Funktion (Mathematik)

Kernidee und Definition

Eine Funktion oder Abbildung ist in der Mathematik eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet. Das erste Element heißt Funktionsargument, unabhängige Variable oder x-Wert; das zugeordnete Element heißt Funktionswert, abhängige Variable oder y-Wert. Der Funktionsbegriff ist zentral, weil viele mathematische Objekte als Zuordnungen verstanden werden können, zum Beispiel parametrische Kurven, Felder, Transformationen, Operationen und Operatoren.

Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y einer Zielmenge Z zu. Man schreibt f: D -> Z, x -> y. Für das zugeordnete Element schreibt man f(x); es heißt Funktionswert von f an der Stelle x. Wichtig ist: Eindeutig muss nur die Zuordnung von D nach Z sein. Ein Element der Zielmenge kann kein Urbild, genau ein Urbild oder mehrere Urbilder haben. Bei der Betragsfunktion f(x)=|x| werden zum Beispiel +1 und -1 beide auf +1 abgebildet; -2 ist dagegen kein Funktionswert dieser Funktion, wenn die üblichen reellen Zahlen betrachtet werden.

Mengentheoretisch ist eine Funktion eine besondere Relation. Sie ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts D x Z. Außerdem ist sie linkstotal, das heißt: Zu jedem x aus D gibt es mindestens ein y aus Z mit (x,y) in f. Sie ist auch rechtseindeutig oder funktional, das heißt: Zu jedem x aus D gibt es höchstens ein solches y. Zusammen bedeutet das: Zu jedem x aus D gibt es genau ein y aus Z, sodass (x,y) zur Relation gehört.

Der Graph einer Funktion ist die Menge der geordneten Paare (x,y), für die y=f(x) gilt. Der Definitionsbereich lässt sich aus den ersten Komponenten des Graphen rekonstruieren; der Zielbereich dagegen muss zusätzlich bekannt sein, wenn man zum Beispiel über Surjektivität sprechen will. Deshalb kann eine Funktion auch als Paar (G,Z) aus Graph G und Zielmenge Z oder als Tripel (G,D,Z) aus Graph, Definitionsmenge und Zielmenge aufgefasst werden.

Schreibweisen und Darstellung

Funktionen können auf verschiedene Arten angegeben werden. Häufig nutzt man eine Funktionsgleichung, zum Beispiel f(x)=x^2 mit x in N. Man kann auch die Zuordnungsvorschrift x -> x^2 schreiben oder ausführlicher f: N -> N, x -> x^2. Weitere Darstellungsformen sind Wertetabellen, Mengen von Paaren wie f={(x,x^2) | x in N}, Fallunterscheidungen oder Ausdrücke, die durch Operationen mit anderen Funktionen entstehen, zum Beispiel f=(g' o h)^(-1).

In der Sprache unterscheidet man verschiedene Formulierungen: „x wird abgebildet auf f von x“, „y gleich f von x“ oder „y ist das Bild von x unter f“. Die ältere Formulierung „y ist eine Funktion von x“ beschreibt eher eine Abhängigkeit zwischen Größen, zum Beispiel wenn die Raumtemperatur y von der Zeit x abhängt.

Die wichtigsten Begriffe sind: Die Definitionsmenge D enthält die zulässigen Argumente oder Urbilder. Die Zielmenge Z enthält mögliche Zielwerte. Diejenigen Elemente von Z, die tatsächlich als f(x) auftreten, bilden die Wertemenge oder den Wertebereich.

Zur Visualisierung einer Funktion f: U -> R mit U als Teilmenge von R zeichnet man ihren Graphen in ein zweidimensionales Koordinatensystem. Der Graph ist die Menge aller Paare (x,y), für die y=f(x) gilt. Bei stetigen Funktionen auf einem zusammenhängenden Intervall entsteht eine zusammenhängende Kurve. Funktionen von U nach R^2 oder von Teilmengen von R^2 nach R können entsprechend im dreidimensionalen Koordinatensystem dargestellt werden, etwa als Kurve oder Fläche. Computerprogramme zur Darstellung solcher Graphen heißen Funktionenplotter; ähnliche Möglichkeiten bieten Computeralgebrasysteme, MATLAB, Scilab, GNU Octave, graphikfähige Taschenrechner und browsergestützte Angebote.

Grundbegriffe: Bild, Urbild und Eindeutigkeit

Das Bild eines Elements x aus der Definitionsmenge ist der Funktionswert f(x). Das Bild der ganzen Funktion ist die Menge aller Funktionswerte: f(D):={f(x) | x in D}. Es ist eine Teilmenge der Zielmenge und heißt Bildmenge oder Wertemenge. Für eine Teilmenge S von D heißt f(S)={f(x) | x in S} das Bild von S.

Das Urbild eines Elements y der Zielmenge ist die Menge aller x aus D, für die f(x)=y gilt. Allgemeiner ist das Urbild einer Teilmenge T der Zielmenge definiert durch f^(-1)(T)={x in D | f(x) in T}. Die Schreibweise f^(-1)(y) kann missverständlich sein, weil f^(-1) nicht immer eine eindeutige Funktion ist, sondern im Allgemeinen mehrere Urbilder liefern kann.

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens ein Urbild hat. Formal gilt dann: Aus f(x1)=f(x2) folgt x1=x2. Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat, also zu jedem y ein x mit f(x)=y existiert. Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist; dann hat jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild.

Die Stelligkeit beschreibt, wie viele Argumente eine Funktion hat. Ist die Definitionsmenge eine Produktmenge A x B, heißt die Funktion zweistellig, und man schreibt f(a,b). Bei A x B x C spricht man von dreistellig. Eine Funktion ohne Produktstruktur gilt als einstellig. Nullstellige Funktionen haben als Definitionsmenge das leere Produkt {()}={emptyset} und können als Konstanten aufgefasst werden. Statt nullstellig, einstellig, zweistellig und dreistellig sagt man auch unär, binär und ternär; die Stelligkeit heißt auch Arität.

Die Menge aller Funktionen von D nach Z wird mit Z^D, ^D Z, [D -> Z] oder Abb(D,Z) bezeichnet. Es gilt |Z^D|=|Z|^|D|.

Operationen mit Funktionen

Eine Funktion kann auf eine kleinere Definitionsmenge eingeschränkt werden. Ist f: A -> B eine Funktion und C eine Teilmenge von A, dann ist f|C: C -> B die Einschränkung von f auf C. Ihr Graph besteht aus den Paaren des Graphen von f, deren erste Komponente in C liegt: G{f|_C}:=G_f ∩ (C x B).

Zu jeder bijektiven Funktion f: A -> B gibt es eine Umkehrfunktion f^(-1): B -> A. Sie ordnet einem y aus B genau das x aus A zu, für das f(x)=y gilt. Daher gilt für alle x aus A: f^(-1)(f(x))=x. Bijektive Funktionen heißen deshalb eindeutig umkehrbar.

Zwei Funktionen können verkettet werden, wenn der Wertebereich der ersten zur Definitionsmenge der zweiten passt. Für f: A -> B und g: B -> C ist die Verkettung g o f: A -> C definiert durch (g o f)(x):=g(f(x)). In dieser üblichen Schreibweise wird zuerst f und danach g angewandt; man sagt „g nach f“. In der Literatur kommt gelegentlich auch die umgekehrte Reihung vor.

Auch Verknüpfungen auf Funktionen sind möglich. Wenn auf der Zielmenge B eine innere zweistellige Verknüpfung : B x B -> B gegeben ist, kann man für Funktionen f,g in B^A punktweise definieren: (fg)(x):=f(x)*g(x). Beispiele sind punktweise Addition und Multiplikation von Funktionen. Mit einer äußeren Verknüpfung *: C x B -> B kann man auch ein Element c aus C mit einer Funktion verknüpfen, etwa bei der punktweisen Multiplikation mit einem Skalar.

Wichtige Eigenschaften und spezielle Arten

Zu den algebraischen Eigenschaften gehören Idempotenz, Involution und Fixpunkte. Eine Funktion ist idempotent, wenn f o f=f gilt, also f(f(x))=f(x) für alle x. Sie ist eine Involution, wenn f o f=id gilt, also f(f(x))=x für alle x. Ein Fixpunkt ist ein Element a der Definitionsmenge mit f(a)=a.

Zu den analytischen Eigenschaften zählen Beschränktheit, Periodizität, Monotonie, Symmetrie, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Glattheit, Holomorphie, Homogenität, Messbarkeit, Integrierbarkeit und Konvexität. Diese Begriffe beschreiben, wie sich eine Funktion verhält, zum Beispiel ob sie Sprünge hat, wächst oder fällt, wiederkehrende Werte besitzt oder ableitbar ist.

Spezielle Funktionen sind unter anderem reellwertige Funktionen, deren Zielmenge innerhalb der reellen Zahlen liegt, und komplexwertige Funktionen, deren Zielmenge innerhalb der komplexen Zahlen liegt. In der Schulmathematik besonders wichtig sind homogene lineare Funktionen f(x)=mx, allgemeine lineare oder affine Funktionen f(x)=ax+b, quadratische Funktionen f(x)=ax^2+bx+c, Potenzfunktionen, Polynomfunktionen f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 beziehungsweise f(x)=sum_{i=0}^n a_i x^i, rationale Funktionen f(x)=g(x)/h(x), Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmen, trigonometrische Funktionen wie sin, cos, tan, cot, sec und csc, die Betragsfunktion, Maximums- und Minimumsfunktionen sowie die Gaußsche Ganzzahlfunktion.

Ein Funktional ist eine Funktion, deren Definitionsmenge als Teilmenge in einem Vektorraum V liegt und deren Zielmenge im zugehörigen Skalarkörper liegt. Für einen K-Vektorraum V mit K in {R,C} ist ein Funktional eine Abbildung T: V -> K. Funktionale können also selbst Funktionen als Argumente haben. Matrixfunktionen sind Funktionen, deren Argument eine Matrix ist; häufig betrachtet man Funktionen f: C^{n x n} -> C^{n x n}, bei denen auch der Funktionswert wieder eine Matrix ist.

Verallgemeinerungen und Bedeutung

Funktionen sind grundlegend für mathematische Strukturen. Viele Strukturen entstehen dadurch, dass Mengen zusammen mit passenden Abbildungen betrachtet werden. Ein wichtiger Spezialfall ist die innere zweistellige Verknüpfung f: A x A -> A, etwa Addition oder Multiplikation auf Zahlenmengen. Weitere wichtige Beispiele sind algebraische, geometrische und topologische Strukturen wie Skalarprodukte, Normen und Metriken.

Eine Multifunktion oder Korrespondenz ist eine linkstotale Relation, bei der einem Element der Definitionsmenge mehrere Elemente der Zielmenge zugeordnet werden dürfen. Man schreibt f: X multimap Y. Wenn Y eine Menge ist, kann man eine Multifunktion auch als Funktion in die Potenzmenge von Y darstellen: kappa_f: X -> P(Y), x -> {y in Y | (x,y) in G_f}. Umkehrungen nicht injektiver Funktionen sind typische Beispiele für Multifunktionen. Ist f: X -> Y surjektiv, dann ist f^(-1): Y multimap X im Allgemeinen mehrwertig.

Davon zu unterscheiden sind partielle Funktionen. Bei ihnen gibt es Elemente der Quellmenge, denen kein Wert zugeordnet ist; für ein x darf es aber weiterhin höchstens einen y-Wert geben. Totale Funktionen sind dagegen überall definiert. Die Menge [D ⇀ Z] der partiellen Abbildungen von D nach Z ist die Vereinigung aller totalen Abbildungen von Teilmengen X von D nach Z: [D ⇀ Z]=union_{X subset D}[X -> Z]=union_{X subset D} Z^X. Sind die Mengen endlich, gilt |[D ⇀ Z]|=(|Z|+1)^|D|.

Manchmal liegen Funktionswerte nicht in einer Zielmenge, sondern in einer echten Klasse. Um mengentheoretische Probleme zu vermeiden, betrachtet man dann nur den Graphen als Menge von Paaren, in der keine zwei Paare dieselbe erste Komponente und verschiedene zweite Komponenten haben. So bleibt die funktionale Eindeutigkeit erhalten.