Steigung

Grundidee und Bedeutung

Die Steigung, auch Anstieg genannt, misst, wie steil eine Gerade oder Kurve verläuft. Sie ist besonders in der Mathematik und Analysis wichtig, tritt aber auch in Physik, Straßenbau, Betriebswirtschaftslehre und Volkswirtschaftslehre auf. In einem Zeit-Weg-Diagramm entspricht die Steigung beispielsweise der Geschwindigkeit, in einem Zeit-Ladungs-Diagramm der Stromstärke.

Steigung einer Geraden berechnen

Die Steigung einer Geraden wird meist mit m bezeichnet. Für eine Gerade durch die Punkte (x₁|y₁) und (x₂|y₂) gilt:

m = Δy/Δx = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

Δx bezeichnet die Differenz der x-Werte und Δy die Differenz der zugehörigen y-Werte. Für die Punkte (1|2) und (3|7) erhält man m = (7 − 2)/(3 − 1) = 5/2 = 2,5. Alle Punktpaare derselben Geraden liefern denselben Wert; beispielsweise ergibt sich auch mit (−1|−3) und (1|2) die Steigung 2,5.

Eine von links nach rechts ansteigende Gerade hat eine positive, eine fallende Gerade eine negative Steigung. Bei m = 0 ist die Gerade waagerecht und parallel zur x-Achse. Schneidet eine Gerade mit der Steigung m die y-Achse bei (0|c), lautet ihre Gleichung y = mx + c.

Für eine zur y-Achse parallele Gerade ist kein Steigungswert definiert, weil Δx = 0 wäre und eine Division durch null entstünde. Man kann ihre Steigung jedoch als „unendlich“ (∞) bezeichnen.

Darstellungsformen und Anwendungen

Im Straßenverkehr wird die Steigung meist in Prozent angegeben. 12 % bedeuten, dass die Höhe auf 100 m waagerechter Strecke um 12 m zunimmt: 12/100 = 0,12 = 12 %. Eine Verhältnisangabe beschreibt dasselbe Prinzip. Das Verhältnis 1:2,67 bedeutet 1 m Höhenunterschied auf 2,67 m Horizontalstrecke; daraus folgen 1/2,67 ≈ 0,37453 ≈ 37,45 %. Eine künstliche Böschung von 1:1,5 hat 66,7 % Steigung und den Winkel arctan(1/1,5) = 33,7°.

Als steilste Straße der Welt nennt der Artikel die knapp 350 m lange Baldwin Street in Neuseeland mit maximal 1:2,86, also 19,3° beziehungsweise etwa 35 %. Bei Angaben zur steilsten Straße Deutschlands bestehen unterschiedliche Abgrenzungen und ältere Eigenangaben: Die Steilstrecke der Nordschleife erreicht seit 1927 bis zu 27 %, gehörte aber nicht zu den Touristenfahrten. Die Oberweißbacher Straße in Deesbach bezeichnete sich mit 25,30 % als steilste Straße Deutschlands; dort wurde außerdem eine Ortsstraße mit 22,65 % genannt. 2017 ermittelte ein hessischer Radiosender für den Hasenpfad in Ranstadt-Dauernheim 29 %. Die B 319 zum Obersalzberg ist mit 26 % die steilste deutsche Bundesstraße.

Bei metrischen Gewinden bezeichnet die Steigung die Ganghöhe: den Abstand zwischen zwei Gewindestufen entlang der Gewindeachse beziehungsweise den axialen Weg pro Umdrehung. Bei zölligen Gewinden wird stattdessen die Zahl der Gewindegänge pro Zoll angegeben, häufig mit der Pseudoeinheit TPI („threads per inch“).

Steigungswinkel und Schnittwinkel

Der Steigungs- oder Neigungswinkel α wird gegenüber der positiven Richtung der x-Achse gemessen. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines spitzen Winkels der Quotient aus Gegenkathete und Ankathete. Deshalb gilt:

m = tan(α) und α = arctan(m).

Für m = 40 % = 0,4 ergibt sich α = arctan(0,4) ≈ 21,8°. Der Winkel ist orientiert: Negative Steigungen ergeben negative, positive Steigungen positive Winkel.

Steigung und Winkel sind nicht proportional und können daher nicht mit einem einfachen Dreisatz umgerechnet werden. Eine Steigung von 1 beziehungsweise 100 % entspricht 45°, eine Steigung von 2 beziehungsweise 200 % dagegen rund 63,4°. Nähert sich der Winkel 90°, wächst die Steigung ins Unendliche.

Nur bei kleinen Winkeln bis etwa 5° ist eine näherungsweise proportionale Umrechnung möglich. Für x nahe 0 gilt tan(x) ≈ x, sofern x im Bogenmaß angegeben ist. Daher entsprechen ±1 % Steigung ungefähr ±0,57°; umgekehrt entsprechen ±1° ungefähr ±0,0175 beziehungsweise 1,75 % Steigung.

Für zwei Geraden mit den Steigungen m₁ und m₂ lässt sich der Schnittwinkel ε berechnen:

tan ε = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁·m₂)|, ε = arctan |(m₂ − m₁)/(1 + m₁·m₂)|.

Die Geraden sind genau dann parallel, wenn m₁ = m₂ und damit ε = 0° gilt. Sie stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn m₁·m₂ = −1 und ε = 90° ist.

Steigung einer Kurve

Bei einer Kurve kann die Steigung in einem einzelnen Punkt nicht unmittelbar aus zwei fest gegebenen Kurvenpunkten berechnet werden. Ein willkürlich gewählter zweiter Punkt ergäbe kein eindeutiges Ergebnis; bei zwei identischen Punkten entstünde eine Division durch null. Deshalb definiert man die Steigung einer Kurve in einem Punkt als die Steigung ihrer Tangente, also der dort anliegenden Geraden. Berechnet wird sie mit der Ableitung f′(x).

Für f(x) = 2x² − ½x³ soll die Steigung im Punkt (2|4) bestimmt werden. Die Ableitungsfunktion lautet f′(x) = 4x − 3/2·x². Einsetzen von x = 2 ergibt f′(2) = 4·2 − 3/2·2² = 2. Somit beträgt die Steigung m = 2. Aus tan α = 2 folgt der Neigungswinkel α = arctan(2) ≈ 63,4°.

Gefälle und Potentialunterschiede

Bei Gewässern bezeichnet Gefälle unter anderem den lokalen Wasserspiegelunterschied zwischen Oberwasser und Unterwasser, auch Arbeitshöhe genannt. Der Begriff gilt etwa bei Mühlen, Laufkraftwerken sowie Anlagen mit Stollen, Wasserschlössern und Druckrohren. Auch die Abnahme der Wasserspiegelhöhe zwischen zwei entfernten Punkten eines Fließgewässers heißt Gefälle.

In Wärmekraftprozessen spricht man von Druck- und Temperaturgefällen, wenn Unterschiede zwischen zwei Bereichen selbsttätige Ströme von Gasen, Flüssigkeiten oder Wärmeenergie verursachen. Statische Druckgefälle kommen auch in Druckluft- und Leitungswassersystemen sowie in Lüftungsanlagen vor; dynamisch tritt ein Druckabfall entlang einer Strömungsstrecke auf. Konzentrationsgefälle können Prozesse wie Osmose, Diffusion, Chromatografie, Kristallisation aus Lösung und Verdunstung antreiben.

Übertragen werden Unterschiede etwa beim Lohn-, Preis- oder Bildungsniveau als Lohngefälle, Preisgefälle oder Bildungsgefälle bezeichnet. Anders als bei der geometrischen Bedeutung ist mit Gefälle in diesen Fällen meist keine negative Steigung als Höhenunterschied pro Länge gemeint, sondern eine Differenz zwischen zwei Zuständen oder Bereichen. Gemeinsam ist den dadurch angetriebenen Vorgängen, dass sie von selbst nur in eine Richtung, nämlich gefälleabwärts, ablaufen.