Variation (Mathematik)

Grundidee und Definition

Die Variation, auch totale Variation genannt, misst, wie stark eine Funktion auf einem Intervall insgesamt schwankt. Sie ist besonders in der Variationsrechnung und bei stochastischen Prozessen wichtig. Für eine Funktion f: [a,b] → ℝ betrachtet man beliebige Unterteilungen a ≤ t₀⁽ⁿ⁾ < t₁⁽ⁿ⁾ < … < tₙ⁽ⁿ⁾ ≤ b und addiert die Beträge aller Änderungen der Funktionswerte. Die Variation ist das Supremum, also die kleinste obere Schranke, dieser Summen:

|f|_[a,b] := sup {∑ₖ₌₀ⁿ⁻¹ |f(tₖ₊₁⁽ⁿ⁾) − f(tₖ⁽ⁿ⁾)| | n ∈ ℕ, a ≤ t₀⁽ⁿ⁾ < … < tₙ⁽ⁿ⁾ ≤ b}.

Gibt es keine reelle Zahl, die alle solchen Summen nach oben beschränkt, setzt man |f|_[a,b] = +∞. Die Funktion besitzt dann unendliche Variation. Anschaulich erfasst die Definition sämtliche Auf- und Abwärtsbewegungen, auch wenn man das Intervall immer feiner unterteilt.

Für eine stetige, stückweise monotone Funktion lässt sich die Variation einfacher bestimmen. Ist f auf den Teilintervallen [t₀,t₁], [t₁,t₂], …, [tₙ₋₁,tₙ] jeweils monoton steigend oder fallend und gilt t₀ = a sowie tₙ = b, dann ist

|f|_[a,b] = ∑ₖ₌₀ⁿ⁻¹ |f(tₖ₊₁) − f(tₖ)|.

Die Definition kann auch auf unbeschränkte Intervalle sowie auf Funktionen mit Werten in den komplexen Zahlen oder in normierten Vektorräumen übertragen werden.

Stetigkeit garantiert keine endliche Variation

Auch eine stetige Funktion kann unendlich stark variieren. Ein Beispiel auf dem Einheitsintervall [0,1] ist

f(t) = 0 für t = 0 und f(t) = t cos(π/(2t)) für t ∈ (0,1].

Die Funktion ist bei 0 stetig, schwingt dort aber immer schneller. Für jedes n ∈ ℕ wählt man die Unterteilungspunkte

tₖ⁽ⁿ⁾ = 0 für k = 0 und tₖ⁽ⁿ⁾ = 1/(n+1−k) für k ∈ {1,…,n}.

Bei Verwendung der entsprechenden Unterteilung mit 2n Punkten ergibt die Summe der absoluten Funktionsänderungen

∑ₖ₌₀²ⁿ⁻¹ |f(tₖ₊₁⁽²ⁿ⁾) − f(tₖ⁽²ⁿ⁾)| = ∑ₗ₌₁ⁿ 1/l.

Die rechte Seite ist eine Teilsumme der harmonischen Reihe. Da diese für n → ∞ divergiert, können die Änderungssummen beliebig groß werden. Daher gilt |f|_[0,1] = ∞.

Optimierung und zurückgelegte Strecke

In Optimierungsproblemen sucht man häufig unter allen Funktionen einer vorgegebenen Klasse 𝒞 eine Funktion mit möglichst kleiner Variation:

min_{f ∈ 𝒞} |f|_[a,b].

Die Klasse 𝒞 kann beispielsweise aus allen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen bestehen, die zusätzliche Bedingungen erfüllen, etwa

f(a) = 0, f(b) = 1, f((2a+b)/3) = −f((a+2b)/3).

Ähnliche Aufgaben führen unter anderem zur Definition von Splines.

Die geometrische beziehungsweise physikalische Bedeutung erklärt, warum die Variation in solchen Problemen verbreitet ist: Beschreibt f die Position eines Objekts in einem eindimensionalen Raum in Abhängigkeit von der Zeit, dann ist |f|_[a,b] genau die im Zeitraum [a,b] insgesamt zurückgelegte Strecke.

Endliche und unendliche Variation bei Zufallsprozessen

Bei stochastischen Prozessen, also zufallsabhängigen zeitlichen Abläufen, bildet die Variation ein wichtiges Einteilungsmerkmal. Zeitstetige Prozesse werden danach unterschieden, ob ihre Pfade auf beschränkten Intervallen fast sicher endliche oder unendliche Variation besitzen. „Fast sicher“ bedeutet dabei, dass die Aussage mit Wahrscheinlichkeit 1 gilt. Diese Einteilung ergänzt Klassen wie Markow-, Lévy- oder Gauß-Prozesse.

Ein Poisson-Prozess (Nₜ)ₜ≥₀ mit Intensität λ ist monoton. Deshalb besitzt er fast sicher endliche Variation, und es gilt

|N|_[0,t] ∼ Poi(λt).

Die Variation hat also eine Poisson-Verteilung mit Parameter λt.

Der Wiener-Prozess besitzt dagegen fast sicher unendliche Variation auf jedem Intervall [0,t] mit t > 0. Deutet man ihn als Modell der Brownschen Molekularbewegung, hätte dies bei einer wörtlichen physikalischen Interpretation problematische Folgen: Ein Teilchen würde in jedem noch so kurzen Zeitintervall eine unendliche Strecke zurücklegen. Es hätte keine definierte Momentangeschwindigkeit, nicht einmal eine eindeutige Bewegungsrichtung, und keine definierte Beschleunigung. Damit könnte man auch nicht sinnvoll im Sinne des zweiten newtonschen Gesetzes über wirkende Kräfte sprechen.

Quadratische Variation und Kovariation

Bei der quadratischen Variation werden die Beträge der Funktionszuwächse durch deren Quadrate ersetzt. Für einen stochastischen Prozess X auf [0,t] wird sie im Artikel definiert als

[X,X]ₜ := sup {∑ₖ₌₀ⁿ⁻¹ (X(tₖ₊₁⁽ⁿ⁾) − X(tₖ⁽ⁿ⁾))² | n ∈ ℕ, 0 ≤ t₀⁽ⁿ⁾ < … < tₙ⁽ⁿ⁾ ≤ t}.

Für einen Standard-Wiener-Prozess W gilt fast sicher

[W,W]ₜ = t.

Dieses wichtige Ergebnis tritt beispielsweise in der Itō-Formel auf.

Im Allgemeinen werden zwei Formen quadratischer Variation beziehungsweise Kovariation unterschieden. Ist (Xₜ, ℱₜ)ₜ≥₀ ein L²-Martingal, so liefert die Doob-Meyer-Zerlegung

Xₜ² = X₀² + Mₜ + Aₜ,

wobei M ein Martingal und A ein vorhersehbarer wachsender Prozess ist. Der eindeutig bestimmte Prozess A heißt vorhersehbare quadratische Variation oder Angle Bracket von X und wird als ⟨X,X⟩ₜ beziehungsweise kurz ⟨X⟩ₜ geschrieben. Für zwei L²-Martingale X und Y ist die vorhersehbare quadratische Kovariation durch Polarisation definiert:

⟨X,Y⟩ₜ = ¼(⟨X+Y,X+Y⟩ₜ − ⟨X−Y,X−Y⟩ₜ).

Für zwei Semimartingale X und Y lautet die quadratische Kovariation

[X,Y]ₜ = XₜYₜ − X₀Y₀ − ∫₀ᵗ Xₛ₋ dYₛ − ∫₀ᵗ Yₛ₋ dXₛ.

Setzt man Y = X, erhält man die quadratische Variation von X. Zwischen beiden Begriffen besteht für alle t ≥ 0 die Beziehung

[X,Y]ₜ = ⟨Xᶜ,Yᶜ⟩ₜ + ∑_{0<s≤t} ΔXₛ ΔYₛ,

wobei Xᶜ und Yᶜ die stetigen Martingalteile sind und ΔXₛ beziehungsweise ΔYₛ die Sprünge der Prozesse zum Zeitpunkt s bezeichnen.