Folge (Mathematik)

Grundidee und formale Bedeutung

Eine Folge oder Sequenz ist eine Auflistung von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten, etwa Zahlen. Das Objekt mit Index i heißt i-tes Glied oder i-te Komponente. Im Unterschied zu einer Menge ist die Reihenfolge wichtig, und derselbe Wert darf mehrfach vorkommen. Unendliche Zahlenfolgen sind besonders wichtig für die Analysis.

Eine endliche Folge mit n Gliedern heißt Folge der Länge n, n-Tupel oder n-gliedrige Folge; die Folge ohne Glieder heißt leere Folge, 0-Tupel oder 0-gliedrige Folge. Formal ist eine unendliche Folge eine Abbildung a: ℕ → X, i ↦ aᵢ. Sie ordnet also jedem natürlichen Index i ein Glied aᵢ aus der Zielmenge X zu. Der Anfangsindex ist willkürlich; bei endlichen Folgen verwendet man meist {0,…,n−1} oder {1,…,n}. In der Schulmathematik ist X häufig ℝ, möglich sind aber auch Folgen von Mengen oder Funktionen.

Schreibweise, Beispiele und Nutzen

Endliche Folgen schreibt man etwa (aᵢ)ᵢ₌₁,…,ₙ beziehungsweise (a₁,a₂,…,aₙ), unendliche etwa (aᵢ)ᵢ∈ℕ beziehungsweise (a₁,a₂,…). Die Indexangabe kann fehlen, wenn sie klar ist. Auch spitze Klammern sind möglich; Semikola können Kommas ersetzen, wenn diese mit dem Dezimaltrennzeichen verwechselt werden könnten.

Beispiele sind das 5-Tupel (1,0,0,2,1), die Funktionenfolge (sin, cos, tan, cot), die Primzahlen (2,3,5,7,11,13,…), die Mengenfolge ({},{1},{1,2},{1,2,3},…) und die allgemeine Folge (x₀,x₁,x₂,…). Die Folgen (0,1,0,2,0,4,0,8,…) und (1,0,2,0,0,4,0,0,0,0,8,…) haben beide die Bildmenge {0,1,2,4,8,…}, sind aber wegen ihrer unterschiedlichen Reihenfolge verschiedene Folgen.

Von einer Folge (aₙ) ist eine Reihe (sₙ) zu unterscheiden: Ihre Glieder sind Partialsummen, also sₙ=sₙ₋₁+aₙ=∑ᵢ₌₁ⁿaᵢ und umgekehrt aₙ=sₙ−sₙ₋₁. Unendliche Folgen können gegen einen Grenzwert konvergieren. Diese Grenzwerttheorie bildet eine Grundlage der Analysis, etwa für Grenzwerte von Funktionen, die Ableitung und das riemannsche Integral.

Bildungsgesetze

Eine endliche Folge lässt sich durch Aufzählen aller Glieder angeben. Für unendliche Folgen braucht man ein Bildungsgesetz, etwa eine Funktionsvorschrift, eine Reihe, eine Rekursion oder einen Algorithmus. Aus bloßen Anfangsgliedern ist der weitere Verlauf nicht eindeutig bestimmbar: Auf 0,1,2,3,… kann beispielsweise 4,5,6,… folgen, aber auch wieder 0 als periodische Folge modulo 4. Zu n gegebenen Gliedern lässt sich zudem durch Hinzufügen eines beliebigen weiteren Glieds ein Polynom n-ten Grades legen; dadurch sind viele Fortsetzungen möglich.

Bei einer expliziten Funktionsvorschrift wird aᵢ direkt aus i berechnet. Bei Indizes aus ℕ₀ gelten beispielsweise aᵢ=i für 0,1,2,3,…, aᵢ=2i+1 für die ungeraden Zahlen und aᵢ=2ⁱ für die Zweierpotenzen. Zum Bestimmen erster Glieder setzt man nacheinander i=0,1,2,… ein; die ersten Glieder müssen jedoch den Verlauf für große Indizes nicht zuverlässig zeigen. Bei der Suche nach einer Vorschrift können Alternieren mit (−1)ⁱ, konstante Differenzen oder konstante Quotienten Hinweise liefern.

Eine Rekursion nennt Anfangswerte und berechnet jedes neue Glied aus vorherigen Gliedern. Die Fibonacci-Folge besitzt a₀=0, a₁=1 und aᵢ=aᵢ₋₂+aᵢ₋₁. Ihre explizite Formel lautet aᵢ=1/√5·(((1+√5)/2)ⁱ−((1−√5)/2)ⁱ). Die Rekursion a₁=2, aᵢ₊₁=aᵢ/2+1/aᵢ erzeugt 2, 3/2, 17/12,… und konvergiert gegen √2.

Ein Algorithmus kann eine Folge erzeugen, ohne eine geschlossene Funktionsvorschrift zu liefern. Die Primzahlen 2,3,5,7,11,… lassen sich beispielsweise mit dem Sieb des Eratosthenes berechnen. Die Kolmogorow-Komplexität ist die Länge des kürzesten Algorithmus, der eine Folge erzeugt; sie hängt von der Programmiersprache ab, unterscheidet sich nach dem Invarianztheorem zwischen Sprachen aber nur um eine sprachabhängige additive Konstante.

Reihen und Rekonstruktion aus Differenzen

Eine Folge (sₙ) heißt hier Reihe, wenn ihr n-tes Glied die Summe der ersten n Glieder einer Folge (aᵢ) ist: sₙ=a₀+a₁+…+aₙ=∑ᵢ₌₀ⁿaᵢ. Das Summenzeichen ist eine Kurzschreibweise. n ist der vorgegebene Index des Ergebnisses, während i ein Laufindex ist: Für ein gegebenes n werden i=0,1,…,n eingesetzt und die entsprechenden Werte addiert.

Jede Folge (sₙ) kann als Reihe aufgefasst werden. Die zugehörigen Summanden lauten aᵢ=s₀ für i=0 und aᵢ=sᵢ−sᵢ₋₁ sonst. Besonders nützlich ist diese Sicht, wenn sich die Summe für beliebige n berechnen lässt; dafür gibt es etwa Formeln für arithmetische und geometrische Reihen. Für unendliche Reihen gibt es eigene Konvergenzkriterien. Konvergiert eine Reihe, so konvergiert ihre Folge der Summanden stets gegen Null.

Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz

Eine Folge heißt monoton steigend, wenn für alle i gilt aᵢ≤aᵢ₊₁, und streng monoton steigend, wenn aᵢ<aᵢ₊₁ gilt. Monoton fallend und streng monoton fallend werden entsprechend definiert. Monotonie ist auch für Folgen in jeder geordneten Menge sinnvoll. Zum Nachweis setzt man aᵢ und aᵢ₊₁ in die Vorschrift ein und formt die gewünschte Ungleichung um. So ist 1/i streng monoton fallend, weil 1/i>1/(i+1) äquivalent zu i+1>i ist. Ein einzelnes Gegenbeispiel genügt, um Monotonie zu widerlegen.

Eine reelle Folge ist nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke S mit aᵢ≤S für alle i gibt. Die kleinste obere Schranke heißt Supremum. Nach unten beschränkt, untere Schranke und Infimum sind analog; eine Folge ist beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. Viele Beispielglieder beweisen eine Schranke nicht, weil spätere Glieder sie noch verletzen könnten.

Weitere Bezeichnungen sind: alternierend für abwechselnd positive und negative Werte, konstant für lauter gleiche Glieder, stationär für ab einem bestimmten Glied gleiche Glieder, Nullfolge für eine gegen 0 konvergierende Folge, abbrechend für ab einem bestimmten Glied nur noch 0 und periodisch für aᵢ=aᵢ₊ₙ mit einer Periodenlänge n.

Jede beschränkte reelle Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt (Satz von Bolzano-Weierstraß), auch wenn sie nicht konvergiert; −1/2,3/4,−5/6,7/8,… hat etwa die Häufungspunkte −1 und 1. Das Monotoniekriterium besagt: Eine monoton steigende, nach oben beschränkte reelle Folge konvergiert gegen ihr Supremum, eine monoton fallende, nach unten beschränkte gegen ihr Infimum. Daher konvergiert 0,1/2,2/3,3/4,… gegen 1.

Wichtige Folgen und Verallgemeinerungen

Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz benachbarter Glieder konstant: aᵢ=a₀+i·d. Beispiele sind 2,4,6,… mit aᵢ=2i und 1,3,5,… mit aᵢ=1+2i. Bei arithmetischen Folgen höherer Ordnung ist eine höhere Differenzfolge arithmetisch. Die Dreieckszahlen 1,3,6,10,15,… haben die erste Differenzfolge 2,3,4,5,… und die konstante zweite Differenzfolge 1,1,1,…; sie erfüllen aᵢ=i²/2+i/2. Arithmetische Folgen g-ter Ordnung sind genau durch Polynome g-ten Grades beschreibbar.

Potenzfolgen haben die Form aᵢ=iˢ, beispielsweise Quadratzahlen aᵢ=i² und Kubikzahlen aᵢ=i³. Für s=1/2 erhält man aᵢ=√i. Bei s<0 ist 0ˢ nicht definiert; daher kann man statt aᵢ=i⁻¹ die Vorschrift aᵢ=(i+1)⁻¹ verwenden. Geometrische Folgen haben die Form aᵢ=a₀·qⁱ und den konstanten Quotienten aᵢ₊₁/aᵢ=q. Für q=2 entsteht 1,2,4,8,…; für |q|<1 konvergiert die Folge gegen 0. q=1 liefert eine konstante Folge, q=−1 die alternierende Folge 1,−1,1,−1,…

In der Topologie verallgemeinert ein Netz den Begriff der Folge. Folgenräume werden vor allem in der Funktionalanalysis zur Konstruktion von Beispielen verwendet.