrix gilt als Skalar. Zeilen und Spalten einer Matrix können entsprechend als Zeilen- und Spaltenvektoren betrachtet werden. Matrixelemente können außer reellen oder komplexen Zahlen auch Vektoren, Polynome, Formeln oder wiederum Matrizen sein.

Grundrechenarten

Zwei Matrizen desselben Typs werden elementweise addiert: A + B := (aᵢⱼ + bᵢⱼ). Beispielsweise ergibt ((1,−3,2),(1,2,7)) + ((0,3,5),(2,1,−1)) = ((1,0,7),(3,3,6)). Über einem Körper ist die Addition assoziativ und kommutativ; die Nullmatrix ist ihr neutrales Element.

Bei der Skalarmultiplikation wird jedes Element mit demselben Skalar c multipliziert: cA := (c·aᵢⱼ). So ist 5·((1,−3,2),(1,2,7)) = ((5,−15,10),(5,10,35)). Skalar und Matrixelemente müssen demselben Ring entstammen. Die Skalarmultiplikation ist nicht mit dem Skalarprodukt zu verwechseln.

Das Produkt zweier Matrizen ist nur definiert, wenn die Spaltenzahl der linken Matrix der Zeilenzahl der rechten entspricht. Für eine l×m-Matrix A und eine m×n-Matrix B entsteht eine l×n-Matrix C = AB mit cᵢⱼ = Σ(k=1 bis m) aᵢₖbₖⱼ. Jeder Eintrag ist also die Produktsumme aus einer Zeile von A und einer Spalte von B. Die Multiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ: BA ≠ AB. Sie ist aber assoziativ, (AB)C = A(BC), und distributiv: (A+B)C = AC+BC sowie A(B+C) = AB+AC.

Quadratische Matrizen können potenziert werden, etwa A² = A·A und A³ = A·A·A. Die quadratischen Matrizen R^(n×n) bilden mit Addition und Multiplikation einen Matrizenring.

Transposition, Inverse und Vektorprodukte

Die Transponierte einer m×n-Matrix A = (aᵢⱼ) ist die n×m-Matrix Aᵀ = (aⱼᵢ). Dabei werden Zeilen und Spalten vertauscht; anschaulich wird die Matrix an der Hauptdiagonalen gespiegelt. Es gelten (A+B)ᵀ = Aᵀ+Bᵀ, (cA)ᵀ = cAᵀ, (Aᵀ)ᵀ = A, (AB)ᵀ = BᵀAᵀ und (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹.

Für eine quadratische Matrix A über einem Körper existiert genau dann eine inverse Matrix im hier angegebenen Kriterium, wenn det(A) ≠ 0. Sie erfüllt AA⁻¹ = A⁻¹A = E, wobei E die Einheitsmatrix ist. Solche Matrizen heißen invertierbar oder regulär und haben vollen Rang; nichtinvertierbare Matrizen heißen singulär. Pseudoinverse Matrizen verallgemeinern die Inverse auf singuläre Matrizen.

Für zwei n×1-Spaltenvektoren v und w ist vw nicht definiert. Dagegen ist vᵀw eine 1×1-Matrix, die als Standardskalarprodukt interpretiert wird: ⟨v,w⟩ = |v|·|w|·cos ∠(v,w). Zum Beispiel ist (1,2,3)·(−2,−1,1)ᵀ = −1. Das Produkt vwᵀ ist hingegen eine n×n-Matrix und heißt dyadisches Produkt oder Tensorprodukt v⊗w.

Die m×n-Matrizen über einem Körper K bilden mit Addition und Skalarmultiplikation einen K-Vektorraum K^(m×n) der Dimension m·n. Seine Standardbasis bilden die Matrizen Eᵢⱼ. Für reelle Matrizen definiert ⟨A,B⟩ = spur(AᵀB) = ΣⱼΣᵢ aᵢⱼbᵢⱼ ein Skalarprodukt. Im komplexen Fall verwendet man die komplexe Konjugation; das Frobenius-Skalarprodukt erzeugt die Frobeniusnorm.

Matrizen und lineare Abbildungen

Jede Matrix A ∈ K^(m×n) bestimmt eine lineare Abbildung Kⁿ → Kᵐ durch u ↦ Au. Umgekehrt gehört zu jeder linearen Abbildung f: Kⁿ → Kᵐ genau eine solche Matrix; ihre Spalten sind die Bilder der Standardbasisvektoren. Dies liefert den kanonischen Isomorphismus Hom_K(Kⁿ,Kᵐ) ≃ K^(m×n). Die Matrixmultiplikation entspricht der Hintereinanderausführung linearer Abbildungen und erklärt damit ihre Assoziativität.

Für beliebige endlichdimensionale Vektorräume V und W benötigt man gewählte Basen. Ist u = Σ(j=1 bis n) αⱼvⱼ, so bilden die αⱼ seinen Koordinatenvektor. Sind die Bilder der Basisvektoren durch f(vⱼ) = Σ(i=1 bis m) aᵢⱼwᵢ gegeben, dann ist (aᵢⱼ) die Abbildungsmatrix und es gilt: Koordinatenvektor von f(u) = Abbildungsmatrix · Koordinatenvektor von u. Die Matrix hängt von den Basen ab. Bei Basiswechseln wird sie links und rechts mit passenden invertierbaren Basiswechselmatrizen multipliziert. Rang und, bei quadratischen Matrizen mit demselben Basiswechsel in Definitions- und Wertebereich, Determinante sind basisunabhängig.

Matrizengleichungen werden ähnlich wie algebraische Gleichungen umgeformt; dabei müssen die Nichtkommutativität der Multiplikation und mögliche Nullteiler beachtet werden. Aus Ax = b folgt bei existierendem A⁻¹ durch Multiplikation von links: x = A⁻¹b.

Auch lineare Abbildungen unendlichdimensionaler Vektorräume lassen sich als möglicherweise unendliche Matrizen darstellen. Bei gewöhnlichen algebraischen Basen enthält jede Spalte nur endlich viele von null verschiedene Einträge. In topologischen Vektorräumen können unter passenden Konvergenzbedingungen auch unendliche Summen auftreten. Für Hilberträume erhält man Matrixelemente eines Operators mithilfe von Orthonormalbasen und Skalarprodukten. Das Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt ist im unendlichdimensionalen Fall nur für Hilbert-Schmidt-Operatoren definiert, bei denen die betreffende Reihe konvergiert.

Wichtige besondere Matrizen

Orthogonale reelle Matrizen erhalten das Standardskalarprodukt. Gleichwertig gelten A⁻¹ = Aᵀ und AAᵀ = E. Sie stellen Spiegelungen, Drehungen und Drehspiegelungen dar. Unitäre Matrizen sind das komplexe Gegenstück; für sie gilt A⁻¹ = A*, wobei A* die konjugiert-transponierte Matrix bezeichnet.

Projektionsmatrizen sind idempotent: A = A². Wiederholte Anwendung ändert das Ergebnis daher nicht. Geometrisch beschreiben sie Parallelprojektionen; bei senkrecht aufeinander stehenden Null- und Bildräumen entstehen Orthogonalprojektionen. Nilpotente Matrizen erfüllen Nᵏ = 0 für eine Potenz k und damit auch für jede höhere Potenz.

Eine symmetrische Matrix erfüllt Aᵀ = A; ihre Einträge sind an der Hauptdiagonalen symmetrisch. Hermitesche Matrizen sind das komplexe Analogon und erfüllen A = A*. Eine schiefsymmetrische oder antisymmetrische Matrix erfüllt −Aᵀ = A. Ihre Hauptdiagonale besteht aus Nullen, und gegenüberliegende Einträge haben entgegengesetzte Vorzeichen.

Eine reelle Matrix ist positiv definit, wenn vᵀAv > 0 für alle v ≠ 0 gilt. Gibt es keine negativen Werte, heißt sie positiv semidefinit. Entsprechend gibt es negativ definite und negativ semidefinite Matrizen; alle übrigen heißen indefinit.

Die adjungierte Matrix A* entsteht durch Transponieren und komplexes Konjugieren. Davon zu unterscheiden ist die komplementäre Matrix adj(A), die aus vorzeichenbehafteten Unterdeterminanten aufgebaut wird. Sie erfüllt adj(A)A = A adj(A) = det(A)Eₙ, und bei det(A) ≠ 0 gilt A⁻¹ = (1/det(A))·adj(A).

Bei stochastischen Matrizen liegen alle Einträge zwischen 0 und 1, und die Zeilen- oder Spaltensummen sind 1. Sie beschreiben zeitlich diskrete Markow-Ketten mit endlichem Zustandsraum. Bei doppelt-stochastischen Matrizen sind sowohl alle Zeilen- als auch alle Spaltensummen 1.

Darstellung und Verarbeitung am Computer

In klassischen Programmiersprachen werden Matrizen meist als mehrdimensionale Datenfelder, englisch arrays, gespeichert. Die Elemente besitzen gewöhnlich denselben Datentyp und werden über Indizes angesprochen. Syntax und Startwert der Indizes hängen von der Sprache ab; Matrixoperationen müssen häufig selbst programmiert werden.

In Tabellenkalkulationen entspricht ein rechteckiger Zellbereich einer Matrix. Anders als in der mathematischen Indizierung wird eine Adresse wie B3 mit Spalte zuerst und Zeile danach angegeben. B3:D5 bezeichnet einen Bereich mit drei Zeilen und drei Spalten. Excel und LibreOffice Calc bieten unter anderem MMULT für das Matrixprodukt, MINV beziehungsweise MINVERSE für die Inverse und MDET beziehungsweise MDETERM für die Determinante. Matrixformeln werden je nach Version mit der Eingabetaste oder mit Strg+Umschalt+Eingabetaste abgeschlossen.

Computeralgebrasysteme verarbeiten neben Zahlen auch symbolische Matrixelemente. Mathematica stellt Matrizen als verschachtelte Listen dar und verwendet einen Punkt für die Matrixmultiplikation. Maple bietet unter anderem array sowie Matrixbefehle des Pakets linalg; dort interpretiert evalm den Operator &* als Matrixmultiplikation. Mathcad stellt Matrixschablonen und Werkzeuge für Elemente, Spalten, Transposition, Inverse, Determinante sowie Skalar- und Vektorprodukte bereit und kann physikalische Einheiten verarbeiten.

Auszeichnungssprachen speichern und zeigen Matrizen, führen aber keine Matrixrechnung aus. In TeX kennzeichnet die Umgebung pmatrix eine Matrix mit runden Klammern; & trennt Elemente und \ die Zeilen. Wikitext kann matrixähnliche Tabellen erzeugen. MathML beschreibt Matrizen als XML-Struktur, insbesondere mit mtable, mtr und mtd; Firefox und Safari unterstützen eine Teilmenge namens MathML Core.